1、- 62 -第 5 章 粘性流体动力学基本方程组5.1 粘性流体动力学基本方程流体运动所遵循的规律是由物理学三大守恒定律规定的，即质量守恒定律，动量守恒定律和能量守恒定律。 这三大定律对流体运动的数学描述就是动力学基本方程组。 但这个方程组是不封闭的，要使其封闭还需加上辅助的物性关系等。 一般情况下，现在还求不出这个方程组的解析解，但研究这个方程组的性质却具有极其重要的意义，因为所有的流动现象都是由这个方程组所规定的。 粘性流动的一个基本特征是流动的有旋性。 因此研究涡的产生、输运和扩散就是很重要的了。 这些性质也都是由流体动力学基本方程组所规定的。 对流体运动的描述有两种方法，即拉格朗日法和
2、欧拉法；对基本定理的数学表述也有两种方法，即积分形式和微分形式。 本章将采用欧拉法和微分形式来表述基本方程。 5.1.1 质量守恒定律连续方程连续方程是质量守恒定律在运动流体中的数学表达式。 由于不涉及力的问题，因此粘性流体力学与非粘性流体方程完全相同，在非粘性流体中所做的推导和讨论在这里全部有效。 考察流体通过一微元体的界面所引起的微元体内质量的变化问题。 根据质量守恒定律，单位体积上通过微元体界面流出的质量流量即矢量 u的散度 ，它应等于微元体内单位时间单位体积所减少的质量：0t(5.1.1)展开后得： uvwtxyz(5.1.2)连续方程表示单位时间内流人流出微元体的质量必与密度变化相平
3、衡。 对于定常流，此式可变为： 0uvxyz(5.1.3)(5.1.4)对于不可压缩流，(5.1.2)式变为： 0uvwxyz即 ix= 0 (5.1.5)由张量分析的知识可知， iu是应变量张量的主对角线上三元素之和，恒为常数，表示微元体的体积变化率。 式(5.1.5)表示总的体积变化率为零，与流体的不可压缩一致。 - 63 -5.1.2 动量守恒定律运动方程粘性流体的运动方程是动量守恒定律对于粘性流体运动规律的数学表述，可由牛顿第二定律推出。 以微元体为分析对象则可表述为：在惯性系中，流体微元体的质量和加速度的乘积等于该微元体所受外力的合力。 对于流体运动应考虑两类外力：一为彻体力（用 F
4、来表示） ，它是作用在微元体上所有质量上的力，如重力；另一类为表面力（用 P来表示） ，它是作用在微元体界面上的力，如压力、摩擦力等。 运动方程可写成如下向量形式： DtuP(5.1.6)其中微分符号 ()iuttx(5.1.7)称为物质导数或随体导数，它所代表的是微团的某性质对时间的变化率。 例如， Dtu是该微团的速度 u随时间的变化率，即加速度，亦即 D()tuu(5.1.8)从欧拉法的观点看，此式右端第一项由流动的非定常性引起，称为当地加速度；右端第二项由流场中速度分布的不均匀性引起，表示经 时间后由于微团空间位置的变化而引起的速度的变化，称为迁移加速度。 式(5.1.6)中的彻体力
5、F可表示成： xyzFijk(5.1.9)在这里彻体力可以看成是已知的外力，而表面力则和流体速度场的变形情况有关。 它决定了流体的应力状态。 所以我们分别研究流体的应力和应变变化率后，将建立它们之间的关系。 为了写出表面力的式子，我们从流体中取出正六面微元体(图 5-1)。 它的左下方的点的坐标为(x ，y，z)。 对于垂直于 x 轴的两个微元面上分别作用了如下的合应力( 应力即单位面积上的作用力) ： xP和 dx图 5-1 微元体的应力张量这里的注足 x 表示 x 方向上的应力向量，则作用在垂直于 x 轴的微元面上的应力的合力为：(d)ddx xyzzyzPP(5.1.10)同样可得作用在
6、垂直于 y 轴和 z 轴的微元面上的应力的合力分别为：- 64 -dyxzP， dzxyP于是可得作用于单位容积的表面力的合力向量为 (d )/dyx zyxz zPP(5.1.11)式中 x， y和 z都是向量，还可以把它们沿三个坐标方向分解，即分解为正应力 和平行于各微元面的切应力 。 例如，作用于与 x 轴垂直的微元面上的应力 xP可分解为（图 5-1）：xyzPijk(5.1.12a)同理有 y (5.1.12b)zxzyzij(5.1.12c)式中注足是这样规定的：正应力 的注足代表应力的方向，切向力 的第一个注足代表与切应力所在平面垂直的方向，第二个注足代表切应力的方向。 例如，
