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理论力学(周衍柏第三版)思考题习题答案要点.doc

上传人:HR专家 文档编号:5885157 上传时间:2019-03-20 格式:DOC 页数:187 大小:3.23MB
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1、阿第一章思考题解答1.1 答:平均速度是运动质点在某一时间间隔 tt内位矢大小和方向改变的平均快慢速度,其方向沿位移的方向即沿 t对应的轨迹割线方向;瞬时速度是运动质点在某时刻或某未知位矢和方向变化的快慢程度其方向沿该时刻质点所在点轨迹的切线方向。在 0t的极限情况,二者一致,在匀速直线运动中二者也一致的。1.2 答:质点运动时,径向速度 rV和横向速度 的大小、方向都改变,而 ra中的 只反映了 rV本身大小的改变, a中的 只是 本身大小的改变。事实上,横向速度方向的改变会引起径向速度 r大小大改变, 2r就是反映这种改变的加速度分量;经向速度 r的方向改变也引起 的大小改变,另一个 即为

2、反映这种改变的加速度分量,故 2ar, .2a。这表示质点的径向与横向运动在相互影响,它们一起才能完整地描述质点的运动变化情况1.3 答:内禀方程中, n是由于速度方向的改变产生的,在空间曲线中,由于 a恒位于密切面内,速度 v总是沿轨迹的切线方向,而 na垂直于 v指向曲线凹陷一方,故 n总是沿助法线方向。质点沿空间曲线运动时, 0,bFz 何与牛顿运动定律不矛盾。因质点除受作用力 F,还受到被动的约反作用力 R,二者在副法线方向的分量成平衡力0bR,故 ba符合牛顿运动率。有人会问:约束反作用力靠谁施加,当然是与质点接触的周围其他物体由于受到质点的作用而对质点产生的反作用力。有人也许还会问

3、:某时刻若 b与 大小不等, b就不为零了?当然是这样,但此时刻质点受合力的方向与原来不同,质点的位置也在改变,副法线在空间中方位也不再是原来 ba所在的方位,又有了新的副法线,在新的副法线上仍满足 0bbaRF即 。这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性,也反映了自然坐标系的方向虽质点的运动而变。1.4 答:质点在直线运动中只有 na而 无,质点的匀速曲线运动中只有 an而 无 ;质点作变速运动时即有 nta又 有 。1.5 答: dtr即反应位矢 r大小的改变又反映其方向的改变,是质点运动某时刻的速度矢量,而 t只表示 r大小的改变。如在极坐标系中,jirdt而rdt。在直线运动中,规定了直线的

4、正方向后, dtr。且 t的正负可表示 tr的指向,二者都可表示质点- 2 -的运动速度;在曲线运动中 dtr,且 tr也表示不了 dtr的指向,二者完全不同。dtv表示质点运动速度的大小,方向的改变是加速度矢量,而 tv只是质点运动速度大小的改变。在直线运动中规定了直线的正方向后,二者都可表示质点运动的加速度;在曲线运动中,二者不同, adtvadtn而,v。1.6 答:不论人是静止投篮还是运动投篮,球对地的方向总应指向篮筐,其速度合成如题1.6 VVV球对人人对地题 1 - 6 图图所示,故人以速度 V向球网前进时应向高于篮筐的方向投出。静止投篮是直接向篮筐投出, (事实上要稍高一点,使球

5、的运动有一定弧度,便于投篮) 。1.7 答:火车中的人看雨点的运动,是雨点的匀速下落运动及向右以加速度 a的匀速水平直线运动的合成运动如题 1.7 图所示, OaaVx y题 1 - 7 图yxo是固定于车的坐标系,雨点相对车的加速度 a,其相对运动方程vta21消去 t的轨迹 xavy2- 3 -如题图,有人会问:车上的人看雨点的轨迹是向上凹而不是向下凹呢?因加速度总是在曲线凹向的内侧, a垂直于 V方向的分量 na在改变着 V的方向,该轨迹上凹。1.8 答:设人发觉干落水时,船已上行 s,上行时船的绝对速度 水船 ,则2 水船 船反向追赶竿的速度 水船 V,设从反船到追上竿共用时间 t,则

