1、基本要求：熟练掌握单自由度体系自由振动的计算(微分方程的 建立、求解、自振周期和自振频率的计算）； 了解单自由度体系强迫振动的计算； 了解两个自由度体系自由振动的计算。教学内容：动力计算的特点和动力自由度 单自由度体系的自由振动 单自由度体系的强迫振动 两个自由度体系的自由振动,第10章 结构动力计算基础,10.1 动力计算的特点和动力自由度,1.动力荷载的概念,动力荷载是指其大小、方向和作用位置随时间变化的荷载，而且随时间变化较快，对结构产生的影响较大。,一、动力荷载的概念及分类,静力荷载是指随时间不变化（如恒载）或随时间变化很慢，对结构产生的影响较小，而且静力荷载只与作用位置有关，而动力荷
2、载的变化是坐标和时间的函数。,2.与静力荷载的区别,（1）周期荷载随时间作周期性变化简谐荷载：最简单的周期荷载，随时间按正弦或余弦规律变化，如 机器转动时转子做匀速转动时就会产生这种荷载。非简谐荷载：按其它规律周期性变化的荷载,3.动力荷载的分类,（2）非周期荷载冲击荷载：在很短时间内，荷载值急剧增大或减小，如各种爆炸荷载、 打桩机的锤头对桩柱的冲击等。突加荷载：突然施加在结构上并保持不变的荷载，如施工中吊起重物的 卷扬机突然开动时施加于钢丝绳上的荷载。,（3）随机荷载荷载有很大的随意性，任一时刻的数值无法确定， 如地震荷载、风荷载、海浪对堤岸、码头的冲击等。,二、结构动力计算的特点,1.结构
3、动力学的主要特征,由于荷载随时间变化较快，所产生的惯性力不容忽视。因此，考虑惯性力的影响是结构动力学的最主要特征。,达朗伯原理：在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的所有的主动力、约束反力与虚加在质点上的惯性力在形式上构成一平衡力系（即主动力、约束反力和质点的惯性力的矢量和等于零）。,动静法：根据达朗伯原理，动力计算问题可以转化为静力平衡问题来求解，这种方法称为动静法。,2.结构动力计算的原理和方法,动力平衡的特点：与静力平衡不同，动力平衡只是形式上的平衡， 是在引进惯性力条件下的平衡。（1）在所考虑的力系中要包括惯性力；（2）所谓的平衡是瞬间的平衡，荷载、内力、位移、速度、加速 度等都是时间的
4、函数。,惯性力：当质点受力作用而改变其原来的运动状态时，由于质点的惯性产生对外界反抗的反作用力称为质点的惯性力。惯性力的方向与加速度方向相反，大小等于质点的质量与加速度的乘积。,注意：质点的惯性力并不是质点本身受到的力，而是质点作用于施 力物体上的力。,运动方程,惯性力,形式上的平衡方程，实质上的运动方程。,由牛顿第二定律可得,牛顿第二定律：质点受外力作用时，将产生运动加速度，加速度的方向与外力合力方向一致，其大小与合力的大小成正比，与质点的质量成反比。即,在动荷载作用下，结构的动力反应（动内力、动位移等）都随时间变化，它除与动力荷载的变化规律有关外，还与结构的固有特性（自振频率、振型和阻尼）
5、有关。 不同的结构，如果它们具有相同的阻尼、频率和振型，则在相同的荷载下具有相同的反应。可见，结构的固有特性能确定动力荷载下的反应，故称之为结构的动力特性。,3动力反应的特点,4结构动力计算的目的,研究结构在动荷载作用下的反应规律，找出动荷载作用下结构的最大动内力和最大动位移，为结构的动力可靠性设计提供依据。,1940年美国西海岸华盛顿州建成了一座当时位居世界第三的Tacoma大桥，大桥中央跨距为853米，为悬索桥结构，设计可以抗60米/秒的大风，但不幸的是大桥刚建成四个月就在19米/秒的小风吹拂下整体塌毁。其根本原因在于风旋涡脱落的频率与悬索桥板的固有频率一致，从而产生了强烈的共振。因此尽管
6、桥塌毁的这天风并不是很大，但却吹垮了整座大桥。,强迫振动：结构在动荷载作用下产生的振动。研究结构的强迫振 动，可得到结构的动力反应。,三、自由振动和强迫振动,自由振动：结构在没有动荷载作用时，由初速度、初位移所引起的 振动。研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、 振型和阻尼参数。,四、动力计算中体系的自由度,1.自由度的定义,确定体系运动过程中任一时刻全部质量位置所需的独立几何参数数目，称为体系的自由度。 根据自由度的数目，结构可分为单自由度体系，多自由度体系和无限自由度体系。,2.实际结构自由度的简化方法,为分析计算方便，往往将具有无限自由度体系的实际结构简化为有限自由度。常用的简化方法
