1、第一章 行列式 要点和公式 1 全排列及其逆序数、对换 排列的逆序数= 各元素的逆序数之和 .(一个元素的逆序数是指排在其前面并且大于它的元素个数) n 个元素所有排列的种数 Pn=n!，其中奇、偶排列各占一半。 一次对换改变排列的奇偶性。2 行列式 n 阶行列式的定义： 或 或 行列式的性质： D=D T 上 上上上上Dkcrcrjijiiijj )( (, )( 以下都是行列式等于零的充分条件： 两行(列) 完全相同；某一行(列) 的元素全为零；两(列)的元素对应成比例. 若行列式的某一行(列)元素都是两数之和，则行列式可分解为两个行列式之和. 行列式按行(列)展开法则或 (i=1,2,n
2、)ijnkjiDAa1 jnkjiDAa1(其中 ，D 是原行列式的值)jiij ,0 重要的特殊行列式 对角行列式 / 上三角行列式 / 下三角行列式(1-1)nn 2121(1-2)nnnaaaa 2121121 (1-3)nnn 21)(21(1-4)1,2)1(1,2,11,211 nnnnn aaaa 分块对角行列式 / 分块上三角行列式 / 分块下三角行列式(1-5)BAOBAO*(1-6)km)1(*以上两式中， 分别是 k 阶、m 阶行列式.BA、 范德蒙德行列式(1-7)nijjnnn xxx11321232 )(11 3 克拉默法则和有关定理 克拉默法则: 对 于 n 个
3、变 量 n 个 方 程 的 线 性 方 程 组简记为 (i=1,2,n).212121nnbxaxa njjibxa1若系数行列式 D0，则方程组有唯一解：(i=1,2,n)xjj其中 Dj 是用方程组的常数项 b1, b2, , bn 替换系数行列式 D的第 j 列得到的行列式。 定理：对于非齐次线性方程组(i=1,2,n)njjibxa1 方程组有唯一解 系数行列式 D0； (等价命题) 方程组无解或有多组解 D=0. 定理：对于齐次线性方程组(i=1,2,n)01njjixa 方程组只有零解 系数行列式 D0； (等价命题) 方程组( 除零解外)有非零解 D=0.nppta21)(qqa
4、 典型题型 1 全排列的逆序数、奇偶性计算 n 元排列的逆序数的常用方法是：算出排列中每个元素前面比它大的元素的个数(即每个元素的逆序数 )，这些元素的逆序数之和就是所求排列的逆序数.判断排列的奇偶性的常用方法有两种：方法一：算出排列的逆序数，若逆序数为奇数，则为奇排列；若逆序数为偶数，则为偶排列；方法二：将所给排列进行对换，使其变成标准排列(偶排列) ，若所需对换次数为奇数，则为奇排列；若所需对换次数为偶数，则为偶排列. (因为每次对换都会改变排列的奇偶性 )例 1 计算排列 134782695 的逆序数，并判断奇偶性解 逆序数 t(134782695) = = 104020该排列为偶排列.
5、例 2 以下排列中( )是偶排列。(A) 4312 (B) 51432 (C) 45312 (D) 654321分析 对于(A)4312，将 4 和右边的元素进行相邻对换，直至其排在第四位，需 3 次相邻对换；再将 3 和右边的元素进行相邻对换，直至其排在第三位，需 2 次相邻对换 . 于是， 经过总计 5 次相邻对换，可使 4312 变 成标准排列 1234，因此 4312 是奇排列。对其它选项可作类似分析。解一 四个选项中，只有(C)可通过偶数次对换变成标准排列，答案为(C).解二 逆序数 5210)432(t同理，t (51432)=7，t (45312)=8，t (654321)=15
6、. 答案为(C).练习 1 求排列 13(2n-1)24(2n) 的逆序数, 并讨论奇偶性.答案 t= n(n-1)/2当 n=4k,4k+1 时， 为偶排列；n=4 k+2, 4k+3 时， 为奇排列.例 3 设排列 p1p2pn-1pn 的逆序数为 k, 则 pnpn-1p2p1 的逆序数为多少？ 解 在 n 个元素中任选两个元素 pi , pj (共有 种可能)，则 pi , pj C必在两个排列之一中构成逆序，因此两个排列的逆序数之和为 .2nC knptn2)1().(12 求行列式中的项例 4 在六阶行列式中，如下的项带什么符号：a 23a31a42a56a14a65解一 调换项中
