1、5-2 滑轮组上悬挂有质量为 10kg 的重物 1M和质量为 8kg 的重物 2M，如图所示。忽略滑轮的质量，试求重物 2的加速度 2a及绳的拉力。解：取整个系统为研究对象，不考虑摩擦，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为重物的重力 g1,。假设重物 的加速度 的方向竖直向下，则重物 1的加速度a竖直向上，两个重物惯性力 1,IF为：11aMFI22aI(1)该系统有一个自由度，假设重物 有一向下的虚位移 2x，则重物 1的虚位移 1x竖直向上。由动力学普遍方程有： 02121 FxgxWII（2）根据运动学关系可知： 21x21a（3）将(1)式和(3)式代入(2) 式，可得对于任意
2、02x有：)/(8.412smgMa方向竖直向下。取重物 为研究对象，受力如图所示，由牛顿第二定律有：22aTg解得绳子的拉力 )(1.56N。本题也可以用动能定理，动静法，拉格朗日方程求解。5-4 如图所示，质量为 m 的质点悬在一线上，线的另一端绕在一半径为 R 的固定圆柱体上，构成一摆。设在平衡位置时，线的下垂部分长度为 l，且不计线的质量，试求摆的运动微分方程。解：该系统为保守系统，有一个自由度，取 为广义坐标。系统的动能为： 2)(21RlmT取 0为零势位，则系统的势能为： cos)(sinlgVFI1M2gTa2M1gM2gFI2 x2 x1拉格朗日函数 VTL，代入拉格朗日方程
3、有：0)(Ldt整理得摆的运动微分方程为： sin)(2gRl5-6 质量为 m 的质点在重力作用下沿旋轮线导轨运动，如图所示。已知旋轮线的方程为sin4b，式中 s是以 O 为原点的弧坐标， 是旋轮线的切线与水平轴的夹角。试求质点的运动规律。解：该系统为保守系统有一个自由度，取弧坐标 S为广义坐标。系统的动能为：21SmT取 0S为零势位，系统的势能为： ghV由题可知 bS4sind，因此有：h8d2s0则拉格朗日函数： 221SbmgVTL代入拉格朗日方程： 0)(Ldt，整理得摆的运动微分方程为： 04Sbg，解得质点的运动规律为： )21sin0tbgAS，其中 0,A为积分常数。5
4、-13 质量为 m 的质点沿半径为 r的圆环运动，圆环以匀角速度 绕铅垂直径 AB 转动，如图所示。试建立质点的运动微分方程，并求维持圆环匀角速度转动所必需的转矩 M。解：1.求质点的运动微分方程圆环（质量不计）以匀角速度 绕铅垂轴 AB 转动，该系统有一个自由度，取角度 为广义坐标。系统的动能为： 22)sin(1)(rmrTh取 0为零势位，系统的势能为： )cos1(mgrV则拉格朗日函数： )cos1()sin(2122 mgrmrVTL代入拉格朗日方程：0)(dt，整理得质点的运动微分方程为： sin)co(2rg2.求维持圆环作匀速转动的力偶 M如果求力偶 ，必须考虑圆环绕铅垂轴
5、AB 的一般转动。因此解除 “圆环绕铅垂轴AB 匀速 转动” 这一约束，将力偶视为主动力。此时系统有两个自由度，取角度 和圆环绕轴 AB 的转角 为广义坐标，系统的势能不变，动能表达式中以 代替 ，则拉格朗日函数为： )cos1()sin(2122 mgrmrVTL力偶 M为非有势力，它对应于广义坐标 和 的广义力计算如下：取 0,，在这组虚位移下力偶 M所作的虚功为 0W，因此力偶 M对应于广义坐标 的广义力 MQ；取 ,，在这组虚位移下力偶 所作的虚功为 ，因此力偶对应于广义坐标 的广义力QM；代入拉格朗日方程0)(MLdt，整理可得：sinrg代入拉格朗日方程QdtM)(，整理可得：mr
6、r2sinsin2圆环绕铅垂轴 AB 匀速 转动，即： 0,，代入上式可得：si2rM5-14 如图所示，质量为 m 的物体可绕水平轴 21O转动，轴 21又绕铅垂轴 OC以匀角速度 转动。物体的质心 G 在垂直于 21的直线上， lG3。设 和 G3是物体过3O点的惯量主轴，转动惯量为 J和 ，物体对另一过 点的惯量主轴的转动惯量为 3J，试求物体的动能表达式并建立物体的运动微分方程。解：以该物体为研究对象，有一个自由度，取 GO3和 OC 的夹角 为广义坐标。若以框架OC21为动系，则物体的相对运动是以角速度 绕轴 21的定轴转动，牵连运动是以角速度 绕 轴的定轴转动，物体的绝对角速度 a
