1、每天两道题：1 设正方体 的棱长为 1，O 是 AC、BD 的交点，E、F 分别是 AB 与1DCBAAD 的中点（1）求异面直线 与 所成角的大小； （2）求异面直线 EF 与 所成角的1OD1CA 1OD正切值；（3）A 到 的距离等于_； （4）A 到 的距离等于B1 1B_；（5）A 到平面 的距离等于_； （6）AB 到平面 的CDBA1 CDBA1距离等于(7)求点 B 到截面 AB1C 的距离_； （8）求异面直线 EF 与 的距离1O（9） 与平面 ABCD 所成的角等于_；（10） 与平面 ABCD 所成的1AD 1AC角的正切值等于_；（11） 与平面 所成的角等于_ (1
2、2)求证 BD截面 AB1C；CB1D1(13)求 BB1与截面 AB1C 所成的角的余弦值。2. 空间四边形 PABC 中，PA、PB、PC 两两相互垂直，PBA45，PBC60，M为 AB 的中点.(1)求 BC 与平面 PAB 所成的角；(2)求证：AB平面 PMC.546. 设直线 a 在平面 内，则“平面 平面 ”是“直线 a平面 ”的( )条件A.充分但不必要 B.必要但不充分C.充分且必要 D.不充分也不必要解析：若 ，a ，a 与 无公共点，a.若 a，a ，则 ， 的关系不能确定，所以应选 A.547. 设 a、b 是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是( )A.经过直
3、线 a 有且只有一个平面平行于直线 bB.经过直线 a 有且只有一个平面垂直于直线 bC.存在分别经过直线 a 和 b 的两个互相平行的平面D.存在分别经过直线 a 和 b 的两个互相垂直的平面解析：A、C、D 均为真命题，B 为假命题；若过 a 的平面 b,则 b 垂直 内的直线 a，从而 ab，那么限制a,b 必须垂直，而条件中没有指明 a、b 是否垂直.548. 和 是两个不重合的平面，在下列条件中可以判定平面 的是( )A.、 都垂直于平面 B. 内不共线的三点到 的距离相等C.l、m 是 内的直线，且 l，mD.l、m 是两条异面直线，且 l,l,m,m解析：显然 B、C 不能推出
4、，有 、 相交的情况存在，对于 A、D，学了“面面垂直”后，就可以说明 A 不能推出 ，、 有相交的可能，从而选 D.事实上，l，m，在 内任取一点 A，过 A 作 ll，mm,因为 l,m 异面，所以 l,m相交，则可推出 l，m.由面面平行的判定定理可推出 .549. 已知矩形 ABCD，过 A 作 SA平面 AC，再过 A 作 AESB 交 SB 于 E，过 E 作 EFSC 交 SC 于 F(1)求证：AFSC(2)若平面 AEF 交 SD 于 G，求证：AGSD解析：如图，欲证 AFSC，只需证 SC 垂直于 AF 所在平面，即 SC平面 AEF， 由已知，欲证 SC平面 AEF，只
5、需证 AE 垂直于 SC 所在平面，即 AE平面 ABC，再由已 知只需证AEBC，而要证 AEBC，只需证 BC平面 SAB，而这可由已知得证证明 (1)SA平面 AC，BC 平面 AC，SABC矩形 ABCD，ABBC BC平面 SAB BCAE 又 SBAE AE平面 SBCSC平面 AEF AFSC(2)SA平面 AC SADC，又 ADDC DC平面 SAD DCAG又由(1)有 SC平面 AEF，AG 平面 AEF SCAG AG平面 SDC AGSD555. 矩形 ABCD，AB2，AD3，沿 BD 把 BCD 折起，使 C 点在平面 ABD 上的射影恰好落在 AD 上.(1)求
6、证：CDAB； (2)求 CD 与平面 ABD 所成角的余弦值.(1)证明 如图所示，CM面 ABD，ADAB，CDAB(2)解：CM面 ABDCDM 为 CD 与平面 ABD 所成的角，cosCDM CDM作 CNBD 于 N，连接 MN，则 MNBD.在折叠前的矩形 ABCD 图上可得DMCDCDCAABAD23.CD 与平面 ABD 所成角的余弦值为 32501. 在长方体 ABCD 中，AB2， ，M、N 分别是 AD、DC 的中点1DCBA1BC（1）证明 ；M1（2）求异面直线 MN 与 所成角的余弦值解析：（1） ， ， 是平行四边形，AC ，又1AB1CA1BCA1 1CAMN
