1、111第五章 频域分析法用时域分析法分析和研究系统的动态特性和稳态误差最为直观和准确，但是，用解析方法求解高阶系统的时域响应往往十分困难。此外，由于高阶系统的结构和参数与系统动态性能之间没有明确的函数关系，因此不易看出系统参数变化对系统动态性能的影响。当系统的动态性能不能满足生产上要求的性能指标时，很难提出改善系统性能的途径。本章介绍的频域分析法是研究控制系统的一种经典方法，是在频域内应用图解分析法评价系统性能的一种工程方法。频率特性可以由微分方程或传递函数求得，还可以用实验方法测定。频域分析法不必直接求解系统的微分方程，而是间接地揭示系统的时域性能，它能方便的显示出系统参数对系统性能的影响，
2、并可以进一步指明如何设计校正。第一节 频率特性对于线性定常系统，若输入端作用一个正弦信号(51)tUtusin)(则系统的稳态输出 y(t)也为正弦信号，且频率与输人信号的频率相同，即(52)t Ytyi()(u(t)和 y(t)虽然频率相同，但幅值和相位不同，并且随着输入信号的角频率 的改变，两者之间的振幅与相位关系也随之改变。这种基于频率 的系统输入和输出之间的关系称之为系统的频率特性。不失一般性，设线性定常系统的传递函数 G(s)可以写成如下形式(53)()()()( 121 sABpspsspBsUYGnjj式中 B(s)传递函数 G(s)的 m 阶分子多项式，s 为复变量；A(s)传
3、递函数 G(s)的 n 阶分母多项式 (nm)；传递函数 G(s)的极点，这些极点可能是实数，也可能是复数，对稳np,21定的系统采说，它们都应该有负的实部。由式(51)，正弦输入信号 u(t)的拉氏变换为(查拉氏变换表)（54）)(2jsjUsU输出信号 y(t)的拉氏变换为Y(s)U(s)G(s) 将式(53)、式（54)代人上式得 njjpsBsjsY1)()()(上式可改写成(利用部分分式法)(5-5)npsbpsbjsajsY 2121)112上式中 待定系数，它们均可用留数定理求出。其中 a1和 a2nba,21是共扼复数。将式 (55)两边取拉氏反变换，可得 (56)0)(t e
4、beety pnt pt pt jt j 2121)(对于稳定的系统，由于极点 都具有负实部，所以当 t时，,21都将衰减到零。这时输出信号 y(t)只由式(56)中的第一项和第二项tptpt n ee,21决定，即稳态输出 y ()为(57)tjt jea21)(式(57)中的待定系数 a1和 a2可分别由留数定理求得（58） )(2)()()(21 jGUjsjjsUGajsj s上式中 G(j)和 G(-j)都是复数，可以用极坐标形式表示为（59）)()()()( jGjG j ejejj将式(58)、式(59)代入式(57)得(5-10)t Ysin( )G(j t jUeej) j
5、Ujy )G(j t j) (Jt t j jt jj ji21(2)( ( )()(式中 )(j j,式(5-10)表明，线性定常系统在正弦输人信号 的作用下，稳态输出信t Utusin)(号 y ()仍是与输入信号相同频率的正弦信号，只是振幅与相位不同，输出信号 y ()的振幅 Y 是输入信号振幅 U 的 倍，相位移为 ，且都是角频率 的函数。)(jG)G(j 相位移 为正时，表示输出信号 y ()的相位超前输人信号 的相位；相位移 为负时， tu表示输出信号 y ()的相位迟后输入信号 的相位。)(tu如果改变输入信号 的频率 ，则 和 也随之改变。线性定常系统)(tujG)(j 113
