1、习题 11 填空题(1) 为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为 的 运算；(2) 在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个 数作减法运算；为避免误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值 分子的绝对值；(3) 误差有四大来源,数值分析主要处理其中的 和 ；(4) 有效数字越多,相对误差越 ；2. 用例 1.4 的算法计算 ,迭代 3 次,计算结果保留 4 位有效数字.103. 推导开平方运算的误差限公式,并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差.4. 以下各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似数,指出它们的有效数位、误差限和相对误差限. 9 5123450345100360871,
2、., , ., .xxxx5. 证明 1.2.3 之定理 1.1.6. 若钢珠的的直径 d 的相对误差为 1.0%,则它的体积 V 的相对误差将为多少。 （假定钢珠为标准的球形）7. 若跑道长的测量有 0.1%的误差,对 400m 成绩为 60s 的运动员的成绩将会带来多大的误差和相对误差.8. 为使 的近似数相对误差小于 0.05%,试问该保留几位有效数字.209. 一个园柱体的工件,直径 d 为 10.250.25mm,高 h 为 40.001.00mm,则它的体积 V 的近似值、误差和相对误差为多少10 证明对一元函数运算有 rrxffxkk()()(),=其 中并求出 时的 值，从而说
3、明 在 时是病态问题157fx()tan,. f()tan211. 定义多元函数运算 11 ,(),nni iiScxcx其 中求出 的表达式，并说明 全为正数时，计算是稳定的， 有正有负时，误差难以控S()i ic制12. 下列各式应如何改进,使计算更准确：21 12 1-cos3 140xyxypqpq(),(),(),(),)=习题 21. 填空题(1) Gauss 消元法求解线性方程组的的过程中若主元素为零会发生 ;. 主元素的绝对值太小会发生 ;(2) Gauss 消元法求解线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为 . 平方根法求解对称正定线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为
4、 ;(3) 直接 LU 分解法解线性方程组时的计算量以乘除法计为 , 追赶法解对角占优的三对角方程组时的计算量以乘除法计为 ;(4) , , ;,201A2A)(A(5) , ;1tt,)(2cond()(6) , ;0abcaA,)(A2()A2用 Gauss 消元法求解下列方程组 bx, 10,12)1(A 1,4321)(bA3用列主元消元法解下列方程组 bx674,51073)1(A 6720,561034)2( bA4. 用 GaussJordan 消元法求：1025用直接 分解方法求 1 题中两个矩阵的 分解，并求解此二方程组LULU6用平方根法解方程组 bAx324316,7 用
5、追赶法解三对角方程组 bx01,21020bA8证明：(1)单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵(2)两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵9由 ，(见 (2.18)式)，证明:121nL 11,321321nnnllllL10证明向量范数有下列等价性质： xnx2122)3()(11求下列矩阵的 12,AA51331026; .12求 2condA10928cosin; .iAA13证明：(1)若 是正交矩阵，即 , 则 ;TI2cd1(2)若 是对称正定阵， 是 的最大特征值， 是最小特征值，则A1An.12condn习题 31. 填空题:(1) 当 A 具有严格对角线优势或具有对角优势且 时
6、，线性方程组 Ax=b 用Jacobi 迭代法和 GaussSeidel 迭代法均收敛;(2) 当线性方程组的系数矩阵 A 对称正定时, 迭代法收敛.(3) 线性方程组迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的 小于 1; SOR 法收敛的必要条件是 ;(4) 用迭代法求解线性方程组,若 q = (B), q 时不收敛, q 接近 时收敛较快, q 接近 时收敛较慢;(5); ; ; 12,AJBSJSB2用 Jacobi 迭代法和 GaussSeidel 迭代法求解方程组(1) ； (2) 45321031x 716415832x各分量第三位稳定即可停止3用 SOR 法解方程组，取 ，与取 (即
