1、1,结构的动力计算习题课,本章主要内容： 1. 动力计算特点：1）力系中要包括惯性力；2）平衡指瞬间的平衡动平衡。 2. 自由度：为了确定运动过程中任一时刻结构全部质量的位置所需的独立几何参数的数目。 3. 单自由度体系自由振动微分方程：,通解（存在初始位移和初速度）：,4. 结构的自振周期,特性：1）只与结构自身质量和刚度有关，与外部作用无关；2）是结构动力特性的一个重要的数量标志。,2,5、单自由度体系的受迫振动,结构在简偕荷载作用下的振动。,无阻尼,有阻尼,运动微分方程,稳态解,动位移幅值,动力系数,共振时,阻尼作用很大,对于简谐荷载下的无阻尼受迫振动，其质点位移（加速度和惯 性力）与干
2、扰力作同步简谐振动；,对于简谐荷载下的有阻尼受迫振动其质点位移（加速度和惯性力）与干扰力之间存在一个相位差，两者总是不同时达到最大值。,3,当简谐荷载作用在单自由度体系的质点上时，不论是否考虑阻尼，各截面的动内力和动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅值乘以动力系数，按静力方法来计算即可。,阻尼对振动的影响1）考虑阻尼时体系的自振频率减小，周期增大。,当0.2, 可近似取.,2）自由振动的振幅 ae-t 随时间单调衰减，最后停止。,3）试验测定阻尼比,yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅。,4,6. 两个自由度体系的自由振动,刚度法自由振动微分方程：,频率方程或特征方程：,自振频率：,第
3、一主振型,第二主振型,通解：,5,柔度法自由振动微分方程：,频率方程或特征方程：,第一主振型,第二主振型,7. 主振型的正交性,第一正交关系,相对于质量阵正交,6,例1 试确定体系的自由度。不考虑杆件轴向变形影响，未注明刚度杆件均为弹性杆件。,7,例2 计算图示梁的固有频率。,并分析比较其结果。已知弹簧刚度,1,(a),固有频率为,为图a梁的柔度系数。,8,(b),固有频率为：,(c),1,固有 频率,结构固有频率仅与结构自身特性有关，如质量、刚度、边界支承条件等。与外部作用性质、大小无关。,结果对比分析：,9,例3 试证明串联n个弹簧的单自由度体系的周期T,若n个弹簧并联，其固有频率与各单个
4、弹簧固有频率间有什么关系？,串联系统中，st是各个弹簧位移量的叠加。每个弹簧所受拉力均为mg ，故各弹簧位移分别为：,与具有同样质量的各单个弹簧体系的周期Ti,之间具有如下关系：,10,n个并联弹簧系统：,固有频率：,各弹簧位移相等，记为,则根据力平衡条件：,可得：,故,第i个弹簧固有频率：,例4 求图示结构的固有周期和固有频率。已知刚架横梁刚度为无穷,分析：刚架分为三层，层与层之间串联关系，而每层间各柱子之间是并联关系。,大，柱为弹性杆件，不考虑杆件轴向变形的影响。,11,故结构自振周期为,各层间固有频率为,先求,故,再求,1,故,12,求,故结构自振周期为：,结构固有频率为：,最大弯矩图发
5、生在荷载开始作用后多少时间？,解：1. 求自振频率,13,2. 求最大弯矩图,突加荷载作用下，动力系数,，最大弯矩,用剪力分配法求作最大弯矩图,柱水平剪力按其抗弯刚度分配,故有,因此,3. 求 发生时刻,14,例6 求图示结构的自振频率和相应的振型。,解：采用柔度法计算。,将其代入频率方程中，得：,展开并解方程，得：,15,第一、第二自振圆频率分别为：,第一主振型,第二主振型,讨论：,则,有：,第一主振型,第二主振型,16,例7 试求图示结构的自振频率。,解：,由于结构体系对称，可划分为正对称体系和反对称体系计算。,（1）正对称情况,17,特征方程为：,展开求解，得：,相应的自振频率为：,(2) 反对称情况,18,特征方程为：,解得：,相应的自振频率为：,将各频率按从小到大顺序排列，即得到原体系的自振频率谱为,