7、xy表示作用在与 x 轴垂直的平面上沿 y 向的切应力。 由式(5.1.12)可见，要完全描述微元体上应力 P需要九个标量。 这九个标量就组成了应力张量，表示为zxyxzyxz(5.1.13)容易证明这个张量是对称的，由式(5.1.11)，(5.1.12)和(5.1.13)可写出如下的单位容积的表面力公式。 yxxzPix 方向分量xyzyjy 方向分量 (5.1.14)yzxzzkz 方向分量将(5.1.14)式代入 (5.1.6)式则得：yz面上的量zx面上的量xy面上的量- 65 -DyxxzxyzyyzxzzzuFtvtwt(5.1.15)此方程是牛顿第二定律的严格表述，没有任何假设。
8、 将广义牛顿粘性应力公式：2divijijijijspu(5.1.16)代入(5.1.11)式，并运用张量分析中有关应力张量公式和应变变化公式，可得到： j jii ijiijjiiuuuFtxxx(5.1.17)或 23j jii ijiijjiiputxxx(5.1.18)展开得： D2div3xuuFt xyxwz(5.1.19a)2Ddiv3yvpuFt yxyxvz(5.1.19b)2div3zwpwuwFtzxzxvyy(5.1.19c)这就是粘性流体的运动方程，即纳维斯托克斯方程。 由于一般情况下 是温度的函数，所以方程很复杂。 对于常用的情况，可以不考虑 随空间位置的变化，于是
9、 可作为常量考虑写到导数之外。 方程可进一步改写。 例如，对方程的第一个式子可写为： 2222D3xupuuvwFtxyzxyxz2div3x(5.1.20)采用爱因斯坦约定方法方程可进一步写成： 223jiiji ii iuupFtxxx(5.1.21)或- 66 -2() ()3pt uFu (5.1.22)对于不可压缩流体，由于连续方程 0ix则运动方程成为： 21iiji iiupFutx(5.1.23)或 2()t (5.1.24)由矢量公式： ()()2iuu(5.1.25)可将公式(5.1.22)和(5.1.24) 分别改写为： 2()3i pt Fu(5.1.26)212iut
10、 (5.1.27)上式通常称为葛罗米柯兰姆型运动方程。 其中 为涡量。 yx0BuAyxpAFB图 5-2 两微元体之间的作用力由公式(5.1.14)、(5.1.17) 、(5.1.18)和(5.1.20)可见，与理想流体运动方程相比，粘性流体运动方程增加了粘性应力项。 以图 5-2 所示的以不同流速运动的两微元体为例，对于理想流体，通过界面 F，微元体 A只对微元体 B作用了压力 p；而对于粘性流体，除正应力 y外，微元体 A还对微元体 B作用了粘性切应力 yx，而且正应力 y的大小也不等于压力 p，由牛顿公式可以得到 2div3y pu这些就是粘性引起的差别。 应当指出，尽管在粘性流体中几
11、乎处处存在粘性应力，但并不是在任何地方它都重要。 由公式(5.1.14)、(5.1.17)、(5.1.18)和(5.1.20) 可见，只在速度梯度变化剧烈的地方粘性应力才起重要作用。 - 67 -5.1.3 能量守恒粘性流体的能量方程在这一节中主要分析粘性流体中能量的转换和输运过程，特别是粘性应力在这过程中所起的作用。 1.动能方程首先分析描写动能变化的关系。 将式(5.1.19)的三个分量分别乘以对应的分速度后相加，可得：22D1xyzxyzyzzyzxzuvwuFvwut (5.1.28)采用取和约定，则上式可记为： D112i iij jiixxiuFuFut (5.1.29)注意 ji
