1、概率论与数理统计部分习题答案 第一章 概率论的基本概念1. 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分） （一 1），n 表小班人数noS10,（3）生产产品直到得到 10 件正品，记录生产产品的总件数。 （一 2）S=10，11，12，n， （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品” ，不合格的盖上“次品” ，如连续查出二个次品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果。查出合格品记为“1” ，查出次品记为“0” ，连续出现两个“0”就停止检查，或查满 4次才停止检查。 （一 (3)）S=00，100 ，0100，0101，10
2、10，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，6. 在房间里有 10 人。分别佩代着从 1 号到 10 号的纪念章，任意选 3 人记录其纪念章的号码。（1）求最小的号码为 5 的概率。记“三人纪念章的最小号码为 5”为事件 A 10 人中任选 3 人为一组：选法有 种，且每种选法等可能。310又事件 A 相当于：有一人号码为 5，其余 2 人号码大于 5。这种组合的种数有 251 1302)(P（2）求最大的号码为 5 的概率。记“三人中最大的号码为 5”为事件 B，同上 10 人中任选 3 人，选法有 种，且每310种选法等可能，又事件 B 相当于：有一人号码为
3、 5，其余 2 人号码小于 5，选法有种24120134)(BP8. 在 1500 个产品中有 400 个次品，1100 个正品，任意取 200 个。（1）求恰有 90 个次品的概率。记“恰有 90 个次品”为事件 A 在 1500 个产品中任取 200 个，取法有 种，每种取法等可能。2015200 个产品恰有 90 个次品，取法有 种94 201594)(AP（2）至少有 2 个次品的概率。记：A 表“至少有 2 个次品”B0 表“不含有次品” ，B 1 表“只含有一个次品” ，同上，200 个产品不含次品，取法有种，200 个产品含一个次品，取法有 种21 1904 且 B0， B1 互
4、不相容。10A 2015942015)()()( 10PP9. 从 5 双不同鞋子中任取 4 只，4 只鞋子中至少有 2 只配成一双的概率是多少？记 A 表“4 只全中至少有两支配成一对 ”则 表“4 只人不配对” 从 10 只中任取 4 只，取法有 种，每种取法等可能。410要 4 只都不配对，可在 5 双中任取 4 双，再在 4 双中的每一双里任取一只。取法有252138)(1)(2405APC14.（1） 已知 。)|(,5.0)(,4.0)(,3.)( BAPBA求解一： 注BASPAP )(,6.)(1)(,7.0)()(意 . 故有BP (AB)=P (A)P (A )=0.70.
5、5=0.2。再由加法定理，P (A )= P (A)+ P ( )P (A )=0.7+0.60.5=0.8BB于是 25.08)()(| 25.06.7051)()()()|( )|()(72)|(75.0)|( |5: BAPBAPBAP ABPAP定 义 故 解 二 由 已 知14.（2） 。,21|,31|,41求解：由 61)()(3142)(|)()|( BPBPAABP 有定 义 由 已 知 条 件由乘法公式，得 12|由加法公式，得 31264)()()( ABPBAP16. 据以往资料表明，某一 3 口之家，患某种传染病的概率有以下规律： P(A)=P孩子得病=0.6 ， P
6、 (B|A)=P母亲得病|孩子得病=0.5，P (C|AB)=P父亲得病| 母亲及孩子得病=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解：所求概率为 P (AB )（注意：由于“母病” ， “孩病” ， “父病”都是随机事件，这C里不是求 P ( |AB)CP (AB)= P(A)=P(B|A)=0.60.5=0.3, P ( |AB)=1P (C |AB)=10.4=0.6.从而 P (AB )= P (AB) P( |AB)=0.30.6=0.18.C17. 已知 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。（1）二只都是正品（记为事件
7、 A）法一：用组合做 在 10 只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。 62.0458)(210CAP法二：用排列做 在 10 只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。 4528)(10AP法三：用事件的运算和概率计算法则来作。记 A1，A 2 分别表第一、二次取得正品。 45289710)|()()221 APAP（2）二只都是次品（记为事件 B）法一： 451)(20CP法二： )(210AB法三： 451902)|()() 12121 APP（3）一只是正品，一只是次品（记为事件 C）法一： 4516)(2018CP法二： 4516)()
8、2108ACP法三： 互 斥与且 2121)() A456908|() 12121 APAP（4）第二次取出的是次品（记为事件 D）法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作，法二： 51)(2019ADP法三： 互 斥与且 2121)() A519028)|(| PP18. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？记 H 表拨号不超过三次而能接通。Ai 表第 i 次拨号能接通。注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。1038910 )|()|()|()() 213122321
9、 APAAPHP 三 种 情 况 互 斥如果已知最后一个数字是奇数（记为事件 B）问题变为在 B 已发生的条件下，求 H 再发生的概率。 )|()|( 321211ABAPH)|()|(|(|()|()| 213121 ABPBP5345422. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为 P，若第一次及格则第二次及格的概率也为 P；若第一次不及格则第二次及格的概率为 （1）若至少有一次2及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。 （2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。解：A i=他第 i 次及格，i=1,2 已知 P (A1)=P (A2|A1)=P， 2)|(1