7、Gauss-Seidel 法)作比较0.91235572x4下面是一些方程组的系数阵，试判断它们对 Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法的收敛性(1) ； (2) ；2135 231(3) ； (4) ；21 2102(5) ； (6) 1015215方程组 0,212121 abxa证明用 Jacobi 迭代法收敛的充要条件是：21r6设 为 实 数 ；aA,1(1)若 正定， 的取值范围；Aa(2)若 Jacobi 迭代法收敛， 的取值范围习题 41. 填空题：(1) 幂法主要用于求一般矩阵的 特征值，Jacobi 旋转法用于求对称矩阵的 特征值；(2) 古典的 Jaco
8、bi 法是选择 的一对 元素将其消为零;(3) QR 方法用于求 矩阵的全部特征值，反幂法加上原点平移用于一个近似特征值的 和求出对应的 2用幂法求矩阵 ， 136201354按模最大的特征值和对应的特征向量，精确到小数三位3已知： 1329A取 t =15，作原点平移的幂法，求按模最大特征值4 104A用反幂法加原点平移求最接近 12 的特征值与相应的特征向量，迭代三次5若 的特征值为 是一实数，证明： 是 的特征值，且特征向tn,21 titIA量不变6已知 求平面反射阵 使 ，即使 的 1，3 两个分量化3,TxH0,*Tyxx零7 612A试用 Jacobi 旋转法求作一次旋转，消去最
9、大的非对角元，写出旋转矩阵，求出 角和结果8设 23210T已知 是 的特征值，相应的特征向量为 ，证明 也是 的特征值，相应的1 Ta321,T特征向量为 Ta,329 证明定理 4.510 证明(421)中的 和 相似sA1习题 51填空题(1) 用二分法求方程 在0,1 内的根，迭代一次后,根的存在区间为 310x，迭代两次后根的存在区间为 ；(2) 设 可微，则求方程 根的 Newton 迭代格式为 ；()fx()f(3) ，若要使迭代格式 局部收敛到 ，则 C 取2(5)C1()kkx5值范围为 ；(4) 用迭代格式 求解方程 的根，要使迭1()kkxf 32()10fx代序列 是二
10、阶收敛，则 = ；(5) 迭代格式 收敛于根 = ，此迭代格式是 阶收123kkxx敛的2证明 Newton 迭代格式(5.10)满足 12()limkf3. 方程 的根全正实根，试用逐次扫描法( h=1)，找出它3291860, ,)xx的全部实根的存在区间，并用二分法求出最大实根，精确到 0.014用二分法求下列方程的根，精度 .01(1) 34 2,xx(2) 102e5用迭代法求 的正根，简略判断以下三种迭代格式：35x(1) ； (2) ； (3) 12k125kx3125kkx在 附近的收敛情况，并选择收敛的方法求此根精度 0x 406. 方程 xe(1) 证明它在(0,1) 区间
11、有且只有一个实根；(2) 证明 ，在(0,1) 区间内收敛；,101kxk(3) 用 Newton 迭代法求出此根,精确到 5 位有效数字7对方程 ，分别用3(1) Newton 法 ；(2) 割线法 求其根精度 0(2)x01(2,.9)x4108用迭代法求下列方程的最小正根(1) ； (2) ； (3) 54xtansinx9设有方程 230xe(1) 以 ，找出根的全部存在区间；1h(2) 验证在区间0,1 上 Newton 法的区间收敛定理条件不成立；(3) 验证取 , 用 Newton 法不收敛；0.2x(4) 用 Newton 下山法，取 求出根的近似值，精度 0.21x41010
12、分别用 Jacobi 法，Gauss Seidel 法求解非线性方程组2305xy在(1.5,0.7)附近的根,精确到 4111分别用 Newton 法，简化 Newton 法求解非线性方程组sinco01xy在(0,1)附近的根,精确到 4习题 61填空题(1) 设 ，则 ， = ，53()1fxx0,f 0,12f= ； 0,24,f 23456(2) 设 是以节点 0,1,2,n 的 Lagrange 插值基函数，则1(),()nlxlx； 0njjl0()jjlk(3) 设 ， ，(),(1)6,24,01ffff则 0,12f的二次 Newton 插值多项式为 x2已知函数 的数据如
13、下2)(xefix-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6)(if0.697676 0.852114 0.960789 1 0.960789 0.852114 0.697676试用二次，三次插值计算 =0.35， =0.55 的近似函数值，使其精度尽量地高x3利用 在 及 处的值，求 的近似值，并估计误差xsin3,46025sin4利用数据 i0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0)(ixf0 0.19956 0.39646 0.58813 0.77210 0.94608计算积分 , 当 =0.45 时的 的取值xdtf0sin)()(xfx5试用 Newton 插值求经