12、ji ii jxx则(5.1.29)式可进一步写为： D112i ji jiii ix jjj jmumpu uFt xxxi ji jiiix jup(5.1.30)本式左端是单位质量流体动能的物质导数，表示流体微团单位质量的动能随时间的变化率。 右端第一项是单位时间内彻体力对单位质量所作的功。 右端第二项是单位时间内粘性力对运动的单位质量流体所输运的机械能。 由图 5-3 可见，上一层流体通过粘性剪切力对微元体所作的功为： ddyxuzy而微元体对下层流体所作的功则为 yzu，所以微元体净得能量为：dddyx yxyx yxuzuz yxu(5.1.31)- 68 -图 5-3 粘性力输运
13、机械能则单位体积和单位质量在单位时间内得到的能量分别为 yxu和 1yx。 可见，在这里粘性剪切力起了输运能量的作用。 它依次把上一层流体的部分能量输送给下一层。 这种输运能量的方式在理想流体中是不存在的。 对于粘性正应力也可作类似的计算。 不过它不是不同流层之间的能量输运，而是前后微团对微元体所作功的差别。 将粘性输运功项进行容积积分，则由斯托克斯定理可得 ddjijijvAmunx(5.1.32)其中 jn微元面 dA的单位法向矢量。 若积分域为封闭容器，则壁面上 0iu，于是由右端可见，整个容积积分为零。 这表明粘性力输运能量并不改变容积内能量的总和，它只改变能量在空间的分布。 正是在这
14、个意义上称之为输运项。 方程(5.1.30)右端第三项是单位时间内压力对单位质量流体所作的功，即流动功。 右端第四项中的 iux是体积膨胀率，它与压力 p 的乘积代表单位时间的膨胀功。 右端第五项是单位时间内粘性力所作的变形功。 它与第二项有原则的不同，第二项是通过粘性力所完成的能量输运，它把机械能从这一部分流体输运给另一部分流体，而能量的形式未发生变化。 第五项则不同，它类似于固体力学中塑性变形功，它是流体对抵抗变形的粘性力所作的功，它把流体运动的机械能不可逆转的转换为热量而消耗，所以称为耗散项。 耗散函数为：- 69 -2223 321122 223 31 12ijumxuuxxux x2
15、223 321122233113uuuxxx (5.1.33)由此式可见，耗散项总是正的。 它在空间的任何位置都将机械能耗散为热能，它属于“源”项（对机械能而言它是负的能源） ，而不属于输运项。 耗散函数 可用张量形式写出： 2223ji ijiuuxx(5.1.34)耗散函数 表示单位时间单位体积内机械能耗散成的热能。 对于不可压流， 0iux，则得22jijiux(5.1.35)单位质量的耗散率 可写为： 223ji ijiuuxx(5.1.36)不可压缩流为： 22jijix(5.1.37)可见，耗散率与应变变化率的平方成正比。 对于层流运动，只在边界层内靠近壁面处有大的速度梯度，因此产
16、生大的耗散，而在其他区域耗散则很小。 对于湍流运动，则不仅在边界层内紧靠壁面处，而且在两个很靠近的旋涡之间都可以有很大的应变变化率，因此产生很大的耗散。 根据以上分析，可以归结如下：流体微团动能沿迹线的变化率取决于单位时间内彻体力所作的功、通过粘性力和压力与相邻微团的机械能交换、膨胀功以及粘性力对机械能的耗散等因素。 在任何情况下，粘性耗散总使动能减小。 2.内能方程如 e代表单位质量流体的内能，则单位时间单位体积中微团内能的增量为- 70 -Det xq xqd 此能量的增量来自三个方面：第一，来自 吸收热辐射、化学反应及燃烧等产生的外加热。 记单位时间内由此加给单位质量流体的热能为 Q。
17、第二，来自热传导，设单位时间内从微元体左侧的单位面积上流入的热量为 xq，则通过与 x 轴垂直的两个微元面流出流入的热量差为dddxxqyzzyz则单位时间单位容积内减少的热量共为 yxizqx第三，来自应力张量所作的变形功，即 iiiijjuumpx考虑到流出微元体的热量总是使其内能减少，所以可得 D1iiqeQt x(5.1.38)可见，耗散项的作用在于消耗机械能以提高内能，而膨胀做功则使内能降低。 由于耗散函数 体现了粘性力将机械能耗散为热能这一不可逆的作用，所以它应与熵联系起来。 对于完全气体，熵增 S与内能变化有如下关系： D1SeTptt(5.1.39)而由连续方程可得 1D1ii
