1、习题一1. 求下列各排列的逆序数.(1) 341782659； (2) 987654321；(3) n(n1)321； (4) 13(2n1)(2n)(2n2)2.【解】(1) (341782659)=11;(2) (987654321)=36;(3) (n(n1)321)= 0+1+2 +(n1)= ;(1)2(4) (13(2n1)(2n)(2n2)2)=0+1+(n1)+(n1)+(n2)+1+0=n(n1).4. 本行列式 的展开式中包含 和 的项.45123xDx3x4解： 设 ，其中 分别为不同列中对应元素12342341234()iiii a1234,i的行下标，则 展开式中含
2、项有x(2134) (4231) 3332()5xxx 展开式中含 项有4Dx.(1234) 410xx5. 用定义计算下列各行列式.(1) ； (2) .02134023451【解】(1) D=( 1) (2314)4!=24; (2) D=12.6. 计算下列各行列式.(1) ； (2) ；213506abcaedff(3) ； (4) .10abcd1234【解】(1) ;12506231rD(2) ;41abcdefabcdef20101(3)() 101;D cdccdddab32122133 444001403() 160.rcr 7. 证明下列各式.(1) ；222()1abab
3、(2) ；22222222()()(3)0(1)()()bccdd(3) 32 21aabbcbcc(4) ；20()0nnabDadccd (5) .1211niinaaa【证明】(1) 132 223()()01()()()()cabbababab与 与.(2) 32213 44 - 4691260ccacddd 与.(3) 首先考虑 4 阶范德蒙行列式: 23231()()()()(*)xaf xabxcacbbc从上面的 4 阶范德蒙行列式知，多项式 f(x)的 x 的系数为 21()(),aabcabcabcbc但对（*）式右端行列式按第一行展开知 x 的系数为两者应相等，故 231
4、(),bc(4) 对 D2n 按第一行展开，得22(1)2(1)2(1)000 0,nnnnababDcdcdadbcDadbc 据此递推下去，可得 22(1)2()1(nnnDccadbadb2).nnDc(5) 对行列式的阶数 n 用数学归纳法.当 n=2 时，可直接验算结论成立，假定对这样的 n1 阶行列式结论成立，进而证明阶数为 n 时结论也成立.按 Dn 的最后一列，把 Dn 拆成两个 n 阶行列式相加： 11 22 11211 01.n nnnaa aaD 但由归纳假设 112,nniaa从而有 1121212111.nnninnn ii iDa aa 8. 计算下列 n 阶行列式
5、.(1) (2) ；1nxD 12232nDn (3) . (4) 其中 ；0000nxyDxyy nijDa(,12,)ijij(5) .21021nD【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出 x+(n1),得1(),nDx将第一行乘（1）后分别加到其余各行，得 1110()()(.0nnxDxx(2) 按第二行展开2131 20002nrrDn 22010()!.2n(3) 行列式按第一列展开后，得1(1)(1)()000()00.nnnnxyyxDxyy xyx (4)由题意，知1212120121032nnnn naaDn 01111后 一 行 减 去 前 一 行 自 第 三 行
6、 起 后 一 行 减 去 前 一 行012 2110000 22n n 按 第 一 列 展 开.1 12021()()n nnn -按 第 列 展 开(5) 2020001112020011122nD .12nD即有 1221nnD由 得1n n.1,n 9. 计算 n 阶行列式. 12121nn naaD【解】各列都加到第一列，再从第一列提出 ，得1ia23123,1nnni nDaa将第一行乘（1）后加到其余各行，得 231 100.1nn nni iaaD 10. 计算 阶行列式（其中 ）.0,2,ian.111132222123111n nnn nnnabbDa【解】行列式的各列提取因
7、子 ,然后应用范德蒙行列式.(,)nj3122223112 111132112 11()(). nnnn nnnnjinji bbbaaaDabbbaaaa 11. 已知 4 阶行列式;42341567D试求 与 ，其中 为行列式 的第 4 行第 j 个元素的代数余子式.412A43A4j【解】 4142412313()()912.56767同理 43569.A12. 用克莱姆法则解方程组.(1) (2) 123423 5,1 2, .xx 1234556 1,0 , 6 1.xx【解】方程组的系数行列式为 1010131380;20522243D1 23 45015018; 36;23501
