1、正弦定理和余弦定理 测试题1、选择题：1在 ABC中， a15， b10， A60，则 cosB( )A B. C D.2 23 2 23 63632在 ABC中，内角 A， B， C的对边分别是 a， b， c.若a2 b2 bc，sin C2 sinB，则 A( )3 3A30 B60 C120 D1503 E， F是等腰直角 ABC斜边 AB上的三等分点，则tan ECF( )A. B. C. D.1627 23 33 344 ABC中，若 lgalg clgsin Blg 且 B ，则2 (0，2)ABC的形状是( )A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形5 ABC
2、中， a、 b、 c分别为 A、 B、 C的对边，如果a、 b、 c成等差数列， B30， ABC的面积为 0.5，那么 b为( )A1 B3 C. D23 33 3336已知锐角 A是 ABC的一个内角， a、 b、 c是三角形中各内角的对应边，若 sin2Acos 2A ，则( )12A b c2 a B b c2 C b c2 a D b c2 a7、若 的内角 满足 ，则ABC2sin3AsincoAA. B C D1531553538、如果 的三个内角的余弦值分别等于 的三个内角的正1AC2AB弦值，则A 和 都是锐角三角形 B 和 都是钝1B2 1C2角三角形C 是钝角三角形， 是
3、锐角三角形 12ACD 是锐角三角形， 是钝角三角形ABB9、 的三内角 所对边的长分别为 设向量 ,C,C,abc()pacb,若 ,则角 的大小为(,)qbac/pq(A) (B) (C) (D) 6322310、已知等腰 的腰为底的 2倍，则顶角 的正切值是（ ）ABC A 32315815711、 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a、b、c 成等比数列，且 ，则2cacosA B C 14 3424D 2312、在 ABC中，角 A、 B、 C的对边分别为a、 b、 c,A= ,a= ,b=1，则 c=3(A) 1 （B）2 （C） 1 3（D）二、填空题：13、在
4、中，若 ，则 的大小是ABCsin:si5:78ABCB_.14、在 ABC中，已知 ，b4，A30 ，则 sinB .3a15、在ABC 中，已知 BC12，A60，B45，则 AC 16、已知 ABC的三个内角 A、 B、 C成等差数列，且 AB1， BC4，则边 BC上的中线 AD的长为 三、解答题：17。 、已知 ABC的内角 A， B及其对边 a， b满足 a b a b1tanA，求内角 C.1tanB18、在 ABC中， a， b， c分别为内角 A， B， C的对边，且2asinA(2 b c)sinB(2 c b)sinC.(1)求 A的大小；(2)若sinBsin C1，试
5、判断 ABC的形状19、如图，在 ABC中，已知 B45， D是 BC边上的一点，AD10， AC14， DC6，求 AB的长20、已知 的周长为 ，且 （I）求边ABC 21sin2sinABC的长；（II）若 的面积为 ，求角 的度数 621、 ABC中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 a， b， c成等比数列， .43cos（）求 cotA+cotC的值； （）设 ，求 a c的值.32BAC22、 某海轮以 30海里/小时的速度航行，在 A点测得海面上油井 P在南偏东 ，向北航行 40分钟后到达 B点，测得油井 P在南偏东60，海轮改为北偏东 的航向再行驶 80
6、分钟到达 C点，求 P、C360间的距离答案1.解析：依题意得 0B60，由正弦定理得 得 sinBasinA bsinB ，cos B ，选 D.bsinAa 33 1 sin2B 632.解析：由 sinC2 sinB可得 c2 b，由余弦定理得 cosA3 3 ，于是 A30，故选 A.b2 c2 a22bc 3bc c22bc 323.解析：设 AC1，则 AE EF FB AB ，由余弦定理得13 23CE CF ，所以 cos ECFAE2 AC2 2ACAEcos4553 ，CE2 CF2 EF22CECF 45所以 tan ECF . 答案：sin ECFcos ECF1 (4
7、5)245 34D4.解析：lg alg clgsin Blg ，lg lgsin Blg . sin B2ac 22 ac .22 B ， B ，由 c a， 得(0，2) 4 2cosB .a2 c2 b22ac 3a2 b22 2a2 22 a2 b2， a b. 答案：D5.解析：2b a c， ac ac2， a2 c24 b24， b2 a2 c22 ac12 12 12b2 b . 答案：C32 4 2 33 3 336.解析：由 sin2Acos 2A ，得 cos2A ， 又 A是锐角，所12 12以 A60，于是 B C120. 所以 b c2a sinB sinC2sin
8、Acos 1， b c2 a. 答案：c2sinB C2cosB C23 B C27.解：由 sin2A2sinAcosA0，可知 A这锐角，所以sinAcosA0， 又 ，故选 A25(sinco)1sin3A8.解： 的三个内角的余弦值均大于 0，则 是锐角三角形，1BC 1ABC若 是锐角三角形，由 ，得 ，2A21121sincosin()2sincosin()2BCC2121ABC那么， ，所以 是钝角三角形。故选 D。22BCA9.【解析】 ，利用余弦定22/()()pqacbacab理可得 ，即 ，故选择答案 B。cos11os23C【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条
