1、概率论与数理统计,1,第二章 随机变量的分布和数字特征,习题课,概率论与数理统计,2,一、离散型随机变量,离散型随机变量的定义: 取值有限个或可列无穷多个.,1.概率函数：,离散型随机变量的描述方式:,2.分布函数：,3.两者之间的关系：,离散型随机变量概率函数的性质：,（正定性）,（归一性）,概率论与数理统计,3,离散型随机变量函数的分布：,已知离散型随机变量 X的概率分布为,则其函数 的概率分布为,如果g(xk)中有一些是相同的，把它们合并即可.,概率论与数理统计,4,9.如果 它是否能成为一个离散型随机变量的概率分布,为什么?,解,由微积分知识知，级数 收敛,记,正定性：,归一性：,则当
2、 时， 是一个离散型随机变量的 概率函数.,？,概率论与数理统计,5,10、已知,求常数C .,解,泊松分布,概率论与数理统计,6,1.是非判断题,可以充当某一离散型随机变量的概率函数. ( ),错,概率论与数理统计,7,袋中有2个黑球1个白球，有放回地抽取，直到抽到白球为止,但限取3次,取得黑球个数X的概率分布为,( ),错,概率论与数理统计,8,袋中有2个黑球1个白球，有放回地抽取，直到抽到 白球为止,但限取3次,求取得黑球个数X的概率分布.,解 先确定X的所有可能取值,取了一次，取到的是白球；,取了两次，第一次取到黑球，第二次取到白球；,取了三次，前两次取到黑球，第三次取到白球；,取了三
3、次，都取的是黑球。,概率论与数理统计,9,袋中有2个黑球1个白球，有放回地抽取，直到抽到白球为止,但限取3次,取得黑球个数X的概率分布为,( ),错,概率论与数理统计,10,2.填空,一批零件共有100件,其中有5件次品,从中抽取20件, 每次抽1次,设X表示其中包含的次品数,若抽取后放回, 则X的概率分布为 ；若抽取后不放回,则X的概 率分布为 ；在有放回抽取的条件下,令Y表示首 次摸到次品时试验的次数,则Y的概率分布为 ,概率论与数理统计,11,解 ,几何分布,概率论与数理统计,12,设随机变量X的概率分布为,则X的分布函数,的分布函数,解,概率论与数理统计,13,在伯努利试验中,设成功的
4、概率为 以X表示 首次成功所需试验次数,则X取偶数的概率是,解,概率论与数理统计,14,二、连续型随机变量,1.概率密度f(x)：,描述方式:,2.分布函数F(x)：,3.二者之间的关系：,定义: 如果存在一个非负可积函数 f (x) 使得则称X为连续型随机变量，称 f (x)为X的概率密度.,概率论与数理统计,15,密度函数的性质：,（正定性）,（归一性）,分布函数的性质：,右连续性,有界性,单调不减性,且,概率论与数理统计,16,连续型随机变量函数的分布：,已知连续型随机变量 X的概率密度 f(x)，,其函数 的概率密度有两种求法：,1.分布函数法,概率论与数理统计,17,2.公式法（定理
5、2.1）,(1)定理的条件：g(x)单调可导，且导数恒不为零;,(2)求g(x)的值域(a,b);,(3)求g(x)的反函数h(y);,(4)求反函数的导数 ；,(5)代入公式：,概率论与数理统计,18,14.,能否作为概率密度函数？若能，求a的值；若不能，说明理由。,解,但不能保证在 区间 上,故 f(x)不能作为概率密度函数。,概率论与数理统计,19,24.设随机变量,确定a的值；求分布函数F(x) .,解,概率论与数理统计,20,当 时,当 时,当 时,概率论与数理统计,21,25.设连续型随机变量X的分布函数F(x)为,确定系数A；计算 求概率密度 f(x).,解 在 处连续,概率论与
6、数理统计,22,概率论与数理统计,23,函数 可以作为某一连续,型随机变量的概率密度. ( ),1.是非判断题,对,概率论与数理统计,24, X为连续型随机变量,f(x)是它的概率密度, 则必有,( ),错, 连续型随机变量的概率密度函数是连续函数.( ),错,分布函数,概率论与数理统计,25, 设 ，则分布函数为,( ),错,概率论与数理统计,26, 如果X的分布函数为F(x),则对任意实数 有,( ),错,对于连续型随机变量,对于离散型随机变量,概率论与数理统计,27, 设X的分布函数 ，则,( ),连续型随机变量取任意值的概率为0,错,概率论与数理统计,28,设随机变量X的概率密度为,用