8、516; 18.22303DD故原方程组有惟一解，为 312 4,2,1.DDxxxx12345123452)65,07570,9291, .613. 和 为何值时，齐次方程组 1230,x有非零解?【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式 10,2即 (1).故 或 时，方程组有非零解.0114. 问：齐次线性方程组 123412340,xaxb有非零解时，a,b 必须满足什么条件？【解】该齐次线性方程组有非零解，a,b 需满足120,3ab即(a+1) 2=4b.15. 求三次多项式 ，使得2301()fxaxa),()4,(),()16.ffff【解】根据题意，得 01230123
9、()0;248;(3)9716.faf a这是关于四个未知数 的一个线性方程组，由于012,a0123486,40,9.DD故得 01237,5,a于是所求的多项式为 23()75fxx16. 求出使一平面上三个点 位于同一直线上的充分必要条件.123(,)yy【解】设平面上的直线方程为ax+by+c=0 (a,b 不同时为 0)按题设有 1230,xyabc则以 a,b,c 为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为 1230xy上式即为三点 位于同一直线上的充分必要条件.12(,),(,)xyxy习题 二1. 计算下列矩阵的乘积.（1） ； （2） ；3210=50132（3）
10、； （4） ；21341012131232axx（5） ； （6） .121330a013212【解】(1) (2) ; (3) (10);210;6493531(4) 322131213132321()()()ijiaxaxxaxaxax(5) ; (6) .121323aa504392. 设 ， ，1A1234B求(1) ;(2) ；(3) 吗?2BA2()+BA【解】(1) (2) 42;0A40;531(3) 由于 ABBA,故( A+B)(AB)A 2B2.3. 举例说明下列命题是错误的.(1) 若 ， 则 ； (2) 若 ， 则 或 ；2AO2AOAE(3) 若 ， ， 则 .X=
11、YX=Y【解】(1) 以三阶矩阵为例，取 ,但 A0201,(2) 令 ,则 A2=A,但 A0 且 AE10A(3) 令1,1200YX则 AX=AY,但 XY.4. 设 , 求 A2，A 3，A k.01A【解】 231,.010k5. ， 求 并证明：10A=23A,.121()0k kk=【解】2 322 310, .0A=A今归纳假设 121()0k kkA=那么 11211 111()00()()2,0kkkkkk kkkA=所以，对于一切自然数 k,都有 121().0k kkA=6. 已知 ，其中PB11002=,P=求 及 .A5【解】因为|P |= 10,故由 AP=PB,
12、得 102,61APB而 51551()()0000222.4161A7. 设 ，求| |. abcddaA=A解：由已知条件， 的伴随矩阵为22 22()()abcdabcdabcdA= A又因为 ，所以有E，且 ，222()abcdA=E0即 424()abcdA=E于是有 .222()abcd8. 已知线性变换 121223233,45;,xyyz利用矩阵乘法求从 到 的线性变换.12,z12,x【解】已知 1122331122330,45,041906yxyzXAYYBXABzz,从而由 到 的线性变换为123,z123,x123234,9016.xzz9. 设 ， 为 阶方阵，且 为
13、对称阵，证明： 也是对称阵.ABnABA【证明】因为 n 阶方阵 A 为对称阵，即 A=A,所以 (BAB)=BAB =BAB,故 也为对称阵.10. 设 A，B 为 n 阶对称方阵，证明：AB 为对称阵的充分必要条件是 AB=BA.【证明】已知 A= A,B=B，若 AB 是对称阵，即(AB)=AB.则 AB=(AB)=BA = BA,反之，因 AB=BA,则(AB)=B A=BA=AB,所以，AB 为对称阵.11. A 为 n 阶对称矩阵，B 为 n 阶反对称矩阵，证明：(1) B2 是对称矩阵.(2) ABBA 是对称矩阵， AB+BA 是反对称矩阵.【证明】因 A=A ,B= B ,故
