1、第三讲 常微分方程数值解,5.1 引言,1、常微分方程与解,为n阶常微分方程。,如果函数 在区间a,b内n阶可导，称方程,为方程的解,一般称为方程的通解。,为方程满足定解条件的解。,第三讲 常微分方程数值解,如,第三讲 常微分方程数值解,解的图示,2、数值解的思想,（1）将连续变量 离散为,（2）用代数的方法求出解函数 在 点的近似值,如果找不到解函数 数学界还关注： 解的存在性 解的唯一性 解的光滑性 解的振动性 解的周期性 解的稳定性 解的混沌性 解的分岔性 ,第三讲 常微分方程数值解,5.2 Euler方法,第一步：连续变量离散化,第二步：用直线步进,1、Euler格式,第三讲 常微分方
2、程数值解,第三讲 常微分方程数值解,1、Euler方法的误差分析及改进,（1） Euler方法的误差,Euler格式具有局部一阶精度,事实上，假设,第三讲 常微分方程数值解,（2） 后退Euler格式,后退Euler格式也只具有局部一阶精度,由,2、梯形格式,同理可证梯形格式具有局部二阶精度,第三讲 常微分方程数值解,3、改进的Euler格式,4、两步Euler格式,两步Euler格式具有局部二阶精度,5.3 Lunge-Kutta方法,二阶Lunge-Kutta方法,第三讲 常微分方程数值解,令,因为,进而,第三讲 常微分方程数值解,与,比较得,解得,得具有二阶精度Runge-Kutta公式
3、,三阶Lunge-Kutta方法,思想与方法同二阶（略）,第三讲 常微分方程数值解,令,四阶Lunge-Kutta经典格式,例,5.4 几种方法的数值计算,第三讲 常微分方程数值解,四阶经典Lunge-Kutta方法,第三讲 常微分方程数值解,几种方法的结果与误差,第三讲 常微分方程数值解,参考程序-Euler,x=0:0.01:1; y=sqrt(1+2.*x); a=0.0;b=1.0;n=10; h=(b-a)/n; x0=a:h:b;y0(1)=1.0; for k=1:10y0(k+1)=y0(k)+h*(y0(k)-2*x0(k)/y0(k); end for i=1:10y1(1
4、)=1.0;y1(i+1)=y1(i)+h*(y1(i)-2*x0(i)/y1(i);y1(i+1)=y1(i)+h*(y1(i)-2*x0(i)/y1(i)+y1(i+1)- 2*x0(i+1)/y1(i+1)/2; end plot(x,y,b); hold on; plot(x0,y0,or); hold on; plot(x0,y1,*);,第三讲 常微分方程数值解,参考程序-Lunge_Kutta,x=0:0.01:1; y=sqrt(1+2.*x); a=0.0;b=1.0;n=10; h=(b-a)/n; x0=a:h:b; y0(1)=1.0; for k=1:10k1=y0(
5、k)-2*x0(k)/y0(k);k2=y0(k)+h*k1/2-(2*x0(k)+h)/(y0(k)+h*k1/2);k3=y0(k)+h*k2/2-(2*x0(k)+h)/(y0(k)+h*k2/2);k4=y0(k)+h*k3-2*(x0(k)+h)/(y0(k)+h*k3);y0(k+1)=y0(k)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; end hold on; plot(x,y,b); hold on; plot(x0,y0,or);,第三讲 常微分方程数值解,5.5 线性多步方法,1、Adams显式格式,第三讲 常微分方程数值解,P27 (2.5.12),第三讲 常微分方
6、程数值解,第三讲 常微分方程数值解,第三讲 常微分方程数值解,r=3 时见P125（5.5.6）,第三讲 常微分方程数值解,（5.5.6）式的误差分析,第三讲 常微分方程数值解,第三讲 常微分方程数值解,例5.1 P106,第三讲 常微分方程数值解,Adams 程序,x=0:0.01:1; y=sqrt(1+2.*x); a=0.0;b=1.0;n=10; h=(b-a)/n; x0=a:h:b; y0(1)=1.0;y0(2)=1.0954;y0(3)=1.1832;y0(4)=1.2649; for k=4:10y0(k+1)=y0(k)+h*(55*(y0(k)-2*x0(k)/y0(k
7、)-59*(y0(k-1)-2*x0(k-1)/y0(k-1)+37*(y0(k-2)-2*x0(k-2)/y0(k-2)-9*(y0(k-3)-2*x0(k-3)/y0(k-3)/24; end hold on; plot(x,y,b); hold on; plot(x0,y0,or);,第三讲 常微分方程数值解,几种方法的结果与误差,第三讲 常微分方程数值解,2、Adams隐式格式,隐式格式见P125,第三讲 常微分方程数值解,3、Adams改进格式,校正,预测,第三讲 常微分方程数值解,4、线性多步的一般格式,1、由（1）获得一个2阶精度显示格式,（1）,第三讲 常微分方程数值解,只需令,解得,Euler两步格式,如果解得,第三讲 常微分方程数值解,则有,四阶格式见P128,Milne格式,Hamming格式,见P130,第三讲 常微分方程数值解,