7、是 和 的矢量之和。为了方便起见，以 21为 x轴， G3为 y轴，如图建立一个固连在物体上的坐标系，则该刚体的角速度 a可表示成： a zji sinco由于坐标系 zyxO3的三个坐标轴为过 3O点的三个惯量主轴，则系统的动能为： )sin()cos(212322JJT取 0为零势位，系统的势能为： )cs1(mglV则拉格朗日函数： )cos1()sin()cos(223221 mglJJTL代入拉格朗日方程： 0)(dt，整理后，可得物体的运动微分方程为： sincosin)(321 mglJJzyxzyGO3垂直于 O1O2 的平面5-17 重 1P的楔块可沿水平面滑动，重 2P的楔
8、块沿楔块 A 的斜边滑动，在楔块 B 上作用一水平力 F，如图所示。忽略摩擦，角 已知，试求楔块 A 的加速度及楔块 B 的相对加速度。解：取楔块 A，B 构成的系统为研究对象，该系统有二个自由度，取楔块 A 水平滑动的位移 x，以及楔块 B 相对于 A 的沿斜面滑动的位移 s为广义坐标。若以楔块 A 为动系，楔块 A 的速度 v，楔块 B 的速度 Bv，以及 B 相对于 A 的相对速度满足如下的矢量关系（方向如图所示）： rA系统的动能为： )sin()co(212212 sxgPvmTBA221 1)( Pgx取过 x轴的水平为零势面，系统的势能为： sin2PV则拉格朗日函数： sin2
9、1cos1)(1 222 PgxPgxgTL 将水平力 F视为非有势力，它对应于广义坐标 和 的广义力计算如下：取 0,sx，在这组虚位移下力 F所作的虚功为 xFW，因此力 对应于广义坐标 的广义力QFx；取 0,s，在这组虚位移下力 所作的虚功为 ssco，因此力 F对应于广义坐标 s的广义力coFs；代入拉格朗日方程FQxLdt)(，整理可得：gsPco(21（1）代入拉格朗日方程cos)(dtFs，整理可得：gsx)incco222（2）xsAvBr由方程(1)和方程(2) 解得：楔块 A 的加速度： sinsicon21gPFxa，方向水平向右。楔块 B 的相对加速度： sr )si
10、n(c212，方向沿斜面向上。5-18 在光滑水平面上放一质量为 m 的三角形楔块 ABC，质量为 1m，半径为 r的均质圆柱沿楔块的 AB 边滚动而不滑动，如图所示。试求楔块的加速度及圆柱的角加速度。解：取楔块 ABC 和圆柱构成的系统为研究对象，该系统为保守系统，有二个自由度，取楔块水平滑动的位移 x，以及圆柱的转角 （A 点 =0）为广义坐标。若以楔块为动系，楔块的速度 Av，圆柱轴心 O 的速度 ov，以及轴心 O 相对于 A 的相对速度满足如下的矢量关系（方向如图所示）： rAO圆柱在斜面上作纯滚动有： rvO系统的动能为： 21212 )(rmvmTOA 214sincos(1 r
11、x2112143)(rr取过楔块上 A 点的水平为零势面，系统的势能为： sin1rgmV则拉格朗日函数： sin43cos)(2 121121 rgmrxrmxTL 代入拉格朗日方程0Ldt，整理可得：cos)(1rxm（1）代入拉格朗日方程0)(dt，整理可得：xAvOrvsin2co3gxr （2）由方程(1)和方程(2) 解得：楔块的加速度： gmxa21cos)(3i，方向水平向左。圆柱的角加速度： grcos2)(3in1，顺时针方向。5-21 系统由定滑轮 A 和动滑轮 B 以及三个重物组成，如图所示。重物 321,M的质量分别为 321,m， 32321,m，滑轮的质量忽略不计
12、。若初始时系统静止，试求欲使 M下降，质量 和 之间的关系。解：以三个重物和滑轮构成的系统为研究对象，该系统为保守系统，有二个自由度（如图所示） 。设重物 1的坐标为 1x，重物 2M相对于滑轮 B 的轮心的位置为 2x。系统的动能为： 2132121 )()(2xmxmT 213223( xx取 021x时为系统零势能位，则任意位置系统的势能为： )()(213121 xgmxgmV23(拉格朗日函数： 21323221321 )()()( xmxxVTL gmgm代入拉格朗日方程0)(1xLdt，整理可得： 0)()()( 3212321321 g（1）x1x2代入拉格朗日方程0)(2xL