14、(B2)=B B= B(B)=B 2;(ABBA)=(AB) (BA)=BAAB= BAA(B)=ABBA;(AB+BA)=(AB)+(BA)= BA+ AB= BA+A(B)= (AB+BA).所以 B2 是对称矩阵，AB BA 是对称矩阵，AB+BA 是反对称矩阵 .12. 求与 A= 可交换的全体二阶矩阵.10【解】设与 A 可交换的方阵为 ,则由abcd= ,10abcd10得.acc由对应元素相等得 c=0,d=a,即与 A 可交换的方阵为一切形如 的方阵，其中 a,b0ab为任意数.13. 求与 A= 可交换的全体三阶矩阵.102【解】由于A=E+ ,0213而且由11 1122
15、2233 3300,abcabc可得 11223333322000.cbabc由此又可得 113232320,0,cbcbc所以 23123230,.abccb即与 A 可交换的一切方阵为 其中 为任意数.230b123,a14. 求下列矩阵的逆矩阵.(1) ； (2) ；125120(3) ； (4) ；342511234(5) ； (6) ，02835 1212,0nnaa未写出的元素都是 0（以下均同，不另注）.【解】(1) ; (2) ;521120(3) ; (4) ;126074310263151824(5) ; (6) .120538121naa15. 利用逆矩阵，解线性方程组
16、123,.x【解】因 ,而12310x021故 1123 1022.0213x16. 证明下列命题：(1) 若 A，B 是同阶可逆矩阵，则（AB） *=B*A*.(2) 若 A 可逆，则 A*可逆且（A *） 1=（A 1） *.(3) 若 AA=E,则（A *）=( A*)1.【证明】 （1） 因对任意方阵 c，均有 c*c=cc*=|c|E,而 A,B 均可逆且同阶，故可得|A|B|B*A*=|AB|E(B*A*)=(AB) *AB(B*A*)=(AB) *A(BB*)A*=(AB) *A|B|EA*=|A|B|(AB) *. |A|0,| B|0, (AB) *=B*A*.(2) 由于
17、AA*=|A|E,故 A*=|A|A1,从而( A1) *=|A1|(A1)1=|A|1A.于是A* (A1) *=|A|A1|A|1A=E,所以(A1) *=(A*)1.(3) 因 AA=E，故 A 可逆且 A1=A.由(2)(A *)1=(A1) *,得(A*)1=(A) *=(A*).17. 已知线性变换 12323,5,xy求从变量 到变量 的线性变换.123,x12,y【解】已知 112233,5xyXAY且|A|=1 0,故 A 可逆，因而 1749,632YAX所以从变量 到变量 的线性变换为123,x123,y12323749,6,xy18. 解下列矩阵方程.(1) ；1243
18、1X=(2) ；2001(3) ；4312X=(4) .01043201【解】(1) 令 A= ;B= .由于123461132A故原方程的惟一解为 1324680.127 X同理(2) X= ; (3) X= ; (4) X=10104.0341219. 若 (k 为正整数)，证明：kAO.121()kEA=+A【证明】作乘法 2121()kkk +, 从而 EA 可逆，且 121()kEA=+A20.设方阵 A 满足 A2A 2E O，证明 A 及 A2E 都可逆，并求 A1 及(A+2E) 1.【证】因为 A2A2E=0,故 21().由此可知，A 可逆，且 1().AE同样地 20,6
19、4(3)1(24,AE.由此知，A+2E 可逆，且 1 21(2)(3)().4AE21. 设 ， ,求 .42310A=2AB=+【解】由 AB=A+2B 得( A2E)B=A.而 2310,1即 A2E 可逆，故 1123423()004386.5291611BAE22. 设 . 其中 ， ， 求 .1PA=4P02=10A【解】因 可逆，且 故由11,31AP得 10101010221010()()44324436514.3034AP23. 设 次多项式 ，记 ,m01()mfxaax 1()mfaaAEA称为方阵 的 次多项式.()fA(1) ， 证明12A=， ；12k=12()()
20、fffA(2) 设 ， 证明 ， .1APB1kkP1()fBP【证明】(1) 即 k=2 和 k=3 时，结论成立 .2311200,今假设 120,kA那么 11112220,0k kkk=所以，对一切自然数 k，都有 12,kA而 011122011012212()().mmmmfaaaff E+(2) 由(1)与 A=P 1BP,得B=PAP 1.且Bk=( PAP 1)k= PAkP 1,又 01 101() )().mfaafEAP+ 24. ，证明矩阵满足方程 .abcdA=2()0xadbc【证明】将 A 代入式子 得2()xadbc2222() 10()00.abccdcda
