1、二项式定理一、 求展开式中特定项1、在 301()x的展开式中， x的幂指数是整数的共有（ ）A 4项 B 5项 C 6项 D 7项【答案】C【解析】 rrrrr xxCT6513030311 ， 30.2,，若要是幂指数是整数，所以 0，6，12，18，24，30，所以共 6 项，故选 C3、若 253()x展开式中的常数项为 （用数字作答）【答案】10【解】由题意得，令 1x，可得展示式中各项的系数的和为 32，所以 23n，解得5n，所以 253()展开式的通项为 105rrTCx，当 r时，常数项为 2510C，4、二项式 83()x的展开式中的常数项为 【答案】112【解析】由二项式
2、通项可得， 348831 2rrrrrr xCxC)()(T（r=0,1,8）,显然当 2r时， 123T，故二项式展开式中的常数项为 112.5、 4()x的展开式中常数项等于_【答案】 1【解析】因为 4(2)3x中 4(1)的展开式通项为 4C(3)rrx，当第一项取 2时，04C1，此时的展开式中常数为 2；当第一项取 1x时， 14C(3)2x，此时的展开式中常数为 2；所以原式的展开式中常数项等于 ，故应填 6、设 20sin1cosxaxd，则 621ax的展开式中常数项是 【答案】 32332 20 0sin1cossinco(csin)20xaxdxdx ，6()6()的展开
3、式的通项为66311(2)(2rrrrrrTCxCx ，所以所求常数项为363565二、 求特定项系数或系数和7、 8(2)xy的展开式中 62xy项的系数是（ ）A 56 B 5 C 28 D 28【答案】A【解析】由通式 rryxC)2(8，令 ，则展开式中 62xy项的系数是56)2(88、在 x（1+x） 6的展开式中，含 x3项的系数是 【答案】15【解】 61x的通项 16rrTCx，令 2可得 2615C则 6x中 3的系数为15.9、在 6()2)x的展开式中含 3x的项的系数是 【答案】-55【解析】 6(1)2)x的展开式中 3x项由 36)(2xC和 26)(-xC）（
4、两部分组成，所以 3的项的系数为 5-263C10、已知 dxn16e，那么 nx）（ 展开式中含 2x项的系数为 【答案】135【解析】根据题意， 66e11ln|endx，则 nx）（ 3中，由二项式定理的通项公式 1rnrTCab，可设含 2项的项是 6()rrrTC，可知 2，所以系数为2693511、已知 10 2101 10xaxaaxL，则 8a等于（ ）A5 B5 C90 D180【答案】D 因为 1010()(2)xx，所以 8a等于 8210()45180.C选12、在二项式 32n 的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则n_；展开式中的第 4 项_【答案】 8，1
5、937x【解析】由二项式定理展开通项公式21() (2)331nr nrr rrrnnTCxCx，由题意得，当且仅当 4n时， rn取最大值， 8，第 4 项为119(63)33872Cx13、如果 72701(1)axax ，那么 017a 的值等于（ ）（A）1 （B）2 （C）0 （D）2【答案】A【解析】令 1x，代入二项式 72701(12)xaxax ，得70127(12)aa，令 ，代入二项式xxx，得 70(1)1a，所以 1271aa ，即1272aa，故选 A14、 （ 2） 7展开式中所有项的系数的和为 【答案】-1 解：把 x=1 代入二项式，可得（ 2） 7 =1，1
6、5、 （x2） （x1） 5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0解：在（x2） （x1） 5的展开式中，令 x=1，即（12） （11） 5=0，所以展开式中所有项的系数和等于 0.16、在 *1(3)()nNx的展开式中，所有项的系数和为 32，则 1x的系数等于 【答案】 270【解析】当 1x时， 32-n，解得 5n，那么含 x1的项就是xC703225，所以系数是-270.17、设 0(sinco)kd，若 82108)1( xaxak ，则1238aa【答案】0.【解析】由 00(sinco)(cosin)kxdx (cos)si02，令 1x得： 80128(2)aa ，即
7、01281a再令 0得： 80128 ，即 0所以 1238aa18、设（5x ） n的展开式的各项系数和为 M，二项式系数和为 N，若 MN=240，则展开式中 x 的系数为 .【答案】150解：由于（5x ） n的展开式的各项系数和 M 与变量 x 无关，故令 x=1，即可得到展开式的各项系数和 M=（51） n=4n再由二项式系数和为 N=2n，且 MN=240，可得 4 n2 n=240，即 2 2n2 n240=0.解得 2 n=16，或 2 n=15（舍去） ，n=4.（5x ） n的展开式的通项公式为 Tr+1= ？（5x） 4r ？（1） r？ =（1）r？ ？5 4r ？ 令
8、 4 =1，解得 r=2，展开式中 x 的系数为 （1）r？ ？5 4r =1625=150，19、设 87108)1( xaxax ，则 178a 【答案】 25【解析】 178aa 87654321 aa，所以令 x，得到 2 876543210 ，所以 251-087654321 aaaa三、 求参数问题20、若 312nx的展开式中第四项为常数项，则 n（ ）A 4 B 5 C 6 D 7【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为 253334)21()nnxCxT，第四项为常数，则必有 025n，即 5n，所以正确选项为 B.21、二项式 )()1*Nxn的展开式中 2x的系数为
9、 15，则 n （ ）A、5 B、 6 C、8 D、10【答案】B【解析】二项式 )()1*Nnx的展开式中的通项为 knkxT1，令 2，得 2nk，所以 2的系数为 52)(2nCn，解得 6；故选 B22、(ax) 4的展开式中 x3的系数等于 8，则实数 a_ 【答案】2【解析】 4r+1T=Cra，当 3r，即 1时，133248,2xx23、若 4a的展开式中 x的系数为 10，则实数 a（ ）A 10或 1 B 53或 1 C2 或 53 D 10 【答案】B【解析】由题意得 4()ax的一次性与二次项系数之和为 14，其二项展开通项公式14rrTCax， 21401或 53，故
10、选 B24、设 2()()(1)nxxx 201naxax，当01254naa时， 等于（ ）A5 B6 C7 D8【答案】C 【解析】令 1x，则可得 23 12()254187nnn，故选 C四、 其他相关问题25、2015 2015除以 8 的余数为( )【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用 8 的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数试题解析：解：2015 2015=2015= ？2016 2015 ？2016 2014+ ？2016 2013？2016 2012+ ？2016 ，故 20152015除以 8 的余数为 =1，即 20152015除以 8 的余数为 7，
