1、 - 1 - / 30二次根式的知识点汇总知识点一： 二次根式的概念形如 （ ）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以 是 为二次根式的前提条件，如 ， ， 等是二次根式，而 ， 等都不是二次根式。例 1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 2、 3、 1x、 （x0） 、 0、42、- 、 xy、 （x0，y 0） 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或 0知识点二：取值范围1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a0 时， 有意义，是二次根
2、式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a0 时， 没有意义。例 2当 x 是多少时， 31x在实数范围内有意义？例 3当 x 是多少时， 2+ 在实数范围内有意义？知识点三：二次根式 （ ）的非负性（ ）表示 a 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 0（ ）。- 2 - / 30注：因为二次根式 （ ）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，所以非负数（ ）的算术平方根是非负数，即 0（ ），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答
3、题目时应用较多，如若，则 a=0,b=0；若 ，则 a=0,b=0；若 ，则 a=0,b=0。例 4(1)已知 y= 2x+ +5，求 xy的值(2) 若 1a+ b=0，求 a2004+b2004 的值知识点四：二次根式（ ） 的性质 1（ ） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式 （ ）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若 ，则 ，如： ， .例 1 计算1 （ 32） 2 2 （3 5） 2 3 （ 56） 2 4 （ 72） 2例 2 在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x2-3知
4、识点五：二次根式的性质 2文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：- 3 - / 301、化简 时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0，则等于 a 本身，即 ；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a,即 ；2、 中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值， 一定有意义；3、化简 时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简。例 1 化简（1） 9 （2） 2(4) （3） 5 （4） 2(3)例 2 填空：当 a0 时， 2=_；当 aa，则 a是什么数？例 3 当 x2，化简 2()x- 2(1)x知识点六： 与 的异同点1
5、、不同点： 与 表示的意义是不同的， 表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在 中 ，而 中 a 可以是正实数，0，负实数。但 与 都是非负数，即 ， 。因而它的运算的结果是有差别的， ，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即 时， = ； 时， 无意义，而.- 4 - / 30知识点七：二次根式的乘除1、 乘法 （a0，b 0 ） 反过来： = （a 0，b0）a ab2、除法 = （a0，b0 ） 反过来， = （a0，b0） b（思考：b 的取值与 a 相同吗？为什么？不相同，因为 b 在分母，所以不能为 0）例 1计算（1）4 5 7 （2） 1
6、3 9 （3） 9 27 （4） 12 6例 2 化简（1） 96 （2） 168 （3） 29xy （4） 5例 3判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1） (4)949（2） 5 2=4 15 2=4 15 2=4 1=8 3例 4计算：（1） 3 （2） 38 （3） 416 （4） 8例 5化简：（1） 364 （2）2649ba（3） 2964xy （4） 25169xy例 6已知 6x，且 x 为偶数，求（1+x）2x的值- 5 - / 303、最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；（2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式（熟记 20 以内数
7、的平方；因数或因式间是乘积的关系，当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是 2（或 2 的倍数） ，若是则说明含有能开方的因式，则不满足条件，就不是最简二次根式）例 1把下列二次根式化为最简二次根式(1) 5312; (2) 242xy; (3) 238xy4、化简最简二次根式的方法：(1) 把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式，即分解因式；(2) 化去根号内的分母（或 分母中的根号） ，即分母有理化；(3) 将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来 （此步需要特别注意的是：开到根号外的时候要带绝对值，注意符号问题）5.有理化因式：一般常见的互为有理化因