7、有：,将连续分布的结构质量按一定的力学原则集中到若干几何点上，使结构只在这些点上有质量，除这些点之外物体是无质量的。从而把一个无限自由度问题简化为有限自由度问题。,（1）集中质量法,本章主要讨论集中质量法。,（2）广义坐标法,-广义坐标,-满足位移边界条件的形状函数,（3）有限元法,综合了集中质量法和广义坐标法的特点,将实际结构离散为有限个单元的集合，以结点位移作为广义坐标，将无限自由度问题化为有限自由度问题。,广义坐标个数即为自由度个数,结点位移个数即为自由度个数,3. 自由度的确定,W=2,W=2,弹性支座不减少动力自由度,为减少动力自由度，梁与刚架不计轴向变形。,W=1,5),W=2,W
8、=1,自由度数与质点个数无关，但不大于质点个数的2倍。,W=2,8) 平面上的一个刚体,W=3,9)弹性地面上的平面刚体,W=3,W=2,W=1,W=13,自由度为1的体系称作单自由度体系；自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系;自由度无限多的体系为无限自由度体系。,W=3,W=1,不计轴向变形: W=1,W=1,结论： 结构自由度数目与质点的个数无关 结构自由度数目与超静定次数无关,考虑轴向变形后各计算简图的动力自由度数是多少？,思考：,10.2 单自由度体系的自由振动（不计阻尼）,实际上，工程中很多问题可化成单自由度体系进行动力分析或进行初步估算。单自由度体系的动力分析是多自由度体系动
9、力分析的基础。,自由振动：由初位移或初速度引起的，在运动中无动荷载作用的振动。 分析自由振动的目的：确定结构的动力特性（自振频率、自振周期）。,要掌握单自由度体系的动力反应的规律，必须首先建立其运动方程。下面介绍建立在达朗伯原理基础上的“动静法”。,一、自由振动微分方程的建立,单自由度体系的自由振动及相应的弹簧质量模型如图示。以静平衡位置为坐标原点，在t 时刻，质量m的位移为 y(t)。,刚度法建立平衡方程：,取质量m为隔离体，作用在隔离体上的力：,动平衡方程：,弹性力ky(t)与位移方向相反；,（10-1）,柔度法建立位移方程：,质量m在t 时刻的位移y(t)是由此时作用在质量上的惯性力产生
10、的，位移方程为：,(a),单自由度体系：,(b),式（101）或（a）称为单自由度体系自由振动运动方程（微分方程）。,二、自由振动微分方程的解,单自由度体系自由振动微分方程写为：,（102）,式中：,其通解为：,当初始条件,二阶齐次线性常微分方程,式（103）还可写成：,（104）,式中：,（105）,不计阻尼时，单自由度体系的自由振动是由初位移和初速度引起的简谐振动。,方程的解：,（103）,三、结构的自振周期和自振频率,由式（104）：,y(t)是周期函数,自振周期（固有周期）,自振频率（固有频率）,1. 结构自振周期 和自振频率 的各种等价计算公式,理解这些公式各符号的含义，由其中一个公
11、式便可得到其他公式。,自振频率和周期的计算方法：,(1)利用计算公式,(2)利用机械能守恒（能量法）,2. 结构自振周期T（或自振频率）的性质,（1）自振周期只与结构的质量和刚度有关，与外部干扰因素无关， 它是结构本身固有的特性；干扰力的大小只能影响振幅。（2）自振周期与质量的平方根成正比，与刚度的平方根成反比，改 变结构的质量或刚度可改变其自振周期。（3）自振周期是结构动力性能的一个很重要的数量标志。不管实际 结构是否相同，若自振周期相同，结构的动力反应也相同。,3. 简谐自由振动的特性,位移：,加速度：,惯性力：,位移与惯性力作同频同步振动。,4. 算例,例1.求图示体系的自振频率和自振周