13、dt，整理可得： )()()( 3213232gmmx（2）由方程(1)和方程(2) 解得重物 M的加速度： gxa323211 4)(， 初始时刻系统静止，若使 1下降则 01a，即：3214m5-22 重 1P的平台 AB 置于水平面上，物体 M重 2P，弹簧的刚度系数为 k，如图所示。在平台上施加水平力 F，忽略摩擦。如果系统从静止开始运动，此时弹簧物变形，试求平台和物体 M的加速度。解：取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度，取平台的水平坐标 x，以及物体 M相对于平台的坐标 s（弹簧原长为坐标原点）为广义坐标。系统的动能为： 221)(sxgPT22211sPg取弹簧未变形时势能为
14、零，则系统的势能为： 2ksV则拉格朗日函数： 22221 1)( ksPgsxPgTL 将水平力 F视为非有势力，它对应于广义坐标 和 的广义力计算如下：取 0,sx，在这组虚位移下力 F所作的虚功为 xFW，因此力 对应于广义坐标 的广义力 QFx；取 ,，在这组虚位移下力 所作的虚功为 0s， 因此力 对应于广义坐标 s的广义力 s；代入拉格朗日方程FxLdt)(，整理可得：xs0lFgsPx21)( （1）代入拉格朗日方程0(sQLdt，整理可得： 2kgsx（2）由方程(1)可得： sPFx)()(2121（3）代入方程(2)得： FgkssP22121)(（4）解微分方程（4）得：
15、 )(cos)(2121PkptkFs，其中： 212)(Pgp。求导得： tFsco1代入方程(3)可得：平台的加速度： )cos(12211 ptPgxa，方向水平向右。物体 M 的加速度： )cos(212 ptgFsxa，方向水平向右。5-27 质量为 1m的滑块 1可沿光滑水平面滑动，质量为 2m的小球 2M用长为 l 的杆 AB 与滑块连接，杆可绕轴 A 转动，如图所示。若忽略杆的重量，试求系统的首次积分。解：取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度，取滑块的水平坐标 x，以及杆 AB 与铅垂方向的夹角 为广义坐标。系统的动能为： 221BAvT BAvAv)sin()cos(21
16、22llxm221 1)( m设 0时势能为零，系统的势能为： )cos(2glV拉格朗日函数： )cos1(21cos1 222 gllxlxmTL 拉格朗日函数中不显含广义坐标 和时间 t，存在循环积分和广义能量积分，即：)(21lx常数 )cos1(1cos2 222 glmlxxVT 常数5-28 图示质量为 2m的滑块 B 沿与水平成倾角 的光滑斜面下滑，质量为 1的均质细杆OD 借助铰链 O 和螺旋弹簧与滑块 B 相连，杆长为 l，弹簧的刚度系数为 k。试求系统的首次积分。解：取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度，取滑块 B 沿斜面的坐标 s，以及杆 OD 与铅垂方向的夹角 为
17、广义坐标。杆 OD 作平面运动，有： CBv则系统的动能为： 22121)(BCvmlvmT 22124)cos(sin smll 1121 6)(ll设 09,s时势能为零，系统的势能为： 2211 sin)(cos2kgmlgmV拉格朗日函数 VTL中不显含时间 t，存在广义能量积分，即： 21121 6)cos()( lmls2in)(cokgmlg常数BvCBvC 5-29 半径为 r、质量为 m的圆柱，沿半径为 R、质量为 0m的空心圆柱内表面滚动而不滑动，如图所示。空心圆柱可绕自身的水平轴 O 转动。圆柱对各自轴线的转动惯量为2m和20R。试求系统的首次积分。解：以圆柱和圆筒构成的系统为研究对象，该系统有二个自由度，取 ,为广义坐标。系统的动能为： 22120 )(1mrvRmTO其中： )(1rvO，圆柱相对于圆筒作纯滚动，由圆柱轴心 1O以及圆柱上与圆筒相接触的点的速度关系，可得：)(1Rr代入动能有： RrmrmT )(21)(43)2(4120 设 为零势位，系统的势能为： )cos1)(rRgV，拉格朗日函数： )cos1)()(21)(43)2(420 rRmgrRrRmTL 拉格朗日函数中不显含广义坐标 和时间 t，存在循环积分和广义能量积分，即： 020 )(1prRm 02220 )cos1)()(1)(4 ErRmgrRVT