10、2P（1）B=至少有一次及格所以 21两 次 均 不 及 格 )|()()()( 121APAPP|1223)(（2） （*）)()|2121( APAP定 义由乘法公式，有 P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2由全概率公式，有 )|(| 12A2)(P将以上两个结果代入（*）得 12)|(21PA25. 某人下午 5:00 下班，他所积累的资料表明：到家时间 5:355:39 5:405:44 5:455:49 5:505:54 迟于 5:54乘地铁到家的概率0.10 0.25 0.45 0.15 0.05乘汽车到家的概率0.30 0.35 0.20 0.10
11、0.05某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是 5:47 到家的，试求他是乘地铁回家的概率。解：设 A=“乘地铁” ，B=“乘汽车” ，C=“5:455:49 到家” ，由题意,AB=,A B=S已知：P ( A)=0.5, P (C|A)=0.45, P (C|B)=0.2, P (B)=0.5由贝叶斯公式有 6923.015.42)|(1)|(45.0)(|)|( BCPAC34.（1）设有 4 个独立工作的元件 1，2，3，4。它们的可靠性分别为P1，P 2，P 3，P 4，将它们按图（ 1）的方式联接，求系统的可靠性。记 Ai 表示第 i 个元件正常工作，i=1，2，3，4，A
12、 表示系统正常。 A=A1A2A3+ A1A4 两种情况不互斥 P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)P ( A1A2A3 A4) (加法公式)= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)P ( A1) P (A2)P (A3)P (A4)= P1P2P3+ P1P4P 1P2P3P4 (A1, A2, A3, A4 独立)34.（2） 如图 1，2，3，4，5 表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率为 p，且设各继电器闭合与否相互独立，求 L 和 R 是通路的概率。记 Ai 表第 i 个接点接通记 A 表从 L 到 R 是构成通路的。 A=A1
13、A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2 四种情况不互斥 P (A)=P (A1A2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2)P ( A1A2A3A5)+ P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4A5)+ P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4A5)+ (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5)P ( A1A2 A3 A4A5)又由于 A1，A 2， A3， A4，A 5 互相独立。故 P (A)=p2+ p3+ p
14、2+ p3p 4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4342153421L R+ p5 + p5+ p5+ p5p 5=2 p2+ 3p3 5p4 +2 p5第二章 随机变量及其分布3. 设在 15 只同类型零件中有 2 只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以 X 表示取出次品的只数， （1）求 X 的分布律， （ 2）画出分布律的图形。解：任取三只，其中新含次品个数 X 可能为 0，1，2 个。352)0(1CP)(3152X)2(315CP6. 一大楼装有 5 个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻 t 每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有 2 个设备被使用
15、的概率是多少？ 0729.).(1.0)( 32525 CqpXP（2）至少有 3 个设备被使用的概率是多少？ 0856.)1.().(.)9.(1.0)( 545235 C（3）至多有 3 个设备被使用的概率是多少？ 3225455 90).0().(XP9).(1023C（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？ 41.9.)(1)(8. 甲、乙二人投篮，投中的概率各为 0.6, 0.7，令各投三次。求（1）二人投中次数相等的概率。记 X 表甲三次投篮中投中的次数Y 表乙三次投篮中投中的次数由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立。P (X=Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y
16、=2)+P (X=3, Y=3)= P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3)= (0.4)3 (0.3)3+ )3.07)4.0621321 CC2 6(.().( x1 2OP321.0)7.(（2）甲比乙投中次数多的概率。P (XY)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+
17、P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)= 823213 )3.04.)6.0).0)4.60 CC12 723.(.(.(.)722319. 以 X 表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计） ，X的分布函数是 00,1)(4.xexFX求下述概率：（1）P 至多 3 分钟；（2）P 至少 4 分钟 ；（3）P 3 分钟至 4 分钟之间；（4）P 至多 3 分钟或至少 4 分钟 ；（5）P恰好 2.5 分钟解：（1）P 至多 3 分钟= P X3 = 2.1)(eF（2）P 至少 4 分钟 P (X 4) = 6.