18、 iuxxtt(5.1.40)将(5.1.38)、(5.1.40)代入(5.1.39)得到 DiqSTQt(5.1.41)可见，耗散的作用总是使熵增加的。 根据焓和内能的关系 /hep(5.1.42)考虑到公式(5.1.42)，则由内能方程可得焓方程 D1DiqpQtxt(5.1.43)引入定容比热 vc和定压比热 pc，有如下关系 vpTeh(5.1.44)并利用傅立叶热传导定律： qkT- 71 -则式(5.1.38)和(5.1.43) 可分别写为 D1vTpcQkTtu(5.1.45)和 1Dpt t(5.1.46)当温度变化不大时，热传导系数 k 可近似看成常数，则(5.1.45)和(
19、5.1.46) 式变成22DvTTpcQtxyzu(5.1.47)和 221Dpkctxyzt(5.1.48)对于液体，或者低马赫数运动的气体，可看成不可压缩的， 0u，且 vpc，则(5.1.47) 和(5.1.48)式可归纳为 22DpTkTcQtxyz(5.1.49)对于低速流，耗散项 也很小。 由于它与典型速度平方成正比，因而可以忽略，得到 22pkctxyz(5.1.50)3.总能量方程动能方程和内能方程分别从机械能和热能的角度研究了粘性流体运动过程中能量的传递和转换问题。 下面分析总的能量平衡关系。 将(5.1.30)和(5.1.38)式相加得： D112i ji ii ixmup
20、uqeQFt xx(5.1.51)右端最后一项为： Dipuxtt代入上式则得到： D112i jii ixmuuqphQFt xt(5.1.52)其中 /peh，是单位工质的焓。 此式就是粘性流体的能量方程，其左端为总焓的变化率，它取决于右端各项的总和。 与理想流体相比，粘性流体的能量方程(5.1.52)多了一项 jiux。 这项的存在说明，即使没有外热、热传导和彻体力做功等项，粘性流体微团的总焓沿迹线也是变化的，这是因为粘性应力能够在相邻迹线之间输运能量。 从(5.1.52)式还可以看出，式中并不显式地包含粘性耗散函数，这是因为粘性耗散仅仅引起能量形式的改变，即是说，它将所耗散的机械能都以
21、热能的形式加到了微团中，从形式看并没有引起微团总能量的变化。 - 72 -但若考虑到由于粘性耗散的存在而改变了整个流场的内能分布，则与此有密切联系的热传导的情况也将改变，即 ixq项将有所变化，也会改变微团的总焓。 所以，粘性耗散虽然不显式地影响总的能量平衡，但它的影响仍然隐含在里面。 5.2 方程组的封闭性所谓封闭性问题（closure problem）是指方程组所具有的方程数目是否等于所出现的未知函数的数目的问题。 只有当这两者相等时，方程组的解才可能唯一存在，这是一般的数学原则。 引入广义牛顿粘性摩擦公式和关于体积粘性系数 的假设后，流体动力学方程组所包含的方程为质量方程、动量方程和能量
22、方程；所包含的未知数有 、 u、 F、 p、 、 h和 q，共八个（这里把矢量作为一个量看待） ，而方程数目仅三个，因此还需补充其他假设条件和物理关系式。 通常假设彻体力 F和外热 Q是已知的。 我们需要再建立热力学参数之间和它们与单位面积的热流密度矢量 之间的关系。 对处于不同条件下的不同工质，目前还未能找到联系各热力学参数之间的普遍实用关系式。 对于空气等气体，常采用完全气体假设，它们满足如下的状态方程和热焓关系： pRThc式中 pc定压比热容R气体常数，若温度变化不大，可将它们取为常数。 通常采用傅立叶定律计算热流密度矢量 q。 而对热传导系数 k和粘性系数 则可采用公式： 201.5
23、00201.500ssTkTk(5.2.1)如果温度变化不大，也可设其为常数。 利用以上的假设和关系，就可使可压缩粘性气体动力学方程组封闭。 能量方程既可用内能方程，也可用热焓方程或总焓方程对于不可压缩流体，密度 为已知的常数，所以由质量方程和动量方程已构成一个关于压力 p和速度u的封闭方程组，即可由此解出压力和速度后再由能量方程求解温度。 由于不可压缩流的能量方程并不与质量方程和动量方程一道联立求解，所以称为非耦合的；对于可压缩流，质量方程、动量方程和能量方程则必须联立求解，称为耦合的。 5.3 方程的数学性质在前面我们已经推导出粘性流体流动的基本方程组，方程组是二阶非线性偏微分方程。 对于
