1、第四章 习题1确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：（1） ；h hfAfhfAdxf 101（2） ；h（3） ；3/21 21 xfffxf（4） hfahdh 0/00 解：（1）求积公式中含有三个待定参数，即 ，将 分别代入11A，2xf，求积公式，并令其左右相等，得解得 。3121012hAh hA34101，所求公式至少具有 2 次代数精度。又由于4433hdxh故 具有三次代数精度。h hfAffAf 101（2）求积公式中含有三个待定系数： ，故令公式对 准确成10，21xf，立，得 ，解得31210164hAh hhAhA
2、3464238101 ，故 482 fffdxfh因 0而 33又 45562481hhdxh 所以求积公式只具有三次代数精度。（3）求积公式中韩两个待定常数 ，当令公式对 准确成立时，得到21x、 1xf3d此等式不含有待定量 ，无用，故需令公式对 准确成立，即21x、 2xf，1 212330xdx得 21解上述方程组得或6890.12x2890.561x故有 1260.33 fffdf或 5.1x将 代入上已确定的求积公式中，3f3211xdx故求积公式具有 2 次代数精度。（4）求积公式中只含有一个待定系数 ，当 时，有axf，140021hdx2故令 时，求积公式精确成立，即2xf4
3、020hahd解得 12a故有 hffhfdxfh 01200 将 代入上述已确定的求积公式中，有3f4301242303 hhhdxh 再另 代入求积公式时有f324403 01hhdxh 故求积公式具有 3 次代数精度。2分别用梯形公式、Simpson 公式、Cotes 公式计算积分 ，并估计各种方法的误差dxe10（要求小数点后至少要保留 5 位） 。解：运用梯形公式， 8594.12010edxe其误差 140859.859.163.203dxefR实 际 误 差 为 ， ,运用 Simpson 公式， 7162.6200 ex其误差为 94385.812efR运用 Cotes 公式，
4、 71826.227041410 eedx其误差为 0.95495266efR3推到下列三种矩形求积公式; 2242abfafbdxf abfbdxfbaba 解：将 出 Taylor 展开，得f在，两边在 上积分，得xaxfx，, ba,babfafbdxffadxaxf bababb ， 221将 处 Taylor 展开，得xf在，两边在 上积分，得bfb ba,babfafbdxffdxaxf baba ， 221将 处 Taylor 展开，得2xf在 babxfbaxfbaf ， 221两边在 上积分，得， babfbaf dxbaxfdxaffdxf babba ， 3 224121
5、4用下列方法计算积分 ，并比较结果。31yd（1）Romberg 方法；（2）三点及五点 Gauss 公式；（3）将积分区间分为四等分，用复化两点 Gauss 公式。解：（1）用 Romberg 算法 lmlkTT labiafbfamkkmi llll l ，；， ， 2110422110001计算，计算结果如表 4.1表 4.1k kT0kT1kT2kT30 1.333333 1.111111 1.099258 1.0986301 1.166667 1.099999 1.0986402 1.116666 1.0987253 1.10故 109863.dy（2）用三点及五点 Gauss-Le
6、gendre 求积公式，需先对求积区间 1，3作如下变换，令221tabay则当 时， ，且 ，31，y1，tdt1312dty三点 Gauss 公式09832.1 0.2189.074596.02174596.0156113 dty五点 Gauss 公式09862.115 538469.021538469.02147869.0961.0290678.3.11 dty（3）用复化的两点 Gauss 求积公式计算，需将1，3 四等分，则098537.1 35.04135.04135.041.4 .2.21 5.0215.0415.035.011 2/2/2/1 /11 35.25.225.5.3
7、 tdtdtdtdtyttytdy的真值为dyI1986.I5用三点公式和五点公式求 在 =1.0，1.1 和 1.2 处的导数值，并估计误21xf差。 的值由表 4.2 给出。xf表 4.21.0 1.1 1.2 1.3 1.4xf0.2500 0.2268 0.2066 0.1890 0.1736解：三点求导公式为 22102 121 02100 34 6 343 fhxffxfhxf fhxffxfhf 上表中取 ，分别将有关数值代入上三式，即可得导数的近似值，1，由于 75.02!41maxax 52.0.2.10. ffi故可得误差及导数值如表 4.3表 4.3 x1.0 1.1 1.2三点公式 -0.24792 -0.21694 -0.18596f-0.25000 -0.21596 -0.18783理论误差值 0.00250 0.00125 0.00250实际误差值 0.00208 0.00098 0.00187