6、在正弦输入时，稳态输出 y ()与输入 的振幅比 和相位移)(tu)j GUY(随频率 而变化的函数关系，分别称为幅频特性和相频特性。并分别用)G(j M()和 ()表示，即 )()(j GM和 合起来称为系统的频率特性。)(M由式(5-9)可知， 和 可以由 G(j)来统一表示，即)(jG)(j (5-11)()(jjGeMe j 还可以用直角坐标形式来表示)j G( )jI(R)j (式中 的实部，它也是 的函数，称为实频特性； )(R)j 的虚部，同样也是 的函数，称为虚频特性。IG从上分析可知，若将传递函数中的 s 以 j 代替，就得到频率特性。即：，可以证明，这个结论对于结构稳定的线
7、性定常系统(或环节)都是成立jsj)(的。所以，如已知系统(或环节)的传递函数，只要用 j 置换其中的 s，就可以得到该系统(或环节)的频率特性。反过来看，如果能用实验方法获得系统(或元部件)的频率特性，又给确定系统(或元部件)的传递函数提供了依据。系统频率特性的表示方法很多，其本质上都是一样的，只是表示形式不同而已。工程上用频率法研究控制系统时，主要采用的是图解法。因为图解法可方便、迅速地获得问题的近似解。每一种图解法都是基于某一形式的坐标图表示法。频率特性图示方法是描述频率 从 变化时频率响应的幅值、相位与频率之间关系的一组曲线，由于采用的坐标0系不同可分为两类图示法或常用的三种曲线：即极
8、坐标图示法和对数坐标图示法或幅相频率特性曲线、对数频率特性曲线和对数幅相频率特性曲线。一、幅相频率特性(奈氏图) 由以上的介绍可知，若已知系统的传递函数 G(s)，那么令 sj，立即可得频率特性为 。显然， 是以频率 为自变量的一个复变量，该复变量可用复平面sjG)j (上的一个矢量来表示。矢量的长度为 的幅值 ；矢量与正实轴间夹角为)j G()(j的相角 。那么当频率 从 0 变化到时，系统或元件的频率特性的值也)j ()(j 在不断变化，即 这个矢量亦在s平面上变化，于是 这个矢量的矢端在sG)j G(114平面上描绘出的曲线就称为系统的幅相频率特性，或称作奈奎斯特图(Nyquist)。二
9、、对数频率特性(伯德图)由上面的介绍可知，幅相频率特性是一个以 为参变量的图形，在定量分析时有一定的不便之处。因此，在工程上，常常将 和 分别表示在两个图上，且由于这两)(M个图在刻度上的特点，被称作对数幅频特性图和对数相频特性图。1对数幅频特性为研究问题方便起见，常常将幅频特性 用增益 L()来表示，其关系为：)(512)(lg20)(L在图形中，纵轴按线性刻度，标以增益值；横轴按对数刻度，标以频率 值，称作对数幅频特性。2对数相频特性该图纵轴按均匀刻度，标以 值，单位为度；横轴刻度与对数幅频特性相同，按)(对数刻度，标以频率 值，称作对数相频特性。对数幅频特性和对数相频特性合称为对数频率特
10、性，或称作伯德图（Bode）三、对数幅相频率特性(尼柯尔斯图) 将对数幅频特性和对数相频特性画在一个图上，即以 （度）为线性分度的横轴，)(以 （db）为线性分度的纵轴，以 为参变量绘制的 曲线，称)(lg20)(ML )(jG为对数幅相频率特性，或称作尼柯尔斯图（Nichols） 。本章只介绍奈奎斯特图和伯德图。第二节 频率特性的极坐标图（Nyquist 图）一、基本概念由于频率特性 G(j)是复数，所以可以把它看成是复平面中的矢量。当频率 为某一定值 l时，频率特性 G(j l)可以用极坐标的形式表示为相角为 (相角)1jG的符号定义为从正实轴开始，逆时针旋转为正，顺时针旋转为负)，幅值为