6、st60) (水船 又竿与水同速,则60)2tV(水 +=得 min150水1.9 答:不一定一致,因为是改变物体运动速度的外因,而不是产生速度的原因,加速度的方向与合外力的方向一致。外力不但改变速度的大小还改变速度的方向,在曲线运动中外力与速度的方向肯定不一致,只是在加速度直线运动二者的方向一致。1.10 答:当速度与物体受的合外力同一方位线且力矢的方位线不变时,物体作直线运动。在曲线运动中若初速度方向与力的方向不一致,物体沿出速度的方向减速运动,以后各时刻既可沿初速度方向运动,也可沿力的方向运动,如以一定初速度上抛的物体,开始时及上升过程中初速度的方向运动,到达最高点下落过程中沿力的方向运

7、动。在曲线运动中初速度的方向与外力的方向不一致,物体初时刻速度沿初速度的反方向,但以后既不会沿初速度的方向也不会沿外力的方向运动,外力不断改变物体的运动方向,各时刻的运动方向与外力的方向及初速度的方向都有关。如斜抛物体初速度的方向与重力的方向不一致,重力的方向决定了轨道的形状开口下凹,初速度的方向决定了射高和射程。1.11 答:质点仅因重力作用沿光滑静止曲线下滑,达到任意点的速度只和初末时刻的高度差有关,因重力是保守力,而光滑静止曲线给予质点的发向约束力不做功,因此有此结论假如曲线不是光滑的,质点还受到摩擦力的作用,摩擦力是非保守力,摩擦力的功不仅与初末位置有关,还与路径有关,故质点到达任一点

8、的速度不仅与初末高度差有关,还与曲线形状有关。1.12 答:质点被约束在一光滑静止的曲线上运动时,约束力的方向总是垂直于质点的运动方向,故约束力不做功,动能定理或能量积分中不含约束力,故不能求出约束力。但用动能定理或能量积分可求出质点在某位置的速度,从而得出 na,有牛顿运动方程- 4 -nnmaRF便可求出 nR,即为约束力1.13 答:动量 smkgvp.22431动能 NmT82221.14 答: kjikjivrJ 623963231故 smkgJ smkgZ2 2220467.843961.15 答:动量矩守恒意味着外力矩为零,但并不意味着外力也为零,故动量矩守恒并不意味着动量也守恒

9、。如质点受有心力作用而运动动量矩守恒是由于力过力心,力对力心的矩为零,但这质点受的力并不为零,故动量不守恒,速度的大小和方向每时每刻都在改变。1.16 答:若 rF,在球坐标系中有 00 eer rFr由于坐标系的选取只是数学手段的不同,它不影响力场的物理性质,故在三维直角坐标系中仍有 0F的关系。在直角坐标系中 kjirFzk,jir rFyx zyx故00 rrrkjikjikjiF FFrzyxFrzyrFxrFrzyx事实上据“ ”算符的性质,上述证明完全可以简写为- 5 -0rF这表明有心力场是无旋场记保守立场1.17 答平方反比力场中系统的势能 rmkV2,其势能曲线如题图 1.1

10、7 图所示,01T23123rrV0ERe0TrmR2minaxr题 1 - 1 7 图由 rVETrVETrVT故 有因知 ,0, 。若 0,其势能曲线对应于近日点 min和远日点 max之间的一段。近日点处rE即为进入轨道需要的初动能若 则质点的运动无界,对应于双曲线轨道的运动;若 位于有界和无界之间,对应于抛物线轨道的运动;这两种轨道的运动都没有近日点,即对大的 r质点的运动是无界的,当 r很大时 0rV,还是选无限远为零势点的缘故,从图中可知,做双曲轨道运动比抛物轨道和椭圆轨道需要的进入轨道需要的动能要大。事实及理论都证明,平方反比引力场中质点的轨道正是取决于进入轨道时初动能的大小由0

11、212Ermkv得 rkrkV22- 6 -即速度 V的大小就决定了轨道的形状,图中 321,T对应于进入轨道时的达到第一二三宇宙速度所需的能量由于物体总是有限度的,故 r有一极小值 eR,既相互作用的二质点不可能无限接近,对于人造卫星的发射 eR其为地球半径。 rVE0为地面上发射时所需的初动能,图示 0321,T分别为使卫星进入轨道时达到一二三宇宙速度在地面上的发射动能。 iiT0 .为进入轨道前克服里及空气阻力做功所需的能量。1.18 答:地球附近的物体都受到随地球自转引起的惯性离心力的作用,此力的方位线平行于赤道平面,指向背离地轴。人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角越大,则卫星