7、AC，因此，MN （2）由（1） ， 是异面直线 MN 与 所成角在 中， ， 于是111B21C51B有 0cos1ABC504. 如图 918，已知 P 为ABC 所在平面外一点，PCAB，PC AB 2，E、F 分别为 PA 和 BC 的中点（1）求证：EF 与 PC 是异面直线；（2）EF 与 PC 所成的角；（3）线段 EF 的长解析：（1）用反证法假设 EF 与 PC 共面于 ，则直线 PE、CF 共面 ，则 A ，B ，于是 P 与 A、B、C 共面于 ，这与已知“P 是平面 ABC 外一点”矛盾故 EF 与 PC 是异面直线（2）取 PB 中点 G，连结 EG、FG，由 E、F
8、 分别是线段 PA、BC 中点，有 EG AB，GF PC 2121GFE 为异面直线 EF 与 PC 所成的角，EGF 是异面直线 PC 与 AB 所成的角， PCAB， EG GF，即EGF90 PCAB2， EG1，GF 1，故EFG 是等腰直角三角形， GFE45，即 EF与 PC 所成的角是 45（3）由（2）知 RtEGF 中 EG1，GF1，EGF90， EF 2解析：（1） AC， 与 AC 所成的锐角或直角就是 与 所成的角，连结 、 ，在1CAOD1ODCA1ADC 和 ， ， ， ， ，1D111CA1901 是等腰三角形 O 是底边 AC 的中点， ，故 与 所成的角是
9、A1 11O90（2） E、F 分别是 AB、AD 中点， EFBD，又 AC， AC 与 BD 所成的锐角或直角就1A是 EF 与 所成的角 四边形 ABCD 是正方形， ACBD， EF 与 所成的角为 901C 1C（3） EFBD ， 为异面直线 EF 与 所成的角 四边形 是正方形， 901OD1ODDB1， 在 Rt 中， ， ， 901DOOD1a1OBD212Aaa212，即 EF 与 所成角的正切值为 2tan11a1（4） EFBD ，BD AC ， EFAC ，设交点为 G AC （由（1）OD知）于 O，则 AC 是异面直线 EF 与 的公垂线，OG 的长即为 EF 与
10、 间的距离，由于 G 是 OA 中点，O 是1ODAC 中点，且 ， ，即 EF 与 间的距离为aBCA222 aAC42121Da42528. 如图所示，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 a 的菱形，A60，PC平面 ABCD，PCa,E 是 PA 的中点.(1)求证平面 BDE平面 ABCD.(2)求点 E 到平面 PBC 的距离.(3)求二面角 AEBD 的平面角大小.解析：(1)设 O 是 AC，BD 的交点，连结 EO.ABCD 是菱形，O 是 AC、BD 的中点，E 是 PA 的中点，EOPC，又 PC平面 ABCD，EO平面 ABCD，EO 平面 BDE，平面 BDE平面 AB
11、CD.(2)EOPC，PC 平面 PBC，EO平面 PBC，于是点 O 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离.作 OFBC 于 F，EO平面 ABCD，EOPC，PC 平面 PBC，平面 PBC平面 ABCD，于是 OF平面 PBC，OF 的长等于 O 到平面 PBC的距离.由条件可知，OB ,OF a，则点 E 到平面 PBC 的距离为 a.2a23443(3)过 O 作 OGEB 于 G，连接 AGOEAC，BDACAC平面 BDEAGEB(三垂线定理)AGO 是二面角 AEBD 的平面角OE PC a,OB a2123EBa.OG a 又 AO a.EBO4321tan
12、AGO GAAGOarctan .32406. 如图，在二面角 l 中，A、B，C、Dl，ABCD 为矩形，P，PA，且 PAAD，M、N 依次是 AB、PC 的中点.(1)求二面角 l 的大小；(2)求证：MNAB；(3)求异面直线 PA 与 MN 所成角的大小.解析：(1)连 PD，ABCD 为矩形，ADDC，即 ADl.又 PAl，PDl.P、D，则PDA 为二面角 l 的平面角.PAAD，PAAD，PAD 是等腰直角三角形，PDA45，即二面角 l 的大小为 45.(2)过 M 作 MEAD，交 CD 于 E，连结 NE，则 MECD，NECD，因此，CD平面MNE，CDMN.ABCD