24、非线性偏微- 73 -分方程，在一般情况下都是使用数值分析方法去求解的。 对于一个具体的问题，哪个数值分析方法最适用，是取决于控制此流动的偏微分方程的类型的。 根据偏微分方程理论，可按方程组的数学性质将其分为不同的类型。 这是因为定解条件的提法、解的性质以及数值求解过程的基本方式都是由方程的类型决定的。 一般的二阶偏微分方程可表示为： 222ABCDxy(5.3.1)式中系数 A、 B、 C和 D可能是 x、 、 、 和 的非线性函数，但不包含 的二阶偏导数。 此方程的类型可由判别式 24来判定 2240,BAC方 程 为 椭 圆 型方 程 为 抛 物 型方 程 为 双 曲 型由此看出：拉普拉
25、斯方程 20xy(5.3.2)属椭圆型方程。 波动方程 2(5.3.3)属双曲型方程。 扩散方程 2Atx(5.3.4)属抛物型方程。 用特征线理论分析这三种方程：双曲型方程具有一对实特征曲线；抛物型方程的一对实特征曲线退化为一条特征曲线；椭圆型方程没有特征曲线。 不同类型的方程所具有的不同性质可由解的依赖域与影响域之间的关系反映出来。 若求解域为 R，其边界为 B，所谓域 R 中某点 P 的依赖域是指边界 B 上的一个域，在该区域中点 P 处解的值依赖于该区域上每一点的函数值，而与边界 B 上该区域外任何点处的值无关。 图 5-4 中边界B 上用符号“+ ”画出的部分表示点 P 的依赖域。
26、图 5-4 三类典型方程 P 点的依赖域(a)椭圆型 (b) 抛物型 (c) 双曲型- 74 -一般情况下，椭圆型方程具有这样的性质，即任何一点的依赖域是一个完全包围此点的封闭曲线，如图5-4(a)。 对于抛物型和双曲型方程则不是这样，某一点的依赖域范围由通过该点的特征曲线与边界 B 的交点决定。 图 5-4 和图 5-5 上画的特征线都是直线，但非线性方程的特征线不一定是直线。 图 5-5 三种典型方程的影响域（用阴影表示）（a） 椭圆型（b）抛物型 （c）双曲型点 P 的影响域是 R 中的一个区域，在该区域内方程的解受点 P 的解的影响。 图 5-5 阴影部分表示点 P 的影响域。 可见，
27、对于椭圆方程，一点的影响遍及整个区域，而整个区域也会影响任何一点的状态。 对于抛物型方程，P 点的影响只涉及 P 点“以后”或“下游”的半无限区域。 而双曲型方程的影响域则是由过点 P 的两条特征线所界出的“下游”区域。 纳斯斯托克斯方程组的分类和数学性质虽然原则上可以偏微分方程组的特征理论来研究，但具体分析很复杂，目前还没有完全解决，这里主要从物理上讨论这一问题。 当粘性趋于零时，纳斯斯托克斯方程组退化为欧拉方程组。 对于无粘定常的理想气体流动，在亚声速时扰动可以传遍整个空间，而在超声速时扰动的传播则只能局限在马赫锥范围内。 这种物理上的本质差别在数学上的表现为：对于描述无粘定常的流体动力学
28、方程组，在亚声速流动时没有实特征曲面，归属于椭圆型方程；在超声速流动时则存在实特征曲面，归属于双曲型方程。 当粘性很大，使平流项 ijux和压力梯度项都可忽略时，纳斯斯托克斯方程退化为扩散方程，在多维情况下可写成： 2iit(5.3.5)这是典型的抛物型方程。 在时刻 0，空间内某一点发生的扰动在 0t时即可传遍整个空间，对于 0t的整个空间也都受影响，但其影响不能上溯到 t的状态。 即是说，其影响域是以 t等于常数的超平面为界面，此即其特征曲面。 在一般情况下（不属于上述的粘性特别小或特别大的极限情况） ，纳斯斯托克斯方程组应兼有欧拉方程组和扩散方程的性质。 即非定常可压纳斯斯托克斯方程组属
29、于抛物双曲混合型，或称为不完全的抛物型。其抛物属性是指在动量和能量方程中含有二阶导数项，即粘性和热扩散项；其双曲属性对应于非定常欧拉方程组。 对于定常可压情况，就其存在扩散项而言，它具有椭圆属性。 当粘性项小时这种属性更强。 对于定常不可压缩流，方程组为椭圆型，对于非定常不可压缩流，方程组为抛物型。 现以高雷诺数定常超声流为例定性说明纳斯斯托克斯方程组所具有的上述双重属性。 由动量方程和能- 75 -量方程都可看出，粘性和热扩散项的大小不仅取决于粘性系数和热扩散系数本身，而且还和当地的 2iu和2T等有关。 通常，边界层和激波厚度以外的区域中的 2iu和 T都很小，所以在这些区域中忽略粘性和热