7、元素的位置，使元素的行标排列变成标准排列，即 a14a23a31a42a56a65再求出列标排列的逆序数，t(431265)=6，故该项带正号.解二 分别求出行标排列和列标排列的逆序数t1 (234516)=4 t2 (312645)=4由于 t1+t2=8，故该项带正号例 5 写出五阶行列式中包含因子 a13a25 且带负号的所有项分析 设项为(-1) ta13a25a3ia4ja5k，显然 ijk 是 124 的某个排列，共有六种可能性，其中有三种使乘积带负 号，三种使乘 积带正号。不妨设下标 ijk = 124，此时，列标 排列的逆序数为 t(35124)=5，是奇排列，于是该项带负 号
8、。再对 124 进行两次对换(这不会改 变整个排列的奇偶性) ，可得 ijk的另两组使项带负号的取值: 412, 241。解 设(-1) ta13a25a3ia4ja5k，并令下标 ijk = 124，此时列标排列的逆序数为 t(35124)=5，是奇排列。再对 124 进行两次对换，得ijk=412, 241.ijk 的这些取值使含 a13a25 的项带负号，即所求的项为-a13a25a31a42a54， -a13a25a34a41a52， -a13a25a32a44a51练习 2 写出四阶行列式中所有带负号且包含 a23 的项.答案 -a11a23a32a44 -a12a23a34a41
9、-a14a23a32a41 例 6 求 xxf1257343)(中 x4 和 x3 的系数.分析 从行列式定义的一般项入手，将行标按标准顺序排列， 讨论列标的所有可能值，并注意每一 项的符号.设行列式的一般项为 4321)(pptaa，求 x4 和 x3 的系数就是分别求有 4 个以及 3 个元素含 x 时的项。若 4 个元素皆含 x，各行元素的列标可取如下值：p1: 1 p2: 1, 2 p3: 3 p4: 1, 4仅当 p1p2p3p4= 1234 时才能构成四元排列。若有 3 个元素含 x，各行元素的列标有以下四种情形 p1: 2, 3, 4 1 1 1p2: 1, 2 3, 4 1,
10、2 1, 2p3: 3 3 1, 2, 4 3 P4: 1, 4 1, 4 1, 4 2, 3第一列中的数值可组成两个 4 元排列：2134, 4231，而表格后三列所示的允许值中都缺少一个数，不能构成 4 元排列.解 4 个元素含 x 的项只有 = 6x 4.有 3 个元素含 x 的项有两个，+4321)4(1at 41321)(at= 4x3-2x3 2x 3 x4 和 x3 的系数分别是 6 和 2.练习 3 对例 6 中的行列式 f(x)，求 3)(dxf提示 f(x)是 x 的 4 次多项式，设 f(x)=c0+c1x+c2x2+c3x3+c4x4，则d3f(x)/dx3= 6a3+
11、24a4x，故本题需先求行列式中 x4 和 x3 的系数.)123(t59687431答案 124)(3xfxd练习 4 求 4432413214)( axaf 中 x4、x 3 的系数以及常数项。提示 行列式中涉及 x4 和 x3 的项只有 1 项，即主 对角线上四个元素的乘积(-1) t(1234) ，其余的项至)()(4321axa多含 x2；而 f(x)的常数项就是 f(0).答案 1, a11+a22+a33+a44, 43421321312)0(aaf3 行列式的性质例 7 设 , 则 = ( )3231aD 3231214aaD(A) -3D (B) 3D (C) 12D (D)
12、 -12D解一 323124 (-1) , aa上32312 4ac=3D3231 a上 答案为(B).解二 将 按照第 2 列拆分为两个行列式之和，得D3134aa 3211a上式右端第一个行列式等于零(因为第 1,2 列成比例) ，而第二个行列式的各列分别提取公因子，得DaD3 (-1)3321例 8 设 abcd=1, 证明行列式 =0.1122ddccbbaa证 将行列式按第 1 列拆分为两个行列式之和，即D= 1122dcba1122dcba1122dcba2D上对 D1 的各行分别提取 a,b,c 和 d，并利用 abcd=1,得D1 = = dccbabd1122dcba1122
13、dccba12213112243dcba2D D= 0. 练习 5 设 , 12112nnnaaD 则 ( )1,1,11aan (A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (D)2提示 将 D 左右翻转、再上下翻转(或者, 将 D 依副对角线翻转) 可得到 ，而左右或上下翻转可通 过 n(n-1)/2 次相邻的列( 行)对换实现.答案 (A)例 9 如果 n 阶行列式 满足 , 则称 D 为反对)det(ijaDjiija称行列式, 证明: 奇数阶的反对称行列式等于零. 证 (即 D 的主对角元全为零)jiijaii 0i设 ， 则0032132212113 nnnaaaD00321332