12、的惯性离心力与轨道平面的家教越大,运动中受的影响也越大,对卫星导向控制系统的要求越高。交角越大,对地球的直接探测面积越大,其科学使用价值越高。1.19 答:对库仑引力场有0E,r 2V4,2102则 ,若其 中 kzekErkmv ,轨道是双曲线的一点,与斥力情况相同,卢瑟福公式也适用,不同的是引力情况下力心在双曲线凹陷方位内侧;若0,2rkV则,轨道椭圆 或抛物线 0,卢瑟福公式不适用,仿照课本上的推证方法,在入射速度 rkV20的情况下即可得卢瑟福公式。近代物理学的正,负粒子的对撞试验可验证这一结论的近似正确性。第一章习题解答1.1 由题可知示意图如题 1.1.1 图: S2t1t题 1

13、. 1 . 1 图设开始计时的时刻速度为 0v,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为 a.则有:- 7 -21210tatvs由以上两式得 102ttsv再由此式得 21ttsa证明完毕.1.2 解 由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题 1.2.1 图.ABO题 1 . 2 . 1 图设 A船经过 0t小时向东经过灯塔,则向北行驶的 船经过210t小时经过灯塔任意时刻 船的坐标 txA150, AyB船坐标 0Bx, ttyB20则 A船间距离的平方 222BABAyxd即 20215td2015tt20206945 tttt2d对时间 t求导- 8 -675902ttdtAB船相距最

14、近,即 t,所以 ht430即午后 45 分钟时两船相距最近最近距离 22min 3154315skm1.3 解 1如题 1.3.2 图 xyCaBArO第 1 . 3 题图 ABCraxyO题 1 . 3 . 2 图由题分析可知,点 C的坐标为 sincosayrx又由于在 AOB中,有 i2si(正弦定理)所以 rya2sn联立以上各式运用 1cossin22由此可得- 9 -ryaxrax2coscos得 12422ryaxyaxry得 2223yaxaxy化简整理可得 22234r此即为 C点的轨道方程.(2)要求 点的速度,分别求导 2cossininryrx其中 又因为 sin2s

15、iar对两边分别求导故有 cos2ar所以 2yxV 4cossinco2sin22rrrii4cos1.4 解 如题 1.4.1 图所示,- 10 -ABOCLxd第 1 . 4 题图OL绕 点以匀角速度转动, 在 AB上滑动,因此 C点有一个垂直杆的速度分量 2xdOvC点速度 dvv 22secsco又因为 所以 C点加速度 tansec2dtva 22tansecdxd1.5 解 由题可知,变加速度表示为 Ttc2si1由加速度的微分形式我们可知 dtva代入得 tTcv2sin1对等式两边同时积分 dtcdvt002sin1可得 : DTtctvos2( 为常数)代入初始条件: 0t

16、时, ,故- 11 -cTD2即 12cosTttv又因为 dtsv所以 dstTttc12os对等式两边同时积分 ,可得: ttcs2sin211.6 解 由题可知质点的位矢速度 r/v沿垂直于位矢速度 又因为 r/v , 即 rv即 rjivardtrtd(取位矢方向 i,垂直位矢方向 j)所以 jii rdtritrt ttdtrt jjjij2rr故 jiarr22- 12 -即 沿位矢方向加速度 2ra垂直位矢方向加速度 对求导 rr2对求导 r2r把代入式中可得 ra22/1.7 解 由题可知 sincoryx 对求导 sicorx对求导 cosini2s2 rr对求导 siry对

17、求导 sincos2sin2 rrr对于加速度 a,我们有如下关系见题 1.7.1 图- 13 -raOxy题 1 . 7 . 1 图即 cossiniayxr-对俩式分别作如下处理: , in即得 cosinsiincoayxr-+得 sicyxr把代入 得 2rar同理可得 1.8 解 以焦点 F为坐标原点,运动如题 1.8.1 图所示 FOMxy题 1 . 8 . 1 图则 M点坐标 sincoryx对 yx,两式分别求导 cossiniryx- 14 -故 2222 cossinsico rryxv 2r如图所示的椭圆的极坐标表示法为 cos12ear对 r求导可得(利用 )又因为 2