18、41X（3）P3 分钟至 4 分钟之间= P 32 ，P (X3) 若 X N（， 2） ，则 P (2)=1P (|X|3)=1P (X3)=1 =10.5=0.523（2）决定 C 使得 P (X C )=P (XC) P (X C )=1P (XC )= P (XC)得 P (XC )= =0.521又 P (XC )= C =3023,5.03查 表 可 得27. 某地区 18 岁的女青年的血压（收缩区，以 mm-Hg 计）服从 在该地)12,(N区任选一 18 岁女青年，测量她的血压 X。求（1）P ( X105)，P (100x) 0.05.解 : 384.061.417.0)41
19、67.0()105() 5922)83.(21)65( )5()0 .74129.74129.10.645120 50)(0)( Xxx xXP故 最 小 的查 表 得28. 由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为 =10.05，=0.06 的正态分布。规定长度在范围 10.050.12 内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？设螺栓长度为 XPX 不属于(10.050.12, 10.05+0.12)=1P (10.050.121 时， ( y )= FY ( y) =212yxde= 41)(2ye（3）求 Y=| X |的概率密度。 Y 的分布函数为 FY ( y)=P (Yy )=P
20、 ( | X |y)当 y0 时： ( y )= FY ( y) = 221yyxede第三章 多维随机变量及其分布1. 在一箱子里装有 12 只开关，其中 2 只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样， （2）不放回抽样。我们定义随机变量 X，Y 如下：若 第 一 次 取 出 的 是 次 品若 第 一 次 取 出 的 是 正 品,1,0X若 第 二 次 取 出 的 是 次 品若 第 二 次 取 出 的 是 正 品, ,Y试分别就（1） （2）两种情况，写出 X 和 Y 的联合分布律。解：（1）放回抽样情况由于每次取物是独立的。由独立性定义知。P (X=i, Y=
21、j)=P (X=i)P (Y=j)P (X=0, Y=0 )= 36251P (X=0, Y=1 )= P (X=1, Y=0 )= 3652P (X=1, Y=1 )= 1或写成XY 0 10 36253651（2）不放回抽样的情况P X=0, Y=0 = 645192P X=0, Y=1 = 0P X=1, Y=0 = 62P X=1, Y=1 = 1或写成XY 0 10 645601 610612. 盒子里装有 3 只黑球，2 只红球，2 只白球，在其中任取 4 只球，以 X 表示取到黑球的只数，以 Y 表示取到白球的只数，求 X，Y 的联合分布律。XY 0 1 2 30 0 0 51
22、0 3632 550解：（X，Y）的可能取值为 (i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j 2，联合分布律为P X=0, Y=2 = 35472CP X=1, Y=1 = 64721P X=1, Y=2 = 3547123CP X=2, Y=0 = 4723P X=2, Y=1 = 3514723CP X=2, Y=2 = 4723P X=3, Y=0 = 354712CP X=3, Y=1 = 4712P X=3, Y=2 =03. 设随机变量（X，Y）概率密度为 其 它,042,)6(),( yxykyxf（1）确定常数 k。 （2）求 P X1)=1P ( 1)= 1P
23、 ( =0)+ P ( =1) 查 二 项 分 布 表10.7361=0.2639.因此 X 表示一天调整设备的次数时 X B(4, 0.2639). E (X)=np=40.2639=1.05565. 设在某一规定的时间间段里，其电气设备用于最大负荷的时间 X（以分计）是一个连续型随机变量。其概率密度为 其 他0150),30()15,)(2xxxf求 E (X)解： dxf)()(150 1503150)(1503)(3)( 22201502分 xxdx6. 设随机变量 X 的分布为X 2 0 2Pk 0.4 0.3 0.3求 E (X)， E (3X2+5)解： E (X)= (2)0.