14、212113 nnnTaaaD 0)1(323222113 nnnaaa上Dn)1(由 n 是奇数，得 D = -D，故 D=04 行列式的计算和证明计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用. 除了本章介绍的方法，以后还会陆续学习到一些新的方法，平时应注意归纳、整理.在计算行列式时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察是否能用常用的几种方法. 对角线法则，只适用于二、三阶行列式 利用 n 阶行列式的定义利用定义计算行列式是最基本的方法。 “要点和公式” 中的公式(1-1) (1-4)就是用定义法证明的 .例
15、 10 用行列式的定义计算 00005324353122321aa解 根据定义，行列式的一般项为 ，当其中任一元素为零时，乘积为零.若不考虑各行元素中的零，各行元素的列标分别可取如下值：p1: 2, 3 p2: 1, 2, 3, 4, 5 p3: 1, 2, 3, 4, 5 p4: 2, 3 p5: 2, 3上面的这些数值无法使 p1p2p3p4p5 组成任何一个 5 元排列 (因为其中的 p1, p4, p5 只能取 2 或 3)，也就是说，一般项中的 5 个元素至少有一个为零，故行列式的值等于零.练习 6 用行列式的定义计算 (n2)n0012001 答案 行列式的 n！项中只有 1 项不
16、等于 0，即!)1()1( 2)(,12,1,2)( naaDnnnt 利用行列式性质，化为三角形行列式利用性质将行列式化为三角形行列式是最常用的方法之一. “要点和公式”中的公式 (1-5)和(1-6)就是用此法证明的 .其基本步骤是，利用 ri+krj (ci+kcj)、提取公因子、r irj (cicj)等运算，将对角线以下或以上的元素化为零，然后利用公式(1-1)(1-4)计算出结果 .例 11 计算五阶行列式 21046753259131D解 2104675325911D 2035124 4312rr203512 32r 201342 4r203142 *43r 6403211 35
17、r640212 *54r 20612 45r 21 (注意上面标有*的步骤，其目的是为了避免出现繁琐的分数运算)例 12 计算 n 阶三对角行列式 .2112 Dn分析 三 对 角 行 列 式 可 通 过 逐 行 (或 逐 列 )的 倍 加 运 算 ，将 主 对 角线 以 下 或 以 上 的 元 素 化 成 零 .解 nD211230 2 r 2134012 3 r5421)(ppt anrn10453012 1 = n+11342例 13 计算 n 阶行列式 .)1(231nn D分析 型 的 行 列 式 可 看 作 是 的 变 形 ，可 通 过 逐 行 的 倍 加 运 算 ，将 主 对 角
18、 线 以 上 的 元 素 化 为 零 .解 自倒数第 2 行开始往上，每行加后行，Dn )1(23121 ),1( nnniri 2)!()1n 例 14 计算 n 阶爪型行列式 .11321 n Dn分析 称 为 爪型或箭型，可 利 用 主 对 角 元 ，通 过 r1+kri 或c1+kci (i=2, 3, , n)运 算 ，将 其 化 为 或 .解 132321 ),.3( nnniDin2)1(注 对于以上关于 型行列式的例题，它们的翻转、旋转等形式，可循类似的思路进行计算.练习 7 计算 n 阶行列式 xxaaDnn 121答案 12)1(ninxa例 15 计算 n 阶行列式 xa
19、xa Dn 分析 此行列式的特点是：各行(列 )元素之和相等. 可将第 2,3,n列(行)都加到第一列( 行)上，对第 1 列( 行)提取公因子后，再化为三角形行列式.或 者 ，利 用 主 对 角 线 上 下 的 元 素 皆 为 a 的 特 点 ，将 第 一 行 乘 以( 1)并 加 至 其 它 各 行 ，化 为 爪 形 行 列 式 计 算 .解一 将第 2,3,n 行都加到第一行上，并对第一行提取公因子nD xaxnxrr 11 )( ).(321 将第一行乘以(a)加到其它各行， axaxnxir 11)( ),.32( 1上 1)()1( naxnx解二 将第 1 行乘以(-1)并加至其