8、式有如下几类： 与 ； 与 ； 与 ； 与 说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化13、同类二次根式：被开方数相同的（最简）二次根式叫同类二次根式。 判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。如 8与 1知识点八：二次根式的加减1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。 （合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变） ，不能合并的直接抄下来。- 6 - / 30例 1计算（1） 8+ 1 （2） 16x+ 4例 2计算（1）3 48-9 13+3 2 （2） （ 48+ 20）+ （ 1- 5）例 3已知
9、4x2+y2-4x-6y+10=0，求（ 293x+y2 3xy）- （x 2 1-5x yx）的值2、二次根式的混合运算：先计算括号内，再乘方（开方） ，再乘除，再加减3、二次根式的比较：（1）若 ，则有 ；（2）若 ，则有 （3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小例 4比较 3 12与 4 5的大小【典型例题】1、 概念与性质 例 1、下列各式1）2 221,2)5,3),4),5(),6,7)13x aa，其中是二次根式的是_（填序号） 例 2、求下列二次根式中字母的取值范围- 7 - / 30（1） ；（2）xx3152)-(x例 3、 在根式 1) 2 2;);3;
10、4)275abxyabc，最简二次根式是（ ）A1) 2) B3) 4) C1) 3) D1) 4)例 4、已知：。 22,2181 xyxyxy例 5、已知数 a，b，若 2()ab=ba，则 ( )A. ab B. ab0，a+b=6 ab，则 b的值为（ ）A 2 B2 C 2 D 12例 4、甲、乙两个同学化简 时，分别作了如下变形：甲： = = ；乙： = 。 其中（ ）A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 只有甲正确 D. 只有乙正确课堂练习：1. 使式子 有意义的条件是 。4x2. 当 时， 有意义。_21xx3. 若 有意义，则 的取值范围是 。1mm4. 当 时，
11、是二次根式。_x2x5. 在实数范围内分解因式： 。429_,_x- 11 - / 306. 若 ，则 的取值范围是 。24xx7. 已知 ，则 的取值范围是 。28. 化简： 的结果是 。21x9. 当 时， 。1525_x10. 把 的根号外的因式移到根号内等于 。a11. 使等式 成立的条件是 。11xxA12. 若 与 互为相反数，则 。ab24b205_ab13. 在式子 中，二次根式有（ ）230,12,1,xyxxyA. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）A. B. C. D. 732m21aab15. 若 ，则 等于（ ）a
12、223A. B. C. D. 5215a1a16. 若 ，则 （ ）4AaAA. B. C. D. 222a24a17. 若 ，则 化简后为（ ）1a3aA. B. 1a- 12 - / 30C. D. 1a1a18. 能使等式 成立的 的取值范围是（ ）2xxA. B. C. D. x0x22x19. 计算： 的值是（ ）21aaA. 0 B. C. D. 或4424a221. 若 ，求 的值。20xyxy22. 当 取什么值时，代数式 取值最小，并求出这个最小值。a21a24. 已知 ，求 的值。2310x21x25. 已知 为实数，且 ，求 的值。,ab0ab2056ab26. 化简：3
13、51.0,ab2.xy321.a二次根式的乘除1. 当 ， 时， 。0ab3_ab- 13 - / 302. 若 和 都是最简二次根式，则 。2mn32mn _,_mn3. 计算： 。_;369_4. 计算： 。483275. 长方形的宽为 ，面积为 ，则长方形的长约为 （精确到 0.01） 。66. 下列各式不是最简二次根式的是（ ）A. B. C. D. 21a21x24b0.1y7. 已知 ，化简二次根式 的正确结果为（ ）0xy2yxA. B. C. D. yy8. 对于所有实数 ，下列等式总能成立的是（ ）,abA. B. 22abC. D. 22ab29. 和 的大小关系是（ ）3
14、A. B. C. D. 不能确定2232310. 对于二次根式 ，以下说法中不正确的是（ ）9xA. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为 311. 计算：1.2332.5x- 14 - / 3033.540,abab364.0,abb21.3 二次根式的加减1. 下列根式中，与 是同类二次根式的是（ ）3A. B. C. D. 241232182. 下面说法正确的是（ ）A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 B. 与 是同类二次根式80C. 与 不是同类二次根式 D. 同类二次根式是根指数为 2 的根式21503. 与 不是同类二次根式的是
15、（ ）3abA. B. C. D. 2ba1ab3ba4. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A. B. C. D. 0.2b12ab2xy25ab5. 若 ，则 化简的结果是（ ）1x241x- 15 - / 30A. B. C. 3 D. -321x21x6. 若 ，则 的值等于（ ）80xA. 4 B. C. 2 D. 47. 若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的值是（ ）3xy3xyA. B. C. 1 D. 338. 下列式子中正确的是（ ）A. B. 5272abC. D. axbax683429. 在 中，与 是同类二次根式的是 。8,12,0210.若最简二次根式 与 是