18、2ear即 re21cos所以 22222 11cos1sineraa故有 2224sin1rearv2241ear122era2r2221rr b2即 rabrv(其中 e,122为椭圆的半短轴)1.9 证 质点作平面运动,设速度表达式为 jivyx令为位矢与轴正向的夹角,所以 dtvtdvtdyxjia jixyyxvdtv- 15 -所以 jiaxyyxvdtvdt jiyxvyxyyxxttv dttyx又因为速率保持为常数,即 Cvyx,2为常数对等式两边求导 0dttyx所以 va即速度矢量与加速度矢量正交.1.10 解 由题可知运动轨迹如题 1.10.1 图所示, p,2,xyO

19、题 1 . 1 0 . 1 图则质点切向加速度 dtvat法向加速度 2nva,而且有关系式 2vkdt又因为 23y1px- 16 -所以 yp32联立 232yp1kvdt又 dyvtdtv把 2pxy两边对时间求导得 px又因为 22yxv所以 221py把代入 2322211ypkvdypv既可化为 2pydkvd对等式两边积分- 17 -22pydkvdpu所以 ke1.11 解 由题可知速度和加速度有关系如图 1.11.1 所示av题 1 . 1 1 . 1 图cosin2adtvrtn两式相比得 dtvrvcos1in2即 2tvr对等式两边分别积分 200cot1vdrt 即

20、ct0rv此即质点的速度随时间而变化的规律.1.12 证 由题 1.11 可知质点运动有关系式 cosin2adtvr- 18 -所以 dvtdtv,联立,有 cosin2rv又因为 v所以 dvcot,对等式两边分别积分,利用初始条件 0t时, 0cot00ev1.13 证( a)当 0,即空气相对地面上静止的,有 一一一v.式中 一质点相对静止参考系的绝对速度, 一指向点运动参考系的速度, 一指运动参考系相对静止参考系的速度.可知飞机相对地面参考系速度: 一v= ,即飞机在舰作匀速直线运动.所以飞机来回飞行的总时间 vlt20.( b)假定空气速度向东,则当飞机向东飞行时速度 01飞行时间

21、 01vlt当飞机向西飞行时速度 0v一一飞行时间 02vlt故来回飞行时间 021vltt0l20vl即 - 19 -20201vtlt同理可证,当空气速度向西时,来回飞行时间 201vt(c)假定空气速度向北.由速度矢量关系如题 1.13.1 图Av0v一B题 1 . 1 3 . 1 图v0一2所以来回飞行的总时间 20vlt202011vtvl同理可证空气速度向南时,来回飞行总时间仍为 201vtt1.14 解 正方形如题 1.14.1 图。 ACBD3v41由题可知 hkmv/28一一 设风速 BA, hkm/10一,当飞机- 20 -BA, hkmkv/128/)10(D96,22C

22、/7/)(34,vAhk8102故飞机沿此边长 6 hkm/正方形飞行一周所需总时间 min165924672918ht2v一v一题 1 . 1 4 . 2 图 一v一v4题 1 . 1 4 . 3 图1.15 解 船停止时,干湿分界线在蓬前 3,由题画出速度示意图如题.15.1 图 一v一一v3 m题 1 . 1 5 . 1 图 一一一vv故 sinsin一一又因为 2,所以 cosin一一v由图可知- 21 -51cos,24cos24,53insmv/8一所以 cos)sin(i一一v=8 s/1.16 解 以一岸边为 x轴,垂直岸的方向为 y轴.建立如题 1.16.1 图所示坐标系.