12、期。,解：,图示结构体系虽有两个质量，但它们沿同一直线（水平方向）运动，故仍为单自由度体系。如图（b）示，作 图,柔度系数,自振频率,自振周期,例2求图示体系的自振频率。,解：（1）求各质点处的惯性力幅值，作体系的受力图,设该体系转动时，转角的幅为 。当位移达到幅值时，质量 2m 和m上的惯性力也同时达到幅值。,（2）在幅值处列出动平衡方程，求体系自振频率,由此求得,惯性力：,在质点2m处最大惯性力：,在质点m处最大惯性力：,例3.求图示体系的自振频率和周期.,解:,1.能量法,2.列幅值方程,A,例4图示排架的横梁为刚性杆，质量为m，柱质量不计,求其自振 频率。,解：,不考虑轴向变形，故为一
13、单自由度体系。作 图，求出刚度系数,自振频率,例5.求图示体系的自振频率和周期。,解:,例6.质点重W，求体系的频率和周期.,解:,10.3 单自由度体系的强迫振动（不计阻尼）,强迫振动结构在动力荷载作用下的振动，也叫受迫振动。,一.强迫振动的运动微分方程,运动方程,或,（1011）,式中,结构的自振频率,式（1011)为单自由度体系强迫振动的运动方程。,单自由度体系在动荷载下的振动及相应的振动模型如图示:,二阶线性非齐次常微分方程通解：,运动方程,先求方程特解：,代入方程,可得,二、简谐荷载作用下的受迫振动,1.运动方程的建立及求解,齐次解：,通解为：,荷载幅值作为静荷载所引起的最大静位移,
14、积分常数 由初始条件确定，设在t = 0时的初位移和初速度均为零，则得,运动方程的解为：,（1012）,式（10-12）中第一项为动荷载引起的振动;第二项为初始条件引起的自由振动。实际上，由于阻尼的存在，自由振动部分都很快衰减掉。自由振动消失前的振动阶段称为过渡阶段。后来只按荷载频率进行的振动阶段为振动的平稳阶段，称为纯受迫振动或稳态振动。,2.稳态振动分析,稳态振动阶段运动方程的解：,最大动位移：,动力系数：,（1013）,（1）动位移的讨论,动力系数 是频率比 的函数,它反映了干扰力与动位移之间的关系。,1）,干扰力产生的动力作用不明显，因此可当作静荷载处理。,当 时， 为增函数。,极限情
15、况，即 或 ，则 。意味着结构为刚体或荷载不随时间变化，因此不存在振动问题。,2）,共振,为避开共振，可改变干扰力频率或改变结构的自振频率, 使 或 。,体系处于静止状态,3）,为减函数,通过改变频比可增加或减小振幅。,若要使振幅降低,应采取何种措施?,应使频率比减小，增加结构的自振频率，增大刚度，减小质量；,（2）降低振幅的措施,频率比,应使频率比增大，减小结构的自振频率，减小刚度，增大质量。,3.动位移幅值（振幅）和动内力幅值的计算,（1）计算动力系数；,（2）计算动荷载幅值作为静荷载作用时引起的位移和内力；,（3）将位移和内力分别乘以动力系数得动位移幅值和动内力幅值。,计算步骤：,例1.
16、求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知,解：,例2.求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移。,解：,重力引起的弯矩,重力引起的位移,最大动位移,最大动弯矩,跨中最大弯矩,跨中最大位移,4.动荷载不作用于质点时的计算,令,运动方程,稳态解,（2）列幅值方程求最大动内力（动内力幅值）,仍是位移动力系数,是内力动力系数吗?,（1）求振幅最大动位移（动位移幅值）,根据稳态振动的振幅，算出惯性力。然后，将惯性力幅值和干扰力幅值同时作用在体系上，按静力学计算方法便可求得动内力幅值。,解:,例1.求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知,动弯矩幅值图,解:,例2.求图示体系右端的质点振幅。,o,(a),(b),(c),例3.求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知,解：(1)计算动力系数,(2)简支梁的振幅,(d),(e),(3)作动弯矩的幅值图。,(f),