16、同类二次根式，则 。15a34ba_,_ab11. 一个三角形的三边长分别为 ，则它的周长是 cm。8,12,8cmc12. 若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 。234a63a_a13. 已知 ，则 。,xy3_xy14. 已知 ，则 。321_x15. 。20201A16. 计算：- 16 - / 30. . 12235483 1485233. . 27433512222131317. 计算及化简：. . 2211aa 2abab. . xyxy2ababab18. 已知： ，求 的值。3232,xy3243xy- 17 - / 3019. 已知： ，求 的值。10a21a20. 已知
17、 的值。10392yxxy， 求- 18 - / 30一、选择题（每题 2 分，共 20 分）1. 下列各式中一定是二次根式的是（ ）A. B. C. D. 732m12x3ab2. 如果 是二次根式，那么 应满足的条件是（ ）52xA. B. C. D. 52xx52x523. 当 x=3 时，在实数范围内没有意义的是（ ）A. B. C. D. 3x3x23x23x4. 化简二次根式 得（ ） 2()6A. B. C. 18 D. 63635. 等式 成立的条件是（ ）(1)1aaA. B. C. D. 1)mnmn- 21 - / 3021. 已知 ， ，计算 的值。 （5 分）5xy3
18、xyyx22. 已知实数 满足 ，求 的值。 （5 分）,abc21|40abc103abc- 22 - / 3023. 若 ， ，求代数式 的值。 （6 分）521ab2ab(1)ab24. 已知 求 的值。 （6 分）11,3232AB1AB25. 已知 ，求 的值。 （6 分）10a21a综合、运用、诊断一、填空题- 23 - / 3011 x2表示二次根式的条件是_12使 1x有意义的 x 的取值范围是_13已知 4y，则 xy的平方根为_14当 x=2 时， 2211x_二、选择题15下列各式中， x 的取值范围是 x2 的是( )A 2B 1C x21D 12x16若 0|5| y
19、x，则 x y 的值是( )A7 B5 C3 D7三、解答题17计算下列各式：(1) ;)14.3(2(2) ;)3(2(3) ;)32(1(4) .)503(218当 a=2， b=1， c=1 时，求代数式 acb24的值拓广、探究、思考- 24 - / 3019已知数 a， b， c 在数轴上的位置如图所示：化简： |)(| 22b的结果是：_20已 知 ABC 的 三 边 长 a， b， c 均 为 整 数 ， 且 a 和 b 满 足 .0962ba试 求 ABC 的 c 边的长综合、运用、诊断一、填空题9定义运算“”的运算法则为： ,4xy则(26)6=_10已知矩形的长为 cm52
20、，宽为 c10，则面积为_cm 211比较大小：(1) 3_ 3；(2) 25_ 34；(3) _ 6二、选择题12若 ba2成立，则 a， b 满足的条件是( )A a0 且 b0 B a0 且 b0 C a0 且 b0 D a， b 异号13把 432根号外的因式移进根号内，结果等于( )A 1B 1C 4D 12三、解答题14计算：(1) xy635_； (2) 297ba_；(3) 2131_； (4) )13(_15若( x y2) 2与 yx互为相反数，求( x y)x的值- 25 - / 30拓广、探究、思考16化简：(1) 110)2()(_；(2) )3()(_综合、运用、诊
21、断一、填空题7化简二次根式：(1) 62_(2) 81_(3) 314_8计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式：(1) 51_(2) x2_(3) 32_(4) yx5_9已知 ,732.1则 _； 7_(结果精确到 0001)二、选择题10已知 13a， 2b，则 a 与 b 的关系为( )A a=b B ab=1 C a= b D ab=111下列各式中，最简二次根式是( )- 26 - / 30A yx1B baC 42xD ba25三、解答题12计算：(1) ;3bab(2) ;321yx(3) ba13当 24,yx时，求 22yx和 xy2 x2y 的值拓广、探究、思考14
22、观察规律： ,321,231,21 并求值(1) 27_；(2) 10_；(3) 1n_15试探究 )(a、与 a 之间的关系综合、运用、诊断一、填空题12已知二次根式 ba4与 3是同类二次根式，( a b)a的值是_- 27 - / 3013 382ab与 26无法合并，这种说法是_的(填“正确”或“错误”)二、选择题14在下列二次根式中，与 a是同类二次根式的是( )A a2B 23C 3aD 4a三、计算题15 .)15(281016 ).27(43)2(117 baa1241 18 .21233ababa四、解答题19化简求值： yxx3241，其中 4x， 91y20当 321x时
23、，求代数式 x24 x2 的值- 28 - / 30拓广、探究、思考21探究下面的问题：(1)判断下列各式是否成立?你认为成立的，在括号内画“” ，否则画“” 32（ ） 83（ ） 154（ ） 245（ ）(2)你判断完以上各题后，发现了什么规律?请用含有 n 的式子将规律表示出来，并写出 n 的取值范围(3)请你用所学的数学知识说明你在(2)题中所写式子的正确性综合、运用、诊断一、填空题13(1)规定运算：( a*b)= a b，其中 a， b 为实数，则 7)3*(_(2)设 5，且 b 是 a 的小数部分，则 _二、选择题14 ba与 a的关系是( )- 29 - / 30A互为倒数
24、 B互为相反数 C相等 D乘积是有理式15下列计算正确的是( )A ba2)B abC 2 D a1三、解答题16 2117 281)2(18 .)21()(09208 19 .)()(22baba四、解答题20已知 ,23,23yx求(1) x2 xy y2；(2) x3y xy3的值21已知 25x，求 4)25()49(2xx的值拓广、探究、思考22两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有 二次根式，我们说这两个代数式互 为有理化因式如： a与 ， 63与 互为有理化因式试写下列各式的有理化因式：- 30 - / 30(1) 25与_； (2) yx2与_； (3) mn与_；(4) 3与_； (5)3与_； (6) 32与_23已知 ,72.1,4.2求 )2(6(精确到 0.01)