20、它各行，nDaxxaanir ),.32( 1再将各列都加至第一列， axaxnici )1( ),.32( 1上 1)()1( naxnx例 16 已知 xia (i=1,2,n)，证明： nxaa 321 nini axa11)(分析 用 第 一 行 (列 )乘 以 ( 1)并 加 至 其 它 各 行 (列 )，即 可 化 为 爪 形 行列 式 .证 axxaxaaxnirDnn 13211 ),.32( 由 于 xia， 将 第 i 行 (i=2, 3, , n)乘 a/(xi a)加 到 第 一 行 上 ， 得axxaxaxDnni 132121) )()()()( 3221axnni
21、 nini axxa121)( nini axxa11)(练习 8. 计算 4 阶行列式 .xx11提示 利用各行元素之和相等的特点进行计算，或者化 为爪型.答案 .4x例 17 计算(n2)阶行列式 )det(ijnaD, 其中 jiaj ),21,(ji。分析 此行列式的特点是：在主 对角线上方或下方，相邻行(列) 中的对应元素相差 1.这种行列式可通过 逐 行 相 减 的 方 式 ：从 第 一 行 (列 )开 始 ，前 行 (列 )减 后 行 (列 )，或 者 ，从 最 后 行 (列 )开 始 ，后 行 (列 )减 去 前 行 (列 )，将 主对角 线 以 上 或 以 下 的 元 素 化
22、 为 相 同 的 数 ，然 后 再 计 算 .解 依题意，行列式为 01321430211120 nnnD 013211),21( nniri再 将 第 一 列 加 到 后 面 各 列 (注 意 ，这 样 做 是 根 据 行 列 式 的 什 么 特 点 ？ )14231020210),32( nnnic 1)()()2(练习 9 计算( n2)阶行列式 det(ijnaD, 其中 )1,max(jniij, ),2ji 提示 依题意，有 11321nnnD 在副对角线及其上方，各行的对应 元素相同. 从第一行开始，前行减后行，即 ri-ri+1 (i=1, 2, , n-1)，可将副对角线以上
23、元素全化为0，即得公式(1-4)的形式. 或者，也可利用副对角线下方相邻列元素相同的特点计算.答案 n2)(1) 分块法若行列式是公式(1-5)和(1-6) 所示的分块三角形，或者容易变换成这种形式，则可用分块法计算. 注意公式中的 A 和 B 必须是“行数=列数”的数表 .例 18 计算 0043213965408372分析 该行列式可分块为 的形式，其中OBA*，321A4321于是可利用公式(1-6)进行计算.解 432121)(43D14 )(3)()(!324 练习 10 用分块法计算“练习 6”中的行列式.练习 11 用分块法计算行列式 43210xyx提示 对换第 2,3 行，再
24、对换第 2,3 列，然后分块计算答案 )(4231xyx 拆分法若行列式的某些行(列)为几个数之和，则可以考虑将行列式按这些行(列)拆分为几个行列式之和，前面的例 8 采用的就是拆分法.特别是，当每个元素都是两数之和时，行列式可拆分为 2n 个行列式之和，在某些情况下，这个 2n 个行列式中有很多等于零，那些不等于零的行列式也很容易计算.例 19 证明 bacbacb2.分析 等号左端，每列可看作为两个子列之和，各列取两个子列之一，可将该行列式分解 为 23=8 个行列式之和.左端行列式中，子列 1-(2)和 2-(1)相同，2-(2)和 3-(1)相同，3-(2)又和 1-(1)相同 . 因
25、此，在拆分所得的 8 个行列式中，只有两个可能不为零，即，各列都取第 1 子列，或都取第 2 子列 其它情形下行列式中都有两列相同，从而等于零.证 对于左端行列式，每列取子列之一，可拆分为 23=8 个行列式之和，其中只有两个可能不为 0，即 cbacbacb(再将第二个行列式的第 3 列依次和左 边的两列作相邻对换)bacbac2)1(bac2例 20 计算 n 阶行列式 (n2)nn yxyxD11222121 分析 该行列式的特点是：任意两列 (行)的第一子列( 行)相同、第二子列(行) 成比例.解一 当 n3 时，将行列式按列拆分，得 2n 个行列式之和，其中每个行列式都至少有两列相同