9、件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。10.解：依题意，结合图形可得 ，故15tan2A，选 D2215tant 71()A11.解： 中， a、 b、 c成等比数列，且 ，则 b= a，BC2ca2= ，选 B.22cosc243a12.解：由正弦定理得 sinB ，又 ab，所以 AB，故 B30，1所以 C90，故 c2，选 B2、填空13.解： abc57 8设sin:si5:78ABCa5k，b7k，c8k 由余弦定理可解得 的大小为 .314.解：由正弦定理易得结论 sinB 。3215.【正确解答】由正弦定理得， 解得sin45i60ACB46AC【解后反思】解
10、三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理16.解析: 由 的三个内角 A、B、C 成等差数列可得 A+C=2B而ABCA+B+C= 可得3AD为边 BC上的中线可知 BD=2,由余弦定理定理可得 。3AD本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。三、解答题：(17-21 题 12分，22 题 14分，写出证明过程或推演步骤)17。 、已知 ABC的内角 A， B及其对边 a， b满足a b a b ，求内角 C.1tanA 1tanB解：由 a b a b 及正弦定理得 1tanA 1tanBsinAsin Bcos Acos B，即 sinA
11、cos Acos Bsin B， 从而sinAcos cos Asin cos Bsin sin Bcos ，4 4 4 4即 sin sin . 又 0A B， 故 A (A4) (4 B) 4 B， A B ， 所以 C .4 2 218、在 ABC中， a， b， c分别为内角 A， B， C的对边，且2asinA(2 b c)sinB(2 c b)sinC.(1)求 A的大小；(2)若sinBsin C1，试判断 ABC的形状解：(1)由已知，根据正弦定理得 2a2(2 b c)b(2 c b)c，即 a2 b2 c2 bc.由余弦定理得 a2 b2 c22 bccosA，故 cosA
12、 ，又12A(0，)，故 A120.(2)由(1)得 sin2Asin 2Bsin 2Csin BsinC. 又sinBsin C1，得 sinBsin C .12因为 0B90，0 C90，故 B C.所以 ABC是等腰的钝角三角形19、如图，在 ABC中，已知 B45， D是 BC边上的一点，AD10， AC14， DC6，求 AB的长解：在 ADC中， AD10， AC14， DC6，由余弦定理得cos ADC ，AD2 DC2 AC22ADDC 100 36 1962106 12 ADC120， ADB60. 在 ABD中，AD10， B45， ADB60，由正弦定理得 ， AB AB
13、sin ADB ADsinB ADsin ADBsinB 5 .10sin60sin4510 3222 620、已知 的周长为 ，且 （I）求边ABC 1sin2sinABC的长；（II）若 的面积为 ，求角 的度数 6解：（I）由题意及正弦定理，得 ，1，两式相减，得 2BCAB1AB（II）由 的面积 ，得 ，由余弦 1sini26CC3BA定理，得，所22cosACB22()1ABA以 6021、 ABC中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 a， b， c成等比数列， .43cos（）求 cotA+cotC的值； （）设 ，求 a c的值.32BAC分析：本题是正、
14、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇，关键是用好正弦定理、余弦定理等解：（）由 由 b2=ac及正弦定,47)3(1sin,43cos2B得理得 .sini2CA则 BCACA 2sin)(icosicosinta1tncot .74si2B（）由 ，得 cacosB ，由 B ，可得 ac2，3B3234即 b22 由余弦定理 b2=a2+c22 ac+cosB，得 a2+c2=b2+2accosB=5. 3,945)(2 cca22、 某海轮以 30海里/小时的速度航行，在 A点测得海面上油井 P在南偏东 ，向北航行 40分钟后到达 B点，测得油井 P在南偏东60，海轮改为北偏东 的航向再行驶 80分钟到达 C点，求 P、C360间的距离解：如图，在ABP 中，AB = 30 = 20，604APB = ，BAP = ，30120由正弦定理，得： = ，即 = ，解得 BP =BPAsinsi213BP320在BPC 中，BC = 30 = 40，608由已知PBC = ，PC = = = 92BCP20)3(7(海里)所以 P、C 间的距离为 海里720评析：上述两例是在准确理解方位角的前提下，合理运用正弦定理把问题解决，因此，用正弦定理解有关应用问题时，要注意问题中的一些名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等