24、4+00.3+20.3=0.2E (X2)= (2) 20.4+020.3+220.3=2.8E (3X2+5) = 3E (X2)+ E (5)= 8.4+5=13.47. 设随机变量 X 的概率密度为0,)(xef求（1）Y=2X （2）Y=e 2x 的数学期望。解：（1） 0)()( dxedfyE202xe（2） 0)()( exdfYEx31xe8. 设（X，Y）的分布律为(1) 求 E (X)，E (Y )。(2) 设 Z=Y/X，求 E (Z )。(3) 设 Z= (X Y )2，求 E (Z)。解：（1）由 X，Y 的分布律易得边缘分布为E(X)=10.4+20.2+30.4=
25、0.4+0.4+1.2=2.E(Y)= (1)0.3+00.4+10.3=0.（2）E (Z )= (1)0.2+(0.5)0.1+( 1/3)0+00.4+1/30.1+0.50.1+10.1= ( 1/4)+1/30+1/20+1/10=(15/60)+11/60=1/15.（3）E (Z )=00.1+10.2+40.3+90.4+160=0.2+1.2+3.6=511. 一工厂生产的某种设备的寿命 X（以年计）服从指数分布，概率密度为工厂规定出售的设备若在一年内损坏，可予以调换。若工厂出售一0,41)(xef台设备可赢利 100 元，调换一台设备厂方需花费 300 元。试求厂方出售一台
26、设备净赢利的数学期望。解：一台设备在一年内损坏的概率为 41104104)( edxeXPxXY 1 2 31010.20.10.10.100.100.30.1XY 1 2 31 0.2 0.1 0 0.30 0.1 0 0.3 0.41 0.1 0.1 0.1 0.30.4 0.2 0.4 1Z=Y/X 1 1/2 1/3 0 1/3 1/2 1pk 0.2 0.1 0 0.4 0.1 0.1 0.1Z= (X Y)20(1-1)21(1- 0)2或 (2-1)24(2- 0)2或 (1- (-1)2或(3-1) 29(3- 0)2 或(2-(-1) 216(3-(-1)2pk 0.1 0.
27、2 0.3 0.4 0故 设 Y 表示出售一台设备的净赢利.)1()(1)( 41eXP则 ).(,0,23XfY故 4141001)1()20() ePXE64.3341e12. 某车间生产的圆盘直径在区间（a, b）服从均匀分布。试求圆盘面积的数学期望。解：设 X 为圆盘的直径，则其概率密度为 .,0),(1)(其 它 baxbxf用 Y 表示圆盘的面积，则 从 而,42XY ).(123)()(41)(41)( 222 baabdxabdxfE 14. 设随机变量 X1，X 2 的概率密度分别为 0,)(0,)( 42xexfxexf求（1）E (X 1+X2)，E (2X 13 )；（
28、2）又设 X1，X 2 相互独立，求 E (X1X2)解：（1） 004( dxedxeE= 31241021 xxxxee（2） 04211 )(3)()3( dxeXEXE= 853182444 xxxee（3） )()(121 XEXE15. 将 n 只球（1n 号）随机地放进 n 只盒子（1n 号）中去，一只盒子装一只球。将一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记 X 为配对的个数，求 E(X )解：引进随机变量 号 球号 盒 装 非第 号 球号 盒 装 第第 iiXi01i=1, 2, n则球盒对号的总配对数为 iiX1Xi 的分布列为 nEi1)(i=1, 2 n i=1, 2
29、 1)()()11 nXEXEniiii n22. （1）设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 相互独立，且有 E (Xi )=i, D (Xi )=5i, i=1,2,3,4。设 Y=2 X1X 2+3X3 X4，求 E (Y)，D (Y)。（2）设随机变量 X，Y 相互独立，且 X N（720，30 2） ，Y N（640，25 2） ，求Z1=2X+Y，Z 2=X Y 的分布，并求 P XY , P X+Y1400 解：（1）利用数学期望的性质 2，3有E (Y )= 2E (X1 )E (X2 )+3 E (X3 ) E (X4 )=71利用数学方差的性质 2，3有D (Y )=2
30、2 D (X1 )+ (1) 2 D (X2 )+32 D (X3 )+( )2 D (X4 )=37.25（2）根据有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，知Z1N（ ，） ，Z 2N（ ，）而 E Z1=2EX+Y=2720+640, D (Z1)= 4D (X )+ D (Y )= 4225E Z2=EX EY=720640=80, D (Z2)= D (X )+ D (Y )= 1525即 Z1N（2080，4225） ， Z2N （80，1525）P XY = P X Y 0 = P Z20 =1P Z2 0 = 978.15280P X+Y 1400 =1P X+Y
31、 1400 同理 X+YN（ 1360，1525）则 P X+Y 1400 =1P X+Y 1400 = 1539.015264023. 5 家商店联营，它们每周售出的某种农产品的数量（以 kg 计）分别为X1，X 2，X 3，X 4，X 5，已知 X1N （200，225） ，X 2N （ 240，240） ，X 3N（180，225） ，X4N（ 260，265） ，X 5N（320，270） ，X 1，X 2，X 3，X 4，X 5 相互独立。Xi: 1 0P: n（1）求 5 家商店两周的总销售量的均值和方差；（2）商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于 0.