11、G(j 的矢量 ，如图 51(a)所示。与矢量 对应的数学表达式为1OAOA)(111(jGe(j )j G当频率 从零连续变化至(或从-0)时，矢量端点 A 的位置也随之连续变化并形成轨迹曲线。如图 51(a)中 G(j)曲线所示。由这条曲线形成的图像就是频率特性的极坐标图，又称为 G(j)的幅相频率特性。如果 G(j l)以直角坐标形式表示，即 )jI()R()j G111(如图 51(b)所示的矢量 。同样，在直角坐标图 51(b)上也可以作出 从 0 变化OA到的 G(j)轨迹曲线。如果将两个坐标图重叠起来，则在两个坐标图上分别作出的同一G(j)曲线也将重合。因此，习惯上把图 51(b
12、)的 G(j)曲线也叫做 G(j)的极坐标图。115图 51 频率特性 G(j)的图示法（a）G(j)的极坐标图示法；（b）G(j)的直角坐标图示法二、典型环节频率特性的极坐标图由第二章已知，一个控制系统可由若干个典型环节所组成。要用频率特性的极坐标图示法分析控制系统的性能，首先要掌握典型环节频率特性的极坐标图。1比例环节比例环节的传递函数为G(s)K所以比例环节的频率特性为G(j)K 十 j0 (513)0je其频率特性极坐标图如图 5-2 所示。其中幅值 M() K。相位移 ()0 0。并且都与 无关，它表示输出为输入的 K 倍，且相位相同。图 52 比例环节频率特性极坐标图2积分环节积分
13、环节的传递函数为G(s) s1所以积分环节的频率特性为(514)201)( jejjG其频率特性极坐标图如图 53 所示，它是整个负虚轴，且当 时，趋向原点 0，显然积分环节是一个相位滞后环节因为 ()-90 0，每当信号通过一个积分环节，相位将滞后 900。116图 53 积分环节频率特性极坐标图3微分环节微分环节的传递函数为G(s)s所以微分环节的频率特性为(515)20)( jejjG其极坐标图如图 54 所示。是整个正虚轴，恰好与积分环节的特性相反。其幅值变化与 成正比：M()，当 0 时， M()也为零，当 时，M()也。微分环节是一个相位超前环节()+90 0。系统中每增加一个微分
14、环节将使相位超前900。图 5-4 微分环节频率特性极坐标图4一阶惯性环节一阶惯性环节的传递函数为 1)(TsG所以一阶惯性环节的频率特性为（516）221)( jjTjG幅频特性和相频特性为 TtgM12)(由式(516)直接可得实频特性和虚频特性为 21)(TIR117并满足下面的圆的方程 221)(1)(IR圆心为 ，半径为 。0,212当 从 0时，M()从 l0；()从 00-90 0，因此，一阶惯性环节的频率特性位于直角坐标图的第四象限，且为一半圆，如图 55 所示。一阶惯性环节是一个相位滞后环节，其最大滞后相角为 900。一阶惯性环节可视为一个低通滤波器，因为频率 越高，则 M(
15、)越小，当 时，幅值 M()已趋近于零。T图 55 惯性环节频率特性极坐标图5二阶振荡环节二阶振荡环节的传递函数为(o1)12)(Ts sG二阶振荡环节的频率特性为(517)2222 )()1()()1()( T jT jjG相应的幅频特性和相频特性为（518） 21)()(T tg) M2据上述表达式可以绘得二阶振荡环节频率特性的极坐标图如图 5-6 所示。由式(518)及图 5-6 可知，当 0 时，M()1，()0 0；在 01 的欠阻尼情况下，当 时， ，频率特性曲线与负虚轴相交，相交处的频率为无阻尼T19)(,2)(M118自然振荡频率 。当 时，M()0，() 180 0。频率特性
16、曲线与T1n实轴相切。图 56 二阶振荡环节频率特性极坐标图图 56 的曲线族表明，二阶振荡环节的频率特性和阻尼比 有关， 大时，幅值M()变化小； 小时，M()变化大。此外，对于不同的 值的特性曲线都有一个最大幅值 存在，这个 被称为谐振峰值，对应的频率 r称为谐振频率。rMr当 1 时，幅相频率特性将近似为一个半圆。这是因为在过阻尼系统中，特征根全部为负实数，且其中一个根比另一个根小得多。所以当 值足够大时，数值大的特征根对动态响应的影响很小，因此这时的二阶振荡环节可以近似为一阶惯性环节。6延迟环节延迟环节的传递函数为G(s) se其频率特性为(5-19)jejG)(相应的幅频特性和相频特
