1、第三节 对偶问题与灵敏度分析,一、对偶问题及其模型,回顾例1:煤电油,例7：这时有另一家厂商提出要购买其煤、电、油全部资源，并希望花费尽量少。试建立购买者的线性规划模型。,例1称为例7的原问题,记为（P）,例7称为例1的对偶问题，记为（D）,1、问题的提出,2、对偶模型的一般式,以例7为例，原问题为,（P）,（D）,这是最常见的对偶模型形式，称为对称式对偶模型。二者间具有十分对称的对应关系：,原问题（P） 对偶问题 （D）目标max型 目标min型有n个变量（非负） 有n个约束（大于等于）有m个约束 （小于等于） 有m个变量（非负）价格系数 资源向量 资源向量 价格系数技术系数矩阵 技术系数矩
2、阵的转置,b可小于0,此外，还有一种情形,2、对偶模型的一般式（续）,3、如何写出LP模型的对偶模型,（1）若LP为Max型，则尽量化成(P)形式。(等式、自由变 量不用转换),（2）若LP为Min型，则尽量化成(D)形式。(等式、自由变量不用转换),（P）,（D）,b可小于0,例8：写出下面线性规划的对偶规划模型：,P32例2.14,练习1：写出下面LP的对偶模型,解 ：先将约束条件变形为“”形式,令x1= -x1,练习2：写出下列问题的对偶问题：,解 ：先将约束条件变形为“”形式,再根据非对称形式的对应关系，直接写出对偶规划,对偶的变换关系（或）,练习3：写出下面LP的对偶模型,4、对偶的
3、性质,（P）,（D）,考虑,1 .对称性：(P)与(D)互为对偶，即对偶问题的对偶是原问题,证：,X、Y 为（P）、（D）的可行解,AX b YA C,CX Yb,YAX Yb YAX CX,2.弱对偶性,4、对偶的性质（续）,3. 无界性 ： 若原问题(对偶问题)为无界解，则其对偶问题(原问 题)无可行解; (逆命题不成立),即：若（P）为无界解，则（D）无可行解若（D）为无界解，则（P）无可行解,4.解的最优性,5.对偶定理：若（P）有最优解，则（D）也有最优解，且 最优值相同。,证：对（P）增加松弛变量Xs，化为,设其最优基为B，终表为,其检验数为,4、对偶的性质（续）,（强对偶性）,=
4、 - CBB-1,问题：(1) 由性质5可知，对偶问题最优解的表达式 Y* =？,(2) 求Y*是否有必要重新求解（ D）？, CBB-1, 不必。可以从原问题（P）的单纯形终表获得。,4、对偶的性质（续）,例如，在前面的练习中已知,的终表为,请指出其对偶问题的最优解和最优值。,4、对偶的性质（续）,4、对偶的性质（续）,6.互补松弛定理,其中XS 、YS 为最优解中松弛变量部分,在线性规划问题的最优解中，若对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式，另一方面，如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零.,y1 yi ym ym+1 ym+j ym+n,x1 xj x
5、n xn+1xn+ixn+m,对偶问题的变量 对偶问题的松弛变量,原始问题的变量 原始问题的松弛变量,xjym+j=0 yixn+i=0 (i=1,2,m; j=1,2,n) 在一对变量中，其中一个大于0，另一个一定等于0,直观上,例6：已知线性规划问题min w = 2 x1 + 3 x 2 + 5 x 3 + 2 x 4 + 3 x 5x1 + x 2 + 2 x 3 + x 4 + 3 x 5 4s .t . 2 x1 x 2 + 3 x 3 + x 4 + x 5 3x 0 , j = 1, 2 , ,5,已知其对偶问题的最优解为：,试用对偶理论找出原问题的最优解,见p34,4、对偶的
6、性质（续）,将y1* , y2* 的值代入约束条件，得（2)(3)(4）为严格不等式，由互补松弛定理得,因为, y1 y 2 0，原问题的两个约束条件应当取等式， 故有：,5、 对偶问题的经济解释,（1）对偶最优解的经济解释资源的影子价格（Shadow Price）,在单纯形法的每步迭代中，目标函数取值z=CBB-1b，和检验数CN-CBB-1N中都有乘子Y=CBB-1，那么Y的经济意义是什么?,CBB-1 对偶问题的最优解 买主的最低出价； 原问题资源的影子价格 当该资源增加1单 位时引起的总收入的增量卖主的内控价格。,说明：在其它条件不变的情况下，单位资源变化所引起的目标函数的最优值的变化
7、。也可以理解为目标函数最优值对资源的一阶偏导数（但问题中所有其它数据都保持不变）。即对偶变量y*i 就是第 i 个约束条件的影子价格的变量。,可以写成：即y*i 表示Z*对 bi的变化率。,z*=CB B-1b=Y* b 对z求偏导数，得,CBB-1 原问题资源的影子价格 当该资源增加1单 位时引起的总收入的增量卖主的内控价格。,例10：例1（煤电油例）的单纯形终表如下：,（1）请指出资源煤、电、油的影子价格，并解释其经济意义。 （2）由单纯形终表还可得到哪些有用的信息？,解：（1）煤、电、油的影子价格分别是0、1.36、0.52； 其经济意义是当煤、电、油分别增加1单位时可使总收入分别增加0