7、Y表示对X的3次独立重复观察中事件,出现的次数,则,解,2.填空,于是,概率论与数理统计,29, 设连续型随机变量X的分布函数为,则,的概率密度f(x)= .,解,概率论与数理统计,30,概率论与数理统计,31,设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量,在(0,4)的概率密度函数,解,所以当 时,在(0,4)内的单调递增，且导数恒不为0，可用公式法,概率论与数理统计,32,三. 随机变量的数字特征,数学期望的定义式：,随机变量函数的数学期望：,注：变函数不变分布,概率论与数理统计,33,数学期望的性质:,1. E(c)=c,2. E(cX)=cEX,5. E(X1+X2) = EX1
8、+EX2,3. E(X+c)=EX+c,4. E(aX+b)=aEX+b,注：期望具有线性性质,概率论与数理统计,34,方差的定义式：,方差的性质：,方差的计算公式：,注：方差不具有线性性质,概率论与数理统计,35,42.随机变量X的密度函数为,概率论与数理统计,36,43.设随机变量X的分布函数F(x)为,求EX和DX.,解,概率论与数理统计,37,概率论与数理统计,38, 设X的概率密度为f (x), 则,( ), 设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则Y=3X2的数学期望EY=1,方差DY=9. ( ),1.是非判断题,错,对,概率论与数理统计,39, 设X服从指数分布,且期望为10,则
9、方差为100.( ), 设X的期望EX=1,方差DX=9,则,( ),对,但X不一定服从正态分布,错,概率论与数理统计,40,设离散型随机变量X的分布函数为,则,2.填空,概率论与数理统计,41,解,X的概率分布为,概率论与数理统计,42, 设X表示10次独立重复射击命中目标的次 数,每次射中目标的概率为0.4,则 的数学期望,解,概率论与数理统计,43, 设随机变量X服从参数为 的泊松分布,且已知 则,解,概率论与数理统计,44, 设X服从参数为1的指数分布,则,解,概率论与数理统计,45,设连续型随机变量X的概率密度为,则X的数学期望为 X的方差为,解,概率论与数理统计,46,趣例,在澳门
10、葡京大酒店,赌博的人摩肩接踵.有一种“押对子”的规则如下：庄家从6付（每付52张）扑克牌中随机抽取2张，如果你下注了，当是对子时，庄家赔十倍，否则输掉赌注。求下注100元时，你和庄家在每局中期望赢多少钱？,解：,取到对子的概率为,获利为X，其可能取值为1000或-100，期望为,概率论与数理统计,47,在商业活动中，风险无处不在。企业家常常从期望值出发来分析风险，以便作出正确的决策,有一家个体户，有资金一笔，如果经营西瓜，风险大但利润高(成功的概率为0.7，获利2000元,失败则赔钱500元)； 如果经营工艺品，风险小但获利少(95会赚，利润为1000元，失败则赔钱300元)究竟该如何决策？,
11、趣例,概率论与数理统计,48,所以权衡下来，情愿“搏一记”，去经营西瓜，因它的期望值高,于是计算期望值：,经营西瓜，期望值=20000.7+(-500)0.3=1250元,而经营工艺品期望值10000.95+(-300) 0.05935元,概率论与数理统计,49,趣例(分赌本问题),17世纪中叶,一位赌徒向法国数学家帕斯卡(16231662)提出一个使他苦恼长久的分赌本问题:甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局。他们约定，谁先赢3局，则得全部赌本100法郎。当甲赢了2局，乙赢了1局时，因故要中止赌博，现问这100法郎如何分配才算公平？,如果平均分配，对甲不公平；全部归甲，对乙不
12、公平；按比例分配甲多些比较合理。,如果甲分得100法郎的2/3，乙分得100法郎的1/3，这是基于已赌局数，但未包括未来情况。,概率论与数理统计,50,帕斯卡仔细研究后，于1654年提出如下分法：,设想再赌下去，最多再赌2局即可结束。情况为如下四种之一：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。两赌徒赌技相同，故四种情况发生的概率均为1/4。甲最终所得记为随机变量X，其可能取值为0或100。有,EX=75,甲的期望所得为75法郎。,这就是“数学期望”这一名称的由来。,这一问题在概率史上有非常重要的地位,人们把1654年7月29日作为概率论的生日.,概率论与数理统计,51,趣例,为普查某种疾病，需抽血检验。在N个