30、传导所得到的结果与实际流场几乎没有差别。 从这个意义上讲，纳斯斯托克斯方程仍保留有欧拉方程的性质。 在边界层和激波厚度内则不同，这些区域内 i和 很大，粘性和热传导的作用不能忽略，边界层和激波的存在，特别是它们的相互作用，将或多或少地影响整个流场，这正体现了定常情况下方程组的椭圆性质。 严格来讲，流场中的每一点都有上述双重属性，只是不同的区域，不同的属性有强弱不同的表现。 5.4 初始条件和边界条件根据现在的一般看法，前面导出的纳斯斯托克斯方程组正确反映了诸如空气和水等典型流体的运动规律，但是仅由纳斯斯托克斯方程组本身还不能确定流动的具体状态，因为流动的状态还与初始情况和边界情况有关。 即为了
31、从基本方程组得到适合于具体问题的确定解，必须对基本方程组补充确定的条件。 一般包括初始条件和边界条件。 定解条件的规定应根据方程的类型而确定。 以拉普拉斯方程为代表的椭圆型方程只能规定边界条件；以扩散方程为代表的抛物型方程应规定一个初始条件和边界条件；以波动方程为代表的双曲型方程除边界条件外还应规定两个初始条件。 对于典型的线性方程，为保证适定性所要求的定解条件的提法问题已完全解决了；但对于非线性的纳斯斯托克斯方程组，这一问题并没有完全解决，也没有处理这一问题的完整理论，这与至今未能完全认识纳斯斯托克斯方程组的数学性质有关。 为了规定定解条件，只能依靠物理方面的理由，然后依靠已知的数学结果和对
32、问题的正确思考和判断。 5.4.1 初始条件在初始时刻，方程组的解应等于该时刻给定的函数值。 在数学上可以表示为在 0t时， 1230123(,)(,)xtxvvpp1230123,t()()TxTx式中 0v、 p、 0、 为 0t时刻的已知函数。 对于定常流比较复杂，对椭圆方程无需给定初始条件，而对抛物型与双曲型方程仍需给初始条件。 5.4.2 边界条件在运动流体的边界上，方程组的解所应满足的条件称为边界条件。 边界条件随具体问题而定，一般来讲可能有以下三种情况：边界为固体壁面(包括可渗透壁面)、不同流体的分界面(包括自由液面、气液界面、液液界面) 及流动的入口和出口断面。 下面分别予以讨
33、论。 1.流体与固体接触面上的边界条件当固体壁面不可渗透时，粘性流体质点将粘附于固体壁面上，即满足所谓无滑移条件。 - 76 -此时 twv (5.4.1)tv与 w是在固体壁面处流体的速度与固体壁面运动的速度。 对不动壁面，则0t(5.4.2)对于非粘性流体，则可以滑移，但应有 tnwv(5.4.3)下标 n表示壁面法向 方向上的分量。 除上述流动边界条件外，还可以写出温度边界条件，即所谓无跳跃条件。 可以给出 wtTt与 是在固体壁面处流体的温度与固体壁面的温度。 或者给出wqnTk(5.4.4)wq表示通过单位面积传导的热量、简称壁面热流量； nT/是壁面外法线方向上的温度梯度，通常定义
34、从固体壁面向流体传导的热量为正。 如固体壁面是可渗透的则需根据具体的渗透速度来确定其边界条件。 2.不同流体分界面上的边界条件一般包括两种不同液体的分界面，液体与蒸汽的分界面，液体与大气的分界面（即所谓自由液面） 。 对于不同液体的分界面。 根据分子运动论与实验证实，在一般情况下，两种液体的分界面上的速度、温度和压力都是连续的，即 2f1v， 2f1fp， 2f1， 2f1fT下标 1、2 分别表示两种不同的液体。 对于液体与蒸汽的分界面，如果不考虑液面上饱和蒸汽区中的动量、热量和质量交换，则可以将汽液分界面上的边界条件写为 nv1(5.4.5)其中， 1nv是液体在平均液面的垂直方向上的速度
