1、龙文教育教育一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例 1：已知如图 1-1：D、E 为ABC 内两点,求证:ABACBDDECE.证明：（法一）将 DE 两边延长分别交 AB、AC 于 M、N，在AMN 中，AMAN MDDENE;（1）在BDM 中，MBMDBD； （2）在CEN 中，CNNECE； （3）由（1）（2）（3）得：AMANMBMDCNNEMDDENEBDCEABACBDDEEC （法二：）如图 1-2， 延长 BD 交 AC 于 F，延长 CE 交
2、 BF 于 G，在ABF 和GFC 和GDE 中有： ABAF BDDGGF （三角形两边之和大于第三边） （1）GFFCGECE（同上）（2）DGGEDE（同上）（3）由（1）（2）（3）得：ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDEABACBDDEEC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图 2-1：已知 D 为ABC 内的任一点，求证：BDCBAC。分析 ：因为BDC 与BAC 不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加
3、辅助线构造新的三角形，使BDC 处于在外角的位置，BAC 处于在内角 的位置；证法一：延长BD 交 AC 于点 E，这时BDC 是EDC 的外角，BDCDEC，同理 DECBAC，BDCBAC证法二：连接 AD，并延长交 BC 于 FBDF 是ABD 的外角BDFBAD，同理，CDFCADBDFCDFBADCAD即：BDCBAC。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：例如：如图 3-1：已知 AD 为ABC 的中线，且12,34,求证：
4、BECFEF。分析 ：要证 BECFEF ，可利用三角形三边关系定 理证明，须把BE，CF，EF 移到同一个三角形中，而由已知12，34，可在角的两边截取相等的线段，利 用三角形全等对应边相等，把 EN，FN，EF 移到同一个三角形中。证明：在 DA 上截取 DNDB，连接 NE，NF，则 DNDC，ABCDENM1图 ABCDEF2图 ABCDEFG12图 ABCDEFN13图 24- 2 -在DBE 和DNE 中： )(21公 共 边已 知辅 助 线 的 作 法EDBNDBEDNE （SAS）BENE（全等三角形对应边相等）同理可得：CFNF在EFN 中 ENFNEF（三角形两边之和大于第
5、三边）BECFEF。注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例如：如图 4-1：AD 为ABC 的中线，且12，34，求证：BECFEF证明：延长 ED 至 M，使 DM=DE，连接 CM，MF。在BDE 和CDM 中， )(1辅 助 线 的 作 法对 顶 角 相 等中 点 的 定 义DECBBDECDM （SAS）又12，34 （已知） 1234180（平角的定义）32=90即：EDF90FDMEDF 90在EDF 和MDF 中 )(公 共 边 已 证
6、辅 助 线 的 作 法DFMEEDFMDF （SAS）EFMF （全等三角形对应边相等）在CMF 中，CFCMMF（三角形两边之和大于第三边）BECFEF注：上题也可加倍 FD，证法同上。注意 ：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图 5-1：AD 为 ABC 的中线，求证：ABAC2AD。分析 ：要证 ABAC2AD，由图想到： ABBDAD,ACCDAD，所以有 ABAC BDCDADAD2AD，左边比要证结论多 BDCD，故不能直接证出此题，而由 2AD 想到要构造 2
7、AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。 证明：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE，则 AE2ADAD 为ABC 的中线 （已知）BDCD （中线定义）在ACD 和EBD 中)()辅 助 线 的 作 法对 顶 角 相 等已 证EDABCABCDE14图ABCDEFM1234- 3 -ACDEBD （SAS）BECA（全等三角形对应边相等）在ABE 中有：ABBEAE（三角形两边之和大于第三边）ABAC2AD。（常延长中线加倍，构造全等三角形）练习：已知ABC，AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图 5-2， 求证