14、过点(-3,-1),(0,2),(3,-2),(6,10) 的三次插值多项式6求满足 及 的次数不超过 2 次的插值多项)(),(1100fPf)(00fP式 ，并给出其误差表达式)(xP7设 是互异节点， 是 Lagrange 插值基函数( )，证明i )(xlj nj,21(1) ； 1)(0njl(2) ( )；knjjkxl0)( n,210(3) ( ) )(0njjkjl ,8设有如下数据 ix0 1 2 3 4)(if3 6 11 18 27试计算此表中函数的差分表，并分别利用 Newton 向前，向后插值公式求出它的插值多项式9试构造一个三次 Hermite 插值多项式使其满足
15、 5.0)1( ,2)( ,5.0)( ,1)0( ffff10已知函数 的数据表xi0.0 0.2 0.4 0.6 0.8)(ixf1.0000 1.22140 1.49182 1.82212 2.22554分别用 Newton 向前插值公式和向后插值公式求 =0.05， =0.42， =0.75 的近似值xx11对函数 进行分段线性插值，要求误差不超过 ，问步长 h 应如何()sinf 510.选取12设有数据 ix0.25 0.30 0.39 0.45 0.53)(if0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280用三转角插值法求满足下述条件的三次样条插值函数(1)
16、 ，0.1)25.(S68.0)53.(S(2) ， 47913. 证明定理 6.6.习题 81填空题(1) 个点的插值型数值积分公式 的代数精度至少是 1n0()()nbjjajfxdAfx，最高不超过 (2) 梯形公式有 次代数精度，Simpson 公式有 次代数精度(3) 求积公式 中的参数 时，20()(0)()2hfxdfhffh 才能保证该求积公式的代数精度达到最高，最高代数精度为 2确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精度(1) )2()()0()(120 hfAffAdxfh (2) 321 x(3) 11231()()fxdfff(4)
17、)(0(3211 fAffAf (5) )()(20xdx3分别利用复化梯形公式，复化 Simpson 公式，复化 Cotes 公式计算下列积分(1) ( =8)1024n(2) ( =10)dx(3) ( =10) 102e(4) ( =6)64sinxd(5) ( =8)204用 Romberg 公式计算积分(1) (精度要求 )102dxe510(2) (精度要求 )404cos55分别取节点数为 2，3，4 利用 GaussLegendre 求积公式计算积分(1) ， (2) ， (3) 41dx10dxe31dx6利用 Gauss 型求积公式，分别取节点数 2，3，4 计算积分(1)
18、 ， (2) 0exx7用节点数为 4 的 GaussLaguerre 求积公式和 GaussHermite 求积公式计算积分02deIx的近似值，并与准确值 作比较2I8分别用两点公式与三点公式求 在 =1.0， =1.2 的导数值，并估计误2)1()xfx差，其中 的数据由下表给出)(xfi0.1.2.3.1)(ixf25680899已知 的数据如下eix7.22)(if1825463891461748取 =0.1， =0.2，分别用二点、三点公式计算 =2.7 处的一阶和二阶导数值h x习题 91填空题(1) 解初值问题的 Euler 法是 阶方法，梯形方法是 阶方法，标准 RK 方法是
19、 阶方法(2) 解初值问题 时，为保证计算的稳定性，若用经典的四阶()20),(1yxyR K 方法，步长 采用 Euler 方法，步长 h 的取值范围为 ，若采用hEuler 梯形方法，步长 h 的取值范围为 若采用 Adams 外推法，步长 h 的范围为 ，若采用 Adams 内插法，步长 h 的取值范围为 (3) 求解初值问题 Euler 方法的局部截断误差为 Euler 梯形方法的局部截断误差为 ， Adams 外推法的局部截断误差为 Adams 内插法的局部截断误差为 .2对初值问题0)(121yxyx试用 Euler 法取步长 =0.1 和 =0.2 计算其近似解，并与准确解 进行
20、比较h 21xy3利用 Euler 预测校正法和四阶经典 RK 方法，取步长 =0.1，求解方程h1)0(1yxx并与准确解 进行比较xex2)(4用待定系数法推导二步法公式)85(111 iiiii ffhy并证明它是三阶公式，求出它的局部截断误差5用 Adams 预测校正法求解 1)0(2yx并与准确解 进行比较()x6用 Euler 中点公式计算02.5()1yx取步长 =0.25，与准确解 比较，并说明中点公式是不稳定的hxe7写出用经典的 RK 方法及 Adams 预测校正法解初值问题0)(,1782zyx的计算公式8写出用 Euler 方法及 Euler 预测校正法解二阶常微分方程初值问题0)(,1)0(siny的计算公式9证明用单步法1,(,)2iiiiihyfxyfx解方程 的初值问题，可以给出准确解ax2
