1、一元回归分析,一元线性回归数学模型,例如：今有某品种大豆脂肪含量 X(%)与蛋白质含量Y(%),的测定结果如下表，试分析这些数据蕴含的关系。,将每一对观察值在同一直角坐标系中描出，得散点图如右：,从散点图看出， 与具有线性相关关系。,一般地，设随机变量 Y 与变量 X 有相关关系，作 次独立试验，得 n 对观测值：,用试验数据对作出散点图，若如下图，则显示 Y 与 X 有线性关系的趋势。,这里，,若每一确定的 ，有数学模型：,则称之为一元线性回归模型,可知,其中 是与 无关的常数，,在回归分析中，我们假定X非随机变量，没有测量误差,对每一确定的 ，建立数学模型：,（回归模型）,即有,（回归方程
2、、经验公式）,回归分析的任务是，找出回归方程，并检验方程有效与否，当方程有效时对 Y 的值作预测与对 X 作控制。,可知,（回归函数）,由此得出变量 Y 与 X 的近似表达式：,最小二乘法,考察,我们希望求出的 能使 最小,分别求 对 的偏导，,并令各偏导为零，得方程组,可解得：,设 Y 与 X 的一元线性回归方程是,设 Y 与 X 的一元线性回归方程是,可得：,设 Y 与 X 的一元线性回归方程是,可得：,例1、为研究一种过敏新药的施药剂量 X 与过敏症状消除 时间 Y 的相关关系，对 10 个个体的临床试验数据如下 表，试确定其一元线性回归方程。,解：,所求线性回归方程,一般地，对测定出来
3、的数据,但变量 X 与 Y 是否真有线性相关的关系？,用最小二乘法总是可以求出一条回归直线：,也就是说回归直线方程有没有意义？有没有效？,一元线性回归方程的方差分析（F 检验）,把 Y 的观测值的总离差平方和,分解成两部分：,即：,回归平方和,剩余平方和,反映了自变量 X 对随机变量 Y 的影响，,反映了试验误差和其它因素对 Y 的影响。,中,，我们就来检验这个假设。,若假设 H0 ： 成立：则,若变量 X 与 Y 没有线性关系，即回归方程 中,记为,将 的自由度分别记作,显然有：,若假设 H0 ： 成立：则,从而统计量,对给定的检验水平 ，,H0 的拒绝域为：,“拒绝”就是认为回归方程在很大
4、程度上是成立的，是有效的，或说 X 与Y 的线性相关关系是有统计意义的。,注意到：回归方程越有效的，SSE 就越小，从而 F 就越大。,总计,回归残差,F 比,均方和,自由度,偏差平方和,方差来源,B、D、F,一元线性回归的方差分析表,设有 n 组数据，则下列结论下确的是（ ）。,例1（续）为研究一种过敏新药的施药剂量 X 与过敏症状消除 时间 Y 的相关关系，对 10 个个体的临床试验数据如下表， 试确定其一元线性回归方程。设对于给定的 X，Y 为正态 变量，其方差与 X 无关。,解：,所求线性回归方程,选用统计量,对回归方程作方差分析：,检验假设 ：,列出方差分析表：,所求线性回归方程,解
5、：. . . . . .,例2、某部门所属10个企业全员劳动生产率 与销售利润 的调查资料如下：,（1） 建立销售利润 与全员劳动生产率 变化的回归直线方程；,（2） 在显著性水平 下，检验回归直线方程是否有意义。,解：. . . . . .,回归平方和,剩余平方和,说明在 0.05 的检验水平下，此回归方程是有意义的。,因此回归直线方程为,一元线性回归方程的相关系数 R 检验,令,样本相关系数,则,显然有,|R| 越接近 1 ，则 Q 越小，X 与Y 的线性关系越密切。,设 H0 为 X 与 Y 没有线性相关关系的假设，,H0 的拒绝域为： ，（非双边检验）,这时认为回归方程很大程度上是成立
6、的，是有效的，或者说 X 与Y 的线性相关关系是有统计意义的。,对给定的检验水平 ，,又因为 与 同号，当 R 0 时称 X 与 Y 正相关，,当 R 0 时称 X 与 Y 负相关。,F 检验与相关系数检验的联系：,F 越大，则|R| 越接近 1 。,一元线性回归方程的相关系数 R 检验,另外，有时 X 与 Y 未必呈现线性相关的关系，但可作适当的变换化为线性回归问题。 对 X 与 Y 关系的不同看法也许会得到多个不同的回归方程，这时可通过计算线性相关系数的办法求得最优者，系数越大者越优。,如果实测数据的散点图大致围绕下列某一曲线分布，可采取下列与之相应的变换化为线性回归问题。,1. 双曲线,
7、令 则得,2. 幂函数,可线性化的一元非线性回归分析,3. 指数函数,4. 负指数函数,可线性化的一元非线性回归分析,5. 对数函数,令 则得,6. S 型（Logistic）曲线,设 Y 与 X 的一元线性回归方程是,由 的取值状态估计 的取值范围谓之预测，,由对 的取值限制来确定 的取值范围谓之控制。,1. 点预测,对给定的 由 算出的 值为 的点预测值。,2. 区间预测,对给定的 由 求出 以置信度 的取值区间（置信区间）称作 的预测区间。,一元线性回归分析之预测与控制,考察统计量：,对给定的置信度 ，得 的预测区间：,即：,其中,例3、对例1，当 时，找出随机变量 Y 的置信度为 95
8、%,的预测区间。,解：,Y 的置信度为 95% 的近似预测区间为：,由线性回归方程得 Y 的点预测为,（所求线性回归方程 ）,3. 的控制,对给定的置信度 ，若要使,令 ，解得,则 正是 所应被控制的范围。,一元线性回归分析之预测与控制,由 的近似预测区间：,令 ，解得,一般地，要求 的控制区间长度,例4、对例1，对给定的置信度为 95%，要求控制,试找出 的控制范围。,再见！,作业题,P222 1、2,P2221、,所求线性回归方程,对线性回归方程作方差分析，检验假设：,方差分析表,P2222、,所求线性回归方程,对线性回归方程作方差分析，检验假设：,方差分析表,总计,回归残差,F 值,均方和,自由度,偏差平方和,来源,F 值临介值,由此得：回归方程在检验水平 下有效的。,P2222、,线性回归方程,Y 的置信度为 95% 的近似预测区间为：,