13、人的人群中，每人的血分别检验，需检验N次。一个统计学家提出如下方法：按k个人一组进行分组，同组血样混合检验一次，若呈阴性，说明这k个人都无此种疾病，而平均每人只需检验1/k次；若呈阳性，说明这k个人至少有一人患此种疾病， 再对这 k个人分别检验，则平均每人 需检验1/k+1次。假设此种疾病的发病 率为p，且得此种疾病相互独立。问 此种方法能否减少平均检验次数？,概率论与数理统计,52,设X为每个人平均检验次数，则,欲使,只需,比如当p=0.01时，取11人为一组，验血工作量可减少80%。这正是美国二战期间大量征兵时，对新兵体检所采用的减少工作量的措施之一。,概率论与数理统计,53,四.几种重要
14、的离散型分布,1.两点分布,0 1,数学期望：,方差:,凡是只有两个可能结果的随机试验，都可用0-1分布来描述,应用场合:,概率论与数理统计,54,2二项分布,概率函数：,记号：,期望和方差：,二项分布的计算方法:,1.直接查表法,2.变量转换法,3.泊松近似法,: n和p的取值都比较小；,: p较大,n较小；,: n较大, p较小.,概率论与数理统计,55,若( n + 1)p是整数，则,若( n + 1)p不是整数，则,二项分布中X的最大可能值：,若 为X的最大可能值，则有,( n + 1)p 和( n + 1)p 1,( n + 1)p,概率论与数理统计,56,3.泊松(Poisson)
15、分布,查表(课本352页),概率函数：,记号：,期望和方差：,泊松分布的计算方法:,泊松分布的应用场合:,排队问题,概率论与数理统计,57,46.设每次投篮的命中率为0.7,求投篮10次恰有3次命 中的概率;至少命中3次的概率.,记 则,解 设X表示10次命中的次数,则,概率论与数理统计,58,49.某机器生产的产品中有1/1000是次品，求生产800件产品，次品不超过两件的概率。,由于n很大，p很小，所以X近似服从泊松分布，,解 设X表示800件产品中的次品数，则,概率论与数理统计,59, 某射手射击命中率为0.8,则他连射13弹时最 可能命中11弹. ( ),设X表示13弹中命中的弹数,则
16、,所以X的最大可能值为11，,即连射13弹时最可能命中11弹.,对,概率论与数理统计,60, 如果 当 且 较小时有,( ), 50件商品中有5件次品,从中任取4件,则4件中的 次品数服从超几何分布. ( ),对,对,概率论与数理统计,61, 设 已知则,解,于是,概率论与数理统计,62,五.几种重要的连续型分布,1均匀分布,分布函数:,密度函数:,记号:,概率论与数理统计,63,期望和方差:,X在a,b内任何子区间上取值的概率与子区间的长度成正比，与子区间所处的位置无关.,均匀分布的特点：,均匀分布的应用场合:,掷质点问题,概率论与数理统计,64,指数分布,分布函数:,密度函数:,记号:,概
17、率论与数理统计,65,期望和方差:,指数分布的应用场合：,寿命分布,无记忆性（或无后效性）,即元件以前曾经无故障使用的时间，不影响它以后的使用寿命。,指数分布的特点：,概率论与数理统计,66,记号：X N ( , 2 ),密度函数：,三正态分布,期望和方差：,概率论与数理统计,67,标准正态分布：,标准正态分布的期望和方差:,密度函数：,概率论与数理统计,68,标准正态分布的计算：,（356页表3）,1密度函数值的计算,概率论与数理统计,69,（358页表4）,2分布函数值的计算,概率论与数理统计,70,一般正态分布的计算：,.密度函数标准化:,2.分布函数标准化:,3.随机变量标准化:,正态分布的应用场合：,非常广泛,概率论与数理统计,71, 设 则X的概率密度函数有性质,( ), 设 则,( ),错,错,概率论与数理统计,72, 设 则 ( ), 设 则,( ),错,错,概率论与数理统计,73, 设随机变量 且则,解,于是,