26、或成比例，故 Dn=0.当 n=2 时， 111222yxyxD)(说明 从计算步骤可以看出，D n=0 的结论只有在 n3 时才成立. 计算 n 阶行列式时，要特别留心 Dn 的结果是否能用一个表达式统一表示，否则，应分开讨论.解二 当 n3 时，将第 1 列乘以( -1)并分别加到后面各列，得=0)()(1)(),2( 1122112yxyxyicDnnnn (第 2,n 列两两成比例)当 n=2 时， )122练习 12 用拆分法计算 (n2)nn babaD 21212答案 当 n=2 时， )(212a当 n3 时，D n=0例 21 计算 n 阶行列式 (n2)baabn 2121
27、分析 把原行列式表示成如下形式 baabDnnn 02121各列的第一子列成比例.将行列式拆分为 2n 个行列式之和，这些行列式中可能不为零的有 n+1 个，即全取第二子列，或者除了某一列取第一子列，其余的都选第二子列.解 baabDnnn 02121bbba11 baab22+ nnab)( 1121nnnbbab ib1练习 13 用拆分法计算“练习 8”中的行列式.练习 14 用拆分法解“练习 4”. 降阶展开法 - 行列式按行(列 )展开法则利用行列式的性质，将行列式的某行(列) 元素尽可能多地化为零，然后将行列式按该行(列)展开，从而变成 n-1 阶行列式的计算，这称为降阶展开法，也
28、是最常用的计算方法之一.例 22 计算 4 阶行列式 5108743265分析 对于数字行列式，常用的计算方法是化为上(下)三角行列式或者用降阶展开法， 这里采用降阶 展开法.解 先将第 3 行元素尽可能多的化为零，再按该行展开 510874265 5107348436 2 31c10738461)( 行 展 开按 第82609 34 12r 82639 列 展 开按 第 15 413)( 413)( 提 取 公 因 子注 展开时注意不要遗漏了代数余子式的符号.练习 15 用降阶展开法计算“练习 6”中的行列式.提示 按最后一行( 列)展开.练习 16 用降阶展开法计算 4432110abba
29、提示 按第一行( 列)展开后分块计算.答案 (a 2a3-b2a3)(a1a4-b1b4) 递推法当 n 阶行列式的结构具有重复性时，可通过按某行(列) 展开，得出它的线性递推公式，然后递推出结果.例 23 计算 2n 阶行列式 abba 分析 将行列式按第 1 行( 列)展开，得两项之和，并 进而建立递推公式.解 按第 1 行展开，得 上上 1212122 )( nnnn babaababD 22)(nDa)(b于是，递推可得 22)(nnaD4b1D n)(2注 本题也可按如下方式给出递推公式 )3,1()3,1(2 nicnirDii abbab 22)(nDba例 24 计算 n 阶三
30、对角行列式 11baabn 分析 三 对角行列式 按 第 一 行 (列 )或 最 后 一 行 (列 )展 开 ，可 建 立 递 推公 式 .解 按最后一行展开，有 阶1101 )( nnn abbaDba 再 将 右 端 的 第 二 个 n-1 阶 行 列 式 按 最 后 一 列 展 开 ， 有21 )( naba把递推公式重新写成， ) nDD继续递推下去， ( 21naba)32) (12Dn由于 ，因此，2212 )()(babaDnnD1 将上式中的 n 分别用 n, n-1, n-2, 2 代替，给出 n-1 个等式，然后对各个等式分别乘 1, a, a2, ., an-2，得 21
31、23121 baDabnnn将以上等式两端相加，得 221 bDnnnn 把 D1=a+b 代入上式，移项，得 abaa12)( )1(bbn若 若练习 17 用递推法证明以下 n 阶行列式的结论： naaa1132 na 2121)( xaxan1132 nnnxxa121 11323nnbabnibab11)(提示 这三个行列式按最后一行展开，可得 递推公式如下： 21)(nnDaD nna21)( x b练习 18 试用递推法计算“例 12-14”中的 n 阶行列式.例 25 设 ab，计算 n 阶( n2)行列式 nxbax 321分析 该 行 列 式 的 特 点 是 主 对 角 线