21、dbcab E故 A 满足方程 .2()0xadbc25. 设 阶方阵 的伴随矩阵为 ，nA证明：(1) 若 ，则 ；(2) .1n【证明】 （1） 若|A |=0，则必有|A *|=0，因若| A *|0，则有 A*( A*)1=E,由此又得A=AE=AA*( A*)1=|A|( A*)1=0,这与| A *|0 是矛盾的，故当|A | =0，则必有| A *|=0.(2) 由 A A*=|A|E，两边取行列式，得|A| A*|=|A|n,若|A| 0，则| A*|=|A|n1若|A|=0, 由(1)知也有| A*|=|A|n1.26. 设.52032045716=,B求(1) ; (2)
22、; (3) ；(4) k ( 为正整数).AB1A【解】(1) ; (2) ;230194613= 198031452B=(3) ; (4) .120537A=(1)kkA27. 用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵.（1） ； （2） ;2053100312（3） .23100【解】(1) 对 A 做如下分块 12A0其中 1230;,125的逆矩阵分别为12,A112053; ,2AA所以 A 可逆，且 12501.3001A同理(2)111 22 31084.053 A(3)110232.100A习题 三1. 略.见教材习题参考答案.2. 略.见教材习题参考答案.3. 略.见
23、教材习题参考答案.4. 略.见教材习题参考答案.5. ，证明向量组 线性12233441,1234,相关.【证明】因为 1234123413()()0所以向量组 线性相关.1234,6. 设向量组 线性无关，证明向量组 也线性无关，这里12,r12,r12.i i【证明】 设向量组 线性相关，则存在不全为零的数 使得12,r 12,rk12.rkk 0把 代入上式，得12i i.121232()()r rrkkkk0 又已知 线性无关，故12,r 120, .rrkk 该方程组只有惟一零解 ，这与题设矛盾，故向量组 线性120kk 12,r无关.7. 略.见教材习题参考答案.8. .证明：如果
24、 ，那么 线性无关.12(,),iiin ija12,n【证明】已知 ,故 R(A)=n,而 A 是由 n 个 n 维向量0ija(),iii组成的，所以 线性无关.,i 129. 设 是互不相同的数， rn.证明： 是线性无关12,rtt 1(,),2,niiitr 的.【证明】任取 nr 个数 tr+1,tn 使 t1,tr,tr+1,tn 互不相同，于是 n 阶范德蒙行列式212110,nrrnntttt从而其 n 个行向量线性无关，由此知其部分行向量 也线性无关.12,r10. 设 的秩为 r 且其中每个向量都可经 线性表出.证明：12,s r为 的一个极大线性无关组.12,r s【证
25、明】若 (1)12,r线性相关，且不妨设(tr) (2)12,是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是 的一个极大无关组，这与12,s 的秩为 r 矛盾，故 必线性无关且为 的一个极大无1,s12,r 12,s 关组.11. 求向量组 =(1,1,1,k), =(1,1,k,1), =(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组.123【解】把 按列排成矩阵 A，并对其施行初等变换.23,1111000kkkkA当 k=1 时， 的秩为 为其一极大无关组.123,13,当 k1 时， 线性无关，秩为 3，极大无关组为其本身.12. 确定向量 ,使向量组 与向量组 =(0,1,1),3()ab123(
26、,0)(1,)1=(1,2,1), =(1,0,1)的秩相同，且 可由 线性表出.233【解】由于 1231230120(,) ;1(,) ,1002abbaAB而 R(A)=2,要使 R(A)=R(B)=2,需 a2=0,即 a=2,又1232,) ,1012bbac要使 可由 线性表出，需 ba+2=0,故 a=2,b=0 时满足题设要求，即 =(2,2,0).3123, 313. 设 为一组 n 维向量.证明： 线性无关的充要条件是任一 n 维n 12,n向量都可经它们线性表出.【证明】充分性: 设任意 n 维向量都可由 线性表示，则单位向量 ，12,n 12,n当然可由它线性表示，从而