23、xyOd一v题 1 . 1 6 . 1 图所以水流速度 dydkyv20又因为河流中心处水流速度为 c2dk所以 dck2。当 20dy时, ycv一即utydx2-得 tdcux2,两边积分 tdcudxt200- 22 -2tdcux联立,得 202yudcx同理,当 2dy时, v一 即 utdcydctx2t一Dudcyx2由知,当 2dy时, 4代入得 uc2有 udcyx2,dy所以船的轨迹 dyucyducx2202船在对岸的了;靠拢地点,即 时有 x1.17 解 以 A为极点,岸为极轴建立极坐标如题.17.1 图.1C2AxOr题 1 . 1 7 . 1 图- 23 -船沿垂直

24、于 r的方向的速度为 sinC1,船沿径向 r方向的速度为 2C和 1沿径向的分量的合成, 即 21cosiCdtr-/得 Crdtsin12,对两积分: Crsinl2talnl12设kC,2,1为常数,即 Crk1cos2inl代入初始条件 0r时, 0.设 ,0有,cos2inl010kr得 011sincoikkr1.18 解 如题 1.18.1 图 ABOa题 1 . 1 8 . 1 图mg质点沿 OA下滑,由受力分析我们可知质点下滑的加速度为 cosga.设竖直线 hB,斜槽 s,易知 ,2,2OABB,由正弦定理sininh即- 24 -cosh 又因为质点沿光滑面 OA下滑,即

25、质点做匀速直线运动.所以 22cos1tgats有 0cscso212htg欲使质点到达 A点时间最短,由 o2t可知,只需求出cos的极大值即可,令 sincscosyi2n12把 y对 求导 sinco2sicos2dy极大值时 0,故有 sinta由于是斜面的夹角,即 20,所以 1.19 解 质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降阶段.取向上为正各力示意图如题 1.19.1 图,- 25 -mgvR上升时 下降时题 1.19.1 图则两个过程的运动方程为:上升 2ygmky下降: 2对上升阶段: 21vkgdtv2yt即 gdvk21对两边积分 yvkhv020所以 2021lngkh即

26、质点到达的高度.对下降阶段: 2gvkdyvt即 - 26 -gdyvkhv020112lnh由=可得 201vkv1.20 解 作子弹运动示意图如题 1.20.1 图所示.d0v题 1.20.1 图水平方向不受外力,作匀速直线运动有 tvdcoss0竖直方向作上抛运动,有 201sinigtv由得 cos0vdt代入化简可得 220cosingd因为子弹的运动轨迹与发射时仰角 有关,即 d是 的函数,所以要求 d的最大值.把 d对 求导,求出极值点.- 27 -0cossincos20 gvd即 csi02cos所以 24,代入 d的表达式中可得: 24sincos20max gvd 2si

27、n420gvec20gv此即为子弹击中斜面的地方和发射点的距离 d的最大值1.21 解 阻力一直与速度方向相反,即阻力与速度方向时刻在变化,但都在轨道上没点切线所在的直线方向上,故用自然坐标比用直角坐标好. Oyxv0vgm题 1 . 2 1 . 1 图轨道的切线方向上有: sinmgkvdt轨道的法线方向上有: cos2grv由于角是在减小的,故- 28 -dsr 由于初末状态由速度与水平方向夹角 来确定,故我们要想法使变成关于的等式由 dsvmtsdtv即 singkvsm把代入可得 cos2dsv用 可得 cosin1gkvdvdi2gkv222cosinsco22isdd即22coss

28、gkdvd,两边积分得 Cgkvtancos1代入初始条件 0t时, 0,即可得 tancos10gkvC代入式,得 gkvtantcos0- 29 -又因为 cos,2mgrv所以 vgdtcos把代入 dtgkvgcostantcos0积分后可得 gkvtsi21l01.22 各量方向如题 1.22.1 图. OyxBEV题 1 . 2 2 . 1 图Z电子受力 BEFveBvezyx0kjijjievBEey则电子的运动微分方程为 0zmxeEevyyxx-由 ,dtyeBtvmx,即 yvxdB0- 30 -VymeBvx代入整理可得 Eey2对于齐次方程 02ymBe的通解 tmeBsinAtecosY21非齐次方程的特解 VEeB2所以非齐次方程的通解 BVEemtsinAtmcosYy 22121代入初始条件: 0t时, 得VeB10t时, yv得 2A,故 2emEtcosEem同理,把代入可以解出 tBsinVetBx把代入 VeBmEvtEemdtx 2cosdtteBVCtEmexsin代入初条件 0t时, ,得 0C.所以

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