35、， 是液面在垂直于平均液面方向的高度。 这一边界条件表示，在液面上，液体在平均液面的垂直方向上的速度等于液面的垂直波动速度。 此外，可以近似认为 01nv， 1T当液面上为大气压时，是上述情况的特例。 实际上，应该注意到，对于汽液分界面来讲，有时必须考虑到汽液的动量、热量与质量的交换。 3.流道入口和出口断面上的边界条件在有些情况下，特别是内流问题，往往与流道入口与出口断面的速度、压力、温度分布有关，这些参数即为入口和出口断面的边界条件。 5.5 基本方程的适定性和适用性分析上节我们讨论了基本方程的初边值问题，知道一个封闭的微分方程组，加上适当的初始条件和边界条件，才可能确定具体的解，从而构成
36、一个定解问题。 一个定解问题提得是否符合实际情况，可以从三个方面加以- 77 -检验。 1. 解的存在性，即看所归结出来的定解问题是否有解。 2. 解的唯一性，即看是否只有一个解。 3. 解的稳定性，即看当定解条件有微小变动时，解是否相应地只有微小的变动，如果确实如此，则称此解是稳定的。 如果一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。5.5.1 纳维斯托克斯方程组适定性分析我们讨论的纳维-斯托克斯方程组的定解问题的适定性非常复杂，我们只能从流动的实际表现来描述这一问题。 解的存在性没有任何问题，因为任何初边值条件下实际的物理流动总是存在的，所以我们如果承认纳维-斯托克斯方程组是能正确
37、反映实际流动的数学模型，而且定解条件规定的正确，则解应是存在的。 解的唯一性和稳定性应分不同的流态来讨论。 其中低雷诺数对应于层流运动。 对这种流动，若规定正确的定解条件，则解是唯一的，稳定的。 实验和理论均可证实这一结论。 实验还进一步发现，对于同样的边界条件，若有两种不同的初始扰动，且扰动能量不大，对于足够低的雷诺数，这些初始扰动会逐渐衰减而最终消失，而整个流场则趋于完全相同的定常流动。 高雷诺数的流动就不完全一样了，方程可以有多种解，解的非唯一性是其特征。 对于湍流运动，相同的定常边界条件可以有完全不同的非定常的湍流脉动，我们找不出边界条件与湍流脉动细节的直接联系。 尽管湍流运动的细节可
38、以千差万别，其平均运动却与边界条件密切相关，即是说只在有限程度上流体运动按边界条件的规定进行，而在更大程度上，流体运动却有自己的独立“意志” ，它按自己的方式行事，而不管边界条件的规定如何。 从数学上说，给定的初始条件和边界条件与给定了系数的纳斯-斯克托斯方程组构成了一个确定性的动力学系统，这个系统应给出一个确定性的过程。 但在高雷诺数时，这种过程对初始条件极其敏感，它会仅由于初始条件的微小差别而发展成完全不同的流动。 所以，从物理上看，这种确定性系统也可能得到类似于随机的，非确定性的结果。 这些现象都与纳斯- 斯托克斯方程组的非线形有关，它们涉及分叉，混沌，稳定性和湍流理论，难以归入定解条件
39、适定性的经典理论范畴。 5.5.2 纳维斯托克斯方程组的适用性纳维斯托克斯方程组是根据质量，动量和能量三大守恒定律建立起来的，但推导过程中引入了一些假设。方程组的实用性问题实质上就是这些假设是否正确的问题。 所引入的假设，除完全气体的状态方程外，主要有两个，即广义牛顿粘性应力公式和连续介质假设。 对于水和空气一类的流体，牛顿粘性应力公式有很宽的适用范围，只要不用于研究激波厚度内的结构等特殊问题，该公式总是可以用的。 关于连续介质的假设，许多流体力学教材已论证了它通常是可用的。 但它是否可用于湍流呢？只要最小涡的尺度大大超过分子平均自由行程，这个假设就是可用的。 对于液体，这个条件可以满足，因为
40、分子平均自由行程与原子的尺度是同一量级 )10(7m。 对于气体，虽然不像液体那样有较大的裕度，但这个条件也还是可以满足的。 例如大气，若气流速度不超过 s/10，最小涡的尺度很难小于 m1，而分子自由行程为m410。 纳维斯托克斯方程是波耳兹曼方程的第一次近似，即分子运动达到近似平衡状态的波耳兹曼方程。 但在湍流运动中，特别是在高雷诺数时，流场中可形成很大的局部速度梯度，这时，是否仍满足由波耳兹曼方程导致的纳维斯托克斯方程的条件呢？对于较简单的情况，这些速度梯度的影响可由波耳兹曼方程的第二次近- 78 -似估计出来，研究发现，它们虽不可以完全忽略，但也不会产生很大的影响。 总之，除了稀薄空气