13、，MNAB(3)过 N 作 NFCD，交 PD 于 F，则 F 为 PD 的中点.连结 AF，则 AF 为PAD 的角平线，FAD45，而AFMN，异面直线 PA 与 MN 所成的 45角.408. 已知四棱锥 PABCD，它的底面是边长为 a 的菱形，且ABC120，PC平面 ABCD，又 PCa，E 为 PA 的中点.(1)求证：平面 EBD平面 ABCD；(2)求点 E 到平面 PBC 的距离；(3)求二面角 ABED 的大小.(1)证明: 在四棱锥 PABCD 中，底面是菱形，连结 AC、BD，交于 F，则 F 为 AC 的中点.又 E 为 AD 的中点，EFPC又PC平面 ABCD，
14、EF平面 ABCD.EF 平面 EBD.平面 EBD平面 ABCD.(2)EFPC，EF平面 PBCE 到平面 PBC 的距离即是 EF 到平面 PBC 的距离过 F 作 FHBC 交 BC 于 H，PC平面 ABCD，FH 平面 ABCDPCFH.又 BCFH，FH平面 PBC，则 FH 是 F 到平面 PBC 的距离，也是 E 到平面 PBC 的距离.FCH30，CF a.23FH CF a.214(3)取 BE 的中点 G，连接 FG、AG 由(1)的结论，平面 BDE平面 ABCD，AFBD，AF平面 BDC.BFEF ，FGBE，由三垂线定理得，AGBE，2aFGA 为二面角 DBE
15、A 的平面角.FG a,AF a.423tgFGA ,FAGarctgFG66即二面角 ABED 的大小为 arctg解析：（1） 平面 ABCD， 为 与平面 ABCD 所成的角，1 AD11 AD1=45（2） 平面 ABCD， 为 与平面 ABCD 所成的角设 ，则 ， C1 C11 1C22tan1A（3） 平面 ， ， 平面 ， 与平面 所成的角为1DB11/AD1B11ADB10（4） 平面 ， 与平面 所成的角为 901C11C1（5）连结 AC，交 AD 于 H连结 ， 平面 ABCD，CH 平面 ABCD，B ，又 CHBD， CH平面 为 在平面 内的射影 B1 D1HB1
16、CDB1为 与平面 所成的角设正方体棱长为 1，则 ， ， HCB1DB1 2CB21ACH，即 与平面 所成的角为 30301C11470. 如图 9-55，将边长为 a 的正三角形 ABC 按它的高 AD 为折痕折成一个二面角 D（1）指出这个二面角的面、棱、平面角；（2）若二面角 是直二面角，求 的长；AD C（3）求 与平面 所成的角；（4）若二面角 的平面角为 120，求二面角 的平面角的正切值CA498. 如图 913，P 是平面 ABC 外一点，PA4， ，D、E 分别为 PC 和 AB 的中点，且 DE3求异面52BC直线 PA 和 BC 所成角的大小318. (1)如果三棱锥
17、 SABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的角都相等，且顶点 S 在底面的射影 O 在ABC 内，那么 O 是 ABC 的( )A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心(2)设 P 是 ABC 所在平面 外一点，若 PA，PB，PC 与平面 所成的角都相等，那么 P 在平面 内的射影是ABC 的( )A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心366. 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，期棱长为 a.(1)求证 BD截面 AB1C；(2)求点 B 到截面 AB1C 的距离；(3)求 BB1与截面 AB1C 所成的角的余弦值。11:DBDAC证 明 面 ACB同理 BD1AB 1.BD 1面 ACB1.(2)AB=BC=BB1 G 为AB 1C 的中心.AC= a2AG= a362aBG= = a2222 93)(3)BB 1G 为所求cosBB 1G= 36aB