27、这两组向量等价，且有相同的秩，所以向量组 的12,n秩为 n，因此线性无关.必要性：设 线性无关，任取一个 n 维向量 ,则 线性相关，12,n12,n所以 能由 线性表示.14. 若向量组（1，0，0） ， （1，1，0） ， （1，1，1）可由向量组 , , 线性表出，也可由向量组 , , , 线性表出，则向量组 , , 与向量组 , , , 等价.证明：由已知条件， ，且向量组（1，0，0） ， （1，1，0） ，3R（1，1，1）可由向量组 , , 线性表出，即两向量组等价，且，123(,)又，向量组（1，0，0） ， （1，1，0） ， （1，1，1）可由向量组 , , , 线性表出
28、，即两向量组等价，且，1234(,)R所以向量组 , , 与向量组 , , , 等价.15. 略.见教材习题参考答案.16. 设向量组 与 秩相同且 能经 线性12,m12,s12,m12,s表出.证明 与 等价. s【解】设向量组(1)12,m与向量组(2)12,s的极大线性无关组分别为(3)12,r和(4)12,r由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即 1(1,2).riijair因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|a ij|0，可由（*）解出,即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1） ，(,2
29、)jr（2）等价，所以（1）和（2）等价.17. 设 A 为 mn 矩阵，B 为 sn 矩阵.证明：.ax(),()RRABB【证明】因 A,B 的列数相同，故 A,B 的行向量有相同的维数，矩阵 可视为由矩阵 A 扩充行向量而成，故 A 中任一行向量均可由 中的行向量线性表示，故()RAB同理 ()故有 max(),RAB又设 R(A)=r, 是 A 的行向量组的极大线性无关组 ,R（B ）=k, 12,iir是 B 的行向量组的极大线性无关组 .设 是 中的任一行向量，则若12,jjk 属于 A 的行向量组，则 可由 表示，若 属于 B 的行向量组，则它可由12,iir线性表示，故 中任一
30、行向量均可由 , 线12,jjkAB12,iir 12,jjk性表示，故 (),RrkRB所以有.max(),()AB18. 设 A 为 sn 矩阵且 A 的行向量组线性无关， K 为 rs 矩阵.证明：BKA 行无关的充分必要条件是 R(K)=r.【证明】设A=(As,Ps(ns),因为 A 为行无关的 sn 矩阵，故 s 阶方阵 As 可逆.( )当 B=KA 行无关时，B 为 rn 矩阵.r=R(B)=R(KA)R(K),又 K 为 rs 矩阵 R(K)r, R(K)=r.( )当 r=R(K)时，即 K 行无关，由 B=KA=K(As,Ps(ns)=(KAs,KPs(ns)知 R(B)
31、=r,即 B 行无关.19. 略.见教材习题参考答案.20. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.(1) ； (2) .25317492081210534【解】(1) 矩阵的行向量组 的一个极大无关组为 ;1234123,(2) 矩阵的行向量组 的一个极大无关组为 .1234124,21. 略.见教材习题参考答案.22. 集合 V1( ) R 且 0 是否构成向量空2,nx 12,nx 12nxx间?为什么?【解】由（0,0,0）V 1 知 V1 非空，设)则12 22(,),(,),n nVky 12(,).nnxyxk因为 1212()()()0,nnnxyxykk 所以 ,故 是向
32、量空间.11,V23. 试证：由 ,生成的向量空间恰为 R3.123(,0)(1,)(01)【证明】把 排成矩阵 A=( ),则232,010所以 线性无关，故 是 R3 的一个基，因而 生成的向量空间恰123,12,123,为 R3.24. 求由向量 所生的向量空间1234(,0),(,)(,),(,)的一组基及其维数.【解】因为矩阵 12345(,)13141340202,6024 0A 是一组基，其维数是 3 维的.1,25. 设 ,证明:212(,),(,0)(,3),(0,1).121(,)L【解】因为矩阵 12(,)01203,31A由此知向量组 与向量组 的秩都是 2，并且向量组 可由向量组 线性12,2,12,12,表出.由习题 15 知这两向量组等价，从而 也可由 线性表出.所以1,.22()(,)L26. 在 R3 中求一个向量 ，使它在下面两个基123(),0)(1,0)(,1)2, 0