17、性为 M)(1图 57 延迟环节频率特性极坐标图当频率 从 0变化时，延迟环节频率特性极坐标图如图 5-7 所示，它是一个半径为 1，以原点为圆心的一个圆。也即 从 0变化时，幅值 M()总是等于 l，相角()与 成比例变化，当 时，() -。119三、系统的开环频率特性极坐标图在采用频域分析法分析自动控制系统时，一般有两种方法，一种是直接用系统的开环频率特性分析闭环系统的性能。另一种是根据开环频率特性和已有的标准线图求得闭环频率特性，再用闭环频率特性来分析闭环系统的性能。不论是前一种还是后一种方法，都必须首先绘制开环频率特性曲线，而在采用极坐标图进行图解分析时，首先要求绘制极坐标图形式的开环
18、幅相频率特性曲线图。已知反馈控制系统的开环传递函数为 G(s)H(s)，将 G(s)H(s)中的 s 用 j 来代替，便可求得开环频率特性 G(j)H(j)，在绘制开环幅相频率特性曲线时，可将 G(j)H(j)写成直角坐标形式 )jI(Rj )Hj G(或写成极坐标形式 )()()()( jjHjG eMejj jj 给出不同的 ，计算出相应的 、 或者 和 ，即可得出极坐标图中RI相应的点，当 从 0变化时，即可求得系统的开环幅相频率特性图(奈奎斯持图，简称奈氏图)，图中的特性曲线简称为奈氏曲线。例 5-1 试绘制下列开环传递函数的极坐标图示的奈氏曲线 )1.0)()ssHG解 由题给出的开
19、环传递函数 G(s)H(s)可以看成是由一个比例环节 Gl(s)K 10 ；两个一阶惯性环节 和 串联而成。这三个环节的幅相频率特s1)(2 s.)(3性分别为 1.0232 ).0(1.)(01tgj tj essGjK所以系统的开环幅频特性为 22).()(M开环相频特性为 101tgt当取 为若干具体数值时，就可由上两式计算出 和 的值，见表 52。)(M表 52 为不同数值时， 和 的值 0 0.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10)(M10 8.9 7.03 4.4 3.04 2.26 1.76 1.4 1.15 0.97 0.83 0.71 00 29.4 50.7 74.
20、7 88.2 97.7 105.20 111.50 116.80 121.50 125.50 129.301200 0 0 0 0根据上表的数据就可绘出例 51 的奈氏图，如图 58 所示。图 58 例 51 的奈氏图如第三章所述，根据开环系统传递函数中积分环节的数目 v 的不同(v0，l，2)，控制系统可以分为 0 型系统、型系统、型系统、型系统等等。下面将分别给出0 型系统、型系统和型系统的开环频率特性极坐标图。这些典型系统的奈氏图的特性将有助于以后用奈氏图方法分析和设计控制系统。10 型系统的开环奈氏曲线0 型系统的开环传递函数为 )1()( n(m sTKsHGnkmii 其频率特性为(5-20) eM TjKjHGjnkkmii )(1)()( 式中(521)mi nkkinkkmiiTtgtKM1121)()()(由式(5-21)，当 0 时，M(0)K，(0)0 0。当 时，由于 mn，所以 M()0，为坐标原点，为了确定奈氏曲线以什么角度进入坐标原点，就要确定 时的相角 ()，由式(520)、式(5-21)可知，当 时，分子、分母中每一个因子的相角都是 900，故 ()为 )90(90)(90)( nmn例如，设 0 型系统的开环频率特性为