8、 EF2AD。 六、截长补短法作辅助线。例如：已知如图 6-1：在ABC 中，ABAC，12，P 为 AD 上任一点。求证：ABACPBPC。分析 ：要证：ABACPBPC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边 ABAC，故可在 AB 上截取 AN 等于 AC，得 ABACBN， 再连接 PN，则 PCPN，又在PNB 中，PBPNBN，即：ABACPBPC。证明：（截长法）在 AB 上截取 ANAC 连接 PN , 在APN 和APC 中 )(21公 共 边已 知辅 助 线 的 作 法APCNAPNAPC （SAS）PCPN （全等
9、三角形对应边相等）在BPN 中，有 PBPNBN （三角形两边之差小于第三边）BPPCABAC证明：（补短法） 延长 AC 至 M，使 AMAB，连接 PM，在ABP 和AMP 中 )(21公 共 边已 知辅 助 线 的 作 法APBABPAMP （SAS）PBPM （全等三角形对应边相等）又在PCM 中有：CMPMPC(三角形两边之差小于第三边)ABACPBPC。七、延长已知边构造三角形：例如：如图 7-1：已知 ACBD，ADAC 于 A ，BCBD 于 B，求证：ADBC分析： 欲证 ADBC，先证分别含有 AD，BC 的三角形全等，有几种方案：ADC 与BCD，AOD 与BOC，ABD
10、 与BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。15图 ABCDEF25图ACDNMP16图 2- 4 -证明：分别延长 DA，CB，它们的延长交于 E 点，ADAC BCBD （已知）CAEDBE 90 （垂直的定义）在DBE 与CAE 中 )(已 知 已 证公 共 角ACBDEDBECAE （AAS）EDEC EBEA （全等三角形对应边相等）EDEAECEB 即：ADBC。（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。 ）八 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图 8-1：ABCD，
11、ADBC 求证：AB=CD。分析： 图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。证明：连接 AC（或 BD）ABCD ADBC （已知）12，34 （两直线平行，内错角相等）在ABC 与CDA 中 )(4321已 证公 共 边已 证CAABCCDA （ASA）ABCD（全等三角形对应边相等）九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图 9-1：在 RtABC 中，ABAC，BAC90，12，CEBD 的延长于 E 。求证：BD2CE 分析 ：要证 BD2CE，想到要构造线段 2CE，同时 CE 与ABC 的平分线垂直，想到 要将其延长。 证明：分别延长
12、BA，CE 交于点 F。BECF （已知）BEFBEC90 （垂直的定义）在BEF 与BEC 中， )(21已 证公 共 边已 知BECFBEFBEC （ASA）CE=FE= CF （全等三角形对应边相等）21BAC=90 BECF （已知）BACCAF90 1BDA901BFC90BDABFC在ABD 与ACF 中)(已 知 已 证已 证ACBFDABDACF （AAS）19图 DCBAEF2ABCD18图 234ABCDE17图O- 5 -BDCF （全等三角形对应边相等）BD2CE十、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图 10-1；AC、BD 相交于 O 点，且 ABDC，ACB
13、D，求证：AD。分析：要证AD，可证它们所在的三角形ABO 和DCO 全等，而只有 ABDC 和对顶角两个条件，差一个条件， ，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由 ABDC，ACBD，若连接 BC，则ABC 和DCB 全等，所以，证得AD。证明：连接 BC，在ABC 和DCB 中 )(公 共 边已 知已 知CBDAABCDCB (SSS)AD (全等三角形对应边相等)十一、取线段中点构造全等三有形。例如：如图 11-1：ABDC，AD 求证：ABCDCB。分析：由 ABDC，AD，想到如取 AD 的中点 N，连接 NB，NC，再由 SAS 公理有ABNDCN，故 BNCN，ABNDCN。下面只需证NBCNCB，再取 BC 的中点 M，连接 MN，则由 SSS 公理有NBMNCM，所以NBCNCB。问题得证。证明：取 AD，BC 的中点 N、M，连接 NB，NM，NC。则 AN=DN，BM=CM，在ABN 和DCN 中 )()已 知已 知辅 助 线 的 作 法DCABABNDCN （SAS）ABNDCN NBNC （全等三角形对应边、角相等）在NBM 与NCM 中 )(公 共 边 辅 助 线 的 作 法 已 证 NMNMBNCM，(SSS) NBCNCB （全等三角形对应角相等）NBCABN NCBDCN即ABCDCB。DCBA10图 O1图 DCBAMN