32、99，问商店的仓库应至少储存多少公斤该产品？解：（1）令 为总销售量。51iiXY已知 E X1=200，E X 2=240，E X 3=180，E X 4=260，E X 5=320，D (X1)=225，D (X2)=240，D (X 3)=225，D (X 4)=265，D (X5)=270，利用数学期望的性质 3有5120)()(iiY利用方差的性质 3有5125)()(iiXD（2）设商店仓库储存 a 公斤该产品，使得P Y a0.99由相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，并注意到（1） ，得Y N（1200，1225） 9.03512a查标准正态分布表知 5.1283
33、0a a 至少取 1282.24 卡车装运水泥，设每袋水泥重量（以公斤计）服从 N（50,2.5 2）问最多装多少袋水泥使总重量超过 2000 的概率不大于 0.05.解：已知 X N（50,2.5 2）不妨设最多可装 A 袋水泥才使总重量超过 2000 的概率不大于 0.05.则由期望和方差的性质得 Y=AX N（50A,2.5 2A） .故由题意得P Y20000.05 95.0)YP即 解得 A39.6.1.295.05.20A查 表 得29. 设随机变量 X 和 Y 的联合分布为：XY 1 0 11 8180 01 818验证：X 和 Y 不相关，但 X 和 Y 不是相互独立的。证：
34、P X=1 Y=1= P X=1= P Y=1=88383P X=1 Y=1 P X=1 P Y=1 X，Y 不是独立的又 E (X )=1 +0 +1 =083283E (Y )=1 +0 +1 =0COV(X, Y )=EX E (X )Y E (Y )= E (XY ) EXEY= ( 1)(1) +(1)1 +1(1) +11 =08181 X，Y 是不相关的32. 设随机变量（X 1，X 2）具有概率密度。， 0x2, 0y2)(8),(yxf求 E (X1)，E (X 2)，COV（X 1，X 2） ， )(2121XDX解： 67)(80dyxd)(22y)67)(211XEXC
35、OV361)(8102 dyxyxd7)()()()( 22021211 D 361)(81)()()( 220222 dyxydXEX136),(21DCOVXYD (X1+X2)= D (X1)+ D (X2)+2COV(X1, X2)= 95)361(236133.设 X N（ ， 2） ，Y N（， 2） ，且 X，Y 相互独立。试求 Z1= X+Y 和 Z2= X Y 的相关系数（其中 是不为零的常数）.,解：由于 X，Y 相互独立Cov(Z1, Z2)=E(Z1,Z2)E(Z 1) E(Z2)=E (X+Y ) (X Y )(EX+EY ) (EX EY )=2EX 2EY 2 2 (EX ) 2+(EY ) 2=2DX 2DY=(2 2) 2DZ1=2DX+ 2DY=(2+ 2) 2, DZ2=2DX+ 2DY=(2+ 2) 2,(利用数学期望的性质 23)故 (),2121 DZCovZ36. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是 7300，均方差是 700，利用契比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在 52009400 之间的概率 p.解：由题意知 =7300, =700，则由契比雪夫不等式 89.0912071|730|94052 XPXP