41、和个别特殊情况，纳维斯托克斯方程组能够适用于水和空气一类流体，无论是层流状态还是湍流状态。 5.6 涡的输运定理粘性流体运动总是有旋的。 例如，由于黏附作用，在固体壁面附近的薄层中，流体速度由主流的速度值降到零。 此薄层中速度梯度很大，形成强的旋涡运动，所以涡量的产生始自边界，固壁附近的边界层常是生成旋涡的主要区域。 在无粘流体中，由于压力、温度和熵等热力学参数的不均匀性也可引起旋涡。 例如，由于太阳和地面的辐射对大气的不均匀加热就常引起旋涡。 所以除了简单的理想化情况外，实际流动总是有旋的。 5.6.1 涡的基本概念1.涡量场为了给出涡量的定义，需要回顾亥姆霍兹速度分解定理。 流场中某点 P
42、的邻域内任一点 Q上的速度 v可用泰勒级数表示为 Pvrv(5.6.1)此处 r和 v分别为 Q点相对于 点的位置矢量和速度梯度张量。 v还可分解为对称张量 和反对称张量 。 式(5.6.1)化为 Pvr(5.6.2)其中 12jiijjix， jiijij xv21现分别说明 和 的意义。 首先，已经清楚，对称张量 ij按其物理意义即为应变速率张量。 当 ji时， i表示沿对角线上三个正应变速率分量之和，也就是流体的体积应变速率。 可表示为iv(5.6.3)这里 称为胀量(expanon)，表示 P点邻域内流体体积的相对变化速率。 当 ji时， ij表示剪切应变速率的各个分量。 其次，反对称
43、张量 jk可以与单位全反对称三阶张量 ijk缩并而得到一个与 jk对应的矢量：12jkijkijiijkijkjvxxv(5.6.4)这里引出了涡量 的数学定义为 v(5.6.5)于是式(5.6.2)的最后一项可写为 12rr(5.6.6)由此可见，涡量可理解为流体微团绕其中心作刚性旋转的角速度之两倍。 - 79 -据上所述，从运动学的角度，我们可以将流动分为两类：具有涡量的流场称为有旋流动；仅具有应变速率的流场称为无旋流动，也称势流。 另外，从动力学角度来分析，涡量场通常又和粘性流动存在着对应关系。 例如物面的边界层、分离流区、尾迹区等粘性流动，必然分布着涡量或一个个涡旋。 这两者之间的联系
44、来源于：涡量和应变速率都是由流场的速度梯度造成的；速度梯度大，应变速率和涡量一般也大。 流体的粘性应力大小取决于应变速率，特别是剪切应变速率的大小。 因此涡量场和粘性流自然存在因果关系。 不过，对于高雷诺数 Re流动，由于粘性扩散不显著，特别在无界流场条件下，涡运动可以按无粘流动计算。 2.涡量场的物理意义人们对涡量为何定义为刚性旋转角速度之两倍，一直不好解释，像 Sommerfeld，Robertn 这些学者将它说成是“美的误差” ， “不幸的因子” 。 不过，Lindgren(1980) 对此提出了一个合理的解释。 图 5-6 流线坐标系 图 5-7 流体的刚性旋转现采用流线坐标系(图 5
45、-6)。 也就是说，在流线上某一点 P取三个自然坐标轴：切线、主法线和副法线，分别用 t， n和 b表示它们的单位矢量。 为便于理解，可假定为定常流动，这时流线就是迹线。 设某流体微团沿迹线运动，在某时刻位于 P，其速度矢量为 v。 这时的曲率中心位于 O，曲率半径为 R。 现写出涡量矢量(式(5.6.5)在流线坐标系中的表达式： dtnbRtv(5.6.7)在涡量 的三个分量中，无疑沿副法线方向的 是最主要的。 因为它与密切面( t， n)内流场的速度分布有关。 如果是平面流动，则 b就是整个涡量的大小。 现分析 b的物理意义，它由两部分组成：(1)第一部分： 1vR，表示流体微团绕曲率中心 O作整体旋转的角速度；(2)第二部分： 2dbn，表示流体微团绕其中心 P点作局部旋转的角速度。 下面举个典型例子作直观的阐述。 例：圆柱状流体以等角速度 作刚性旋转如图 5-7 所示，流体微团 P 以速度 v和半径 r绕中心 O作等速圆周运动。 这是个平面流动，流体微团的- 80 -涡量 p由以下两部分组成：(1)整体旋转角速度 rv1(2)局部旋转角速度 2dn于是 21p由此不难理解。 为什么涡量等于流体微团作刚性旋转的角速度之两倍。 4. 涡旋涡旋是