32、上 面 都 是 a，下 面 都 是 b，其 转 置行 列 式 DT 相 当 于 把 原 行 列 式 中 的 a 和 b 互 换 .求 解 思 路 ：若 能 找 出 一 个 递 推 公 式 ，则 利 用 D=DT 可 得 出 另 一 个 递推 公 式 (即 把 第 一 个 递 推 公 式 中 的 a,b 互 换 )，再 联 立 求 解 .解 将行列式的最后一列写成如下形式的两数之和，并进行拆分 )(0321axbxaDnn )(0321321 axbabxan 其中，第二个行列式按最后一列展开，得 .1)( D第一个行列式abxaa 321 1 321 bxa提 取 公 因 子对 最 后 一 列
33、1 ),.21( 321bxabxanibcn 1)(nibx于是，递推公式如下， 1)()(ninbxaDxDn 的转置行列式相当于把 Dn 的 a 和 b 互换了位置，因此1)()(inTxbx由于 ab，且 DnT =Dn，联立上面的两个递推公式，可解得baxxniin11)()(注 a=b 的情形参见例 16. 练习 19 计算 n 阶行列式 (n2) xyxyxyxyx 提示 方法：采用例 25 的方法，可得 Dn=-yDn-1+(x+y)yn-1 和Dn=yDn-1+(x-y)(-y)n-1；方法：先“r 1-r2”，“c1-c2”，然后按第一行展开，再按第一列展开，可得 .答案
34、n 为偶数时, D n=yn; n 为奇数时, D n=xyn-1. 归纳法如果得出的递推公式难以计算，可考虑通过 n=1,2,3的低阶行列式去猜想一般结果，然后结合递推公式用归纳法证明猜想成立.如 果 行 列 式 已 告 诉 结 果 ， 而 要 证 明 与 自 然 数 n 有 关 的 结 论 时 ， 也可 考 虑 用 数 学 归 纳 法 证 明 .例 26 计算 cos21cs1o2cs nD解 将行列式按最后一行展开后，可得递推公式 21cos2nnDD由于 ，cos1 coscs于是，猜想 (*)n用归纳法证明猜想：已知(*)式对 n=1,2 成立. 假设结论对 n-1, n-2 阶行列
35、式成立，即，)1cos(1D)2cos(2nDn代入递推公式，得12nn )2cos()cos(nn故结论对一切自然数 n 成立。注 本例中递推公式为三项的递 推公式. 如果是两项递推公式，则归纳假设时只需假设结论对 n-1 成立 .练习 20 设 ab, 用数学归纳法证明： abx xbax Dnnn )()( 提示 采用例 25 的方法，得 递推公式11)()(nnnxax 加边法加边法是一种升阶计算的方法：对行列式添加一行一列，构成与 Dn 相等的 n+1 阶行列式. 通常，所加的行(列) 为 1, 0, , 0，而所加的列( 行) 则根据具体情况而定.例 27 计算 .22121211
36、nnnn axax )0(nx分析 若 忽 略 xi，则 每 行 (列 )元 素 都 是 a1, a2, , an 的 倍 数 . 可 通 过在 左 上 角 添 加 一 行 一 列 ：行 (列 )为 “1, a1, a2, , an”，列 (行 )是 “1, 0, , 0”，从 而 构 成 与 Dn 相 等 的 n+1 阶 行 列 式 ，再 加 以 化 简 .解 按如下方式添 加 一 行 一 列 ， 构 成 与 Dn 相 等 的 n+1 阶 行 列 式 ，(n+1 阶)221212110nn axaxaa 将第 1 行乘以a 1 加到第 2 行，乘以a 2 加到第 3 行，.，乘以a n 加到
37、第 n+1 行，即(爪形)nnnin xaxairD 2111 ),.32( 由于 ，将第 2, 3, , (n+1)列分别乘以 a1/x1, a2/x2, , 021nxan/xn 并加至第 1 列，即 nniin xxaicxaD2121 ),.32( niixa12例 28 计算 n 阶行列式 (n2) baxbax nnn 21221211解 按如下方式添 加 一 行 一 列 ， 构 成 与 Dn 相 等 的 n+1 阶 行 列 式 ，(n+1 阶)nnn baxbaxxD 2122121100)1,.32( nicnnnbabax 212121当 n3 时，将上面的 n+1 阶行列式
38、按第一行展开，则每个相应的余子式都至少有两列元素成比例，从而为 0.当 n=2 时， 212baxDn1)(21bxa练习 21 用加边法计算“例 20”和“例 21”中的行列式. 利用范德蒙德行列式法范德蒙德行列式是重要的特殊行列式，要善于识别其变式，得出展开结果.例 29 计算 4323232132 coscoscoscos 11分析 从第 2 行开始，每行减去前行， 即 得 范 德 蒙 德 行 列 式 .解 rDn1423 43232coscos1141)cos(ij ji例 30 计算 .332211nnnD 分析 对 各 第 1,2,n 行 分 别 提 取 公 因 子 1, 2, 3
39、, ,n，即 可 得 范 德蒙 德 行 列 式 的 转 置 行 列 式 .解 11132 ! nnn nD 上 )(4)13(2 ! )1()2(423ni练习 22 已知 ，计算如下的 n+1 阶行列式：0121nannnnnnbabaaD112111 22112 提 示 对 各 第 1, 2, , n+1 行 分 别 提 取 ,答案 111 nijjijnijjini baaa例 31 证 明 nijjnnnn xxxxxD1213212321 )()( 分析 通 过 添 加 一 行 一 列 ，使 其 成 为 n+1 阶 的 范 德 蒙 德 行 列 式Vn+1，再 讨 论 Vn+1 与 D
40、n 之 间 的 关 系 .证 添 加 一 行 一 列 ， 使 其 成 为 n+1 阶 范 德 蒙 德 行 列 式 Vn+1，nnnn yxxyxxV 211221将 Vn+1 按 最 后 一 列 展 开 ， 得 1,21,121,2 )()()( nnnn MyyM展 开 式 中 的 余 子 式 都 不 含 y，其 中 就是题设行列式 Dn 将 展 开 式 看 作 是 y 的 n 次 多 项 式 ， 其 中 yn-1 的 系 数 是 (*)D1,又，根据范德蒙德行列式的结论，有 nijjn xxyxyV121 )()()(上式中 yn-1 的系数是 (*)nijjxxx121)()(结合(*)
41、和(*)两式，得 nijjn xD12)( 析因子法如果行列式中某些元素是 x 的多项式，则行列式可作为一个多项式 f(x). 若通过某些变换，求出了多项式 f(x)的全部互素线性因式(一次因式)，则这些因式的乘积 g(x)与行列式多项式 f(x)只相差常数乘因子 k，于是，根据多项式恒等的定义，通过比较 g(x)和 f(x)的某一项系数，可进一步求出 k.例 32 求 的展开式 x xf 229135)(分析 根据行列式的定义，容易看出 f(x)是 x 的 4 次多项式， 设 f(x)的 4 个根为 a,b,c,d，则 f(x)可等价表示为 k(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)，其中k
42、 可利用 f(x)中 x4 的的系数来确定.解 f(x)是 x 的 4 次多项式.当 x=1 时，行列式的第 1,2 行相同，有 f(x)=0；当 x=2 时，行列式的 3,4 行相同，亦得 f(x)=0. 即，f(x )的四个根为 x=1,2. 设 f(x)=k(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) (*)行列式中含 x4 的项为(-1)t(1234)a11a22a33a44+(-1)t(3214)a13a22a31a44= (2-x2)(9-x2)-2(2-x2)2(9-x2)=-3(2-x2)(9-x2)故 f(x)中 x4 的系数是-3，于是，(*)式中 k=-3，得f(x)=-3(
43、x-1)(x+1)(x-2)(x+2)2练习 23 用析因子法计算 xaaxaaDnnn1321121 提 示 Dn+1 是 x 的 n+1 次 多 项 式 ，其 n+1 个 根 分 别 是 , , ,2iaa答案 niii xx1)(注 本 题 也 可 以 利 用 行 列 式 各 行 元 素 之 和 相 等 的 特 点 进 行 计 算 .5 和代数余子式有关的计算例 33 设 , 求 D 中 x 的一次项的系数.1102xD分析 注意到行列式式中只有(1,2)元为 x，于是，将行列式按第一行展开： ，得 x 的系数为 A12.14210Ax解 将行列式按第一行展开，得 x 的系数为 41)(1212 M例 34 设 , 求第四行元素的代数余子式之和 .26053114D分析 将第四行元素替 换为 1,1,1,1，这不会改变第四行元素的代数余子式 .43241,A再将替换所得的行列式按第四行展开，即得 .43421A解 51123443421 A练习 24 对“例 34”中的行列式，求: 4232164MM提示 将余子式 变换成代数余子式，可看出所求的和式就是第三列元素与第二列对应元素的代数余子式乘积之和，或者，通过替换