8、 、1.36、0.52。,（2）由单纯形终表还可得到：原问题的最优生产计划、最大收入、资源剩余，对偶问题的最低购买价格、最少的购买费用等。,P35例2.16,若,影子价格在管理决策中的作用：（1）影子价格市场价格,影子价格市场价格，则应 买进该资源 影子价格市场价格，则应 卖出该资源,（2）影子价格反映了资源的稀缺性，影子价格越高，则越稀缺。,5、 对偶问题的经济解释（续）,在考虑一个地区或一个国家某种资源的进出口决策中，资源的影子价格是影响决策的一个重要因素。,资源的影子价格是与具体的企业及产品有关的，同一种资源，在不同企业，或生产不同产品时对应的影子价格并不相同。,y1 y2ym,（2）对
9、偶约束的经济解释产品的机会成本 (Opportunity Cost),机会成本 表示减少一件产品所节省的资源可以增加的利润,机会成本,利润,差额成本,（3）对偶松弛变量的经济解释产品的差额成本（Reduced Cost）,差额成本=机会成本 利润,在利润最大化的生产计划中（1）影子价格大于0的资源没有剩余；（2）有剩余的资源影子价格等于0；（3）安排生产的产品机会成本等于利润；（4）机会成本大于利润的产品不安排生产。,（4）互补松弛关系的经济解释,二、对偶单纯形方法,单纯形方法：始终保持原问题的解可行，检验数不一定小于等于零（即对偶解不可行）。经过迭代，使对偶基本解的负分量的个数逐渐减少，一旦
10、检验数小于等于零（即对偶解变为可行解），则问题达到最优。,对偶单纯形方法的基本思想：从对偶规划的一个可行基出发，即保证满足 = C - CB-1A 0，而原问题只是基本解；通过迭代，使原问题负分量个数逐渐减少，一旦原问题可行，即：XB = B-1b 0，则找到最优解。,（ 1 ）建立初始对偶单纯形表。此表对应原规划的一个基本解（基变量取值可小于0），且使得所有检验数都0（保障对偶规划的解可行） （2）检查 b列的数字，若都0，则已得到最优解，停止。 若b中至少有一个bi0,且bi 所在行的各个系数aij 0 ，则原规划无可行解，迭代结束； 若bi0，且存在aij0,转（ 3 ）。 （ 3 ）确
11、定换出变量:设 则第l个方程中原基变量为换出变量 （ 4）确定换入变量：设 则xk为换入变量 （5)以alk为主元进行初等行变换，得到新的对偶单纯形表，返回（2）,例： 用对偶单纯形方法求解：,解: （1）引入松弛变量 x3 , x4 , x5 化为标准形，并在约束等式两侧同乘-1，得到,-3 -2 0 0 0,3/4 2/3, ,1/5 2, ,从最后的表可以看到，B-1b列元素中有-20，并且，-2所在行各元素皆非负，因此，原规划没有可行解。,例3.9 用对偶单纯形法求解下面线性规划,对偶单纯形法适合于解如下形式的线性规划问题:,在引入松弛变量化为标准型之后，约束等式两侧同乘-1，能够立即
12、得到检验数全部非正的原规划基本解，可以直接建立初始对偶单纯形表进行求解，非常方便 。,练习、用对偶单纯形法求解：,解：将模型转化为,所以， X*=（2 . 2 . 2 . 0 . 0 . 0）， Z* =-72，原问题 Z* =72其对偶问题的最优解为：Y*= (1/3 . 3 . 7/3)，W*= 72,讨论模型的系数或变量发生小的变化时对解的影响 （如它们在何范围内变化时可使原最优解或最优基不变？）,我们主要讨论C、b和变量结构变化时对解的影响。,三、灵敏度分析,1、 b变化时的分析,p38,当B-1b 0时，可用对偶单纯形法继续求解,例11：在例1（煤电油例）中，其单纯形终表如下：,（1
13、）电的影子价格是多少？使最优基仍适用的电的变化范围为何？,解：（1）电的影子价格是1.36。,例11：在例1（煤电油例）中，其单纯形终表如下：,（2）若有人愿以每度1元的价格向该厂供应25度电，是否值得接受？,解：（2）值得。因25在B的适用范围内（即影子价格适用），且1.36-1.000。,例：,设 b列变为,要保持最优基不变，则,若b1=1/2,-1,5/2, ,最优解：,X*=(0,2/3,0,0,1)T,2、 C变化时的分析,例11：在例1（煤电油例）中，其单纯形终表如下：,（3）甲产品的价格在何范围内变化时，现最优解不变？,解：甲产品的价格c1是基变量的价格系数。,主要讨论增加新变量
14、xn+1是否有利。经济意义是第n+1种新产品是否应当投产，数学意义是xn+1是否应进基。,经济意义：,市场价,影子价,3、增加新变量时的分析,例11：在例1（煤电油例）中，其单纯形终表如下：,（4）若现又考虑一新产品丙，其资源单耗为10，2，5，售价为6.5，问该产品是否可投产？,故丙产品可以投产。,4、系数矩阵A的变化分析,见书40页,5、增加一个新约束的分析,当出现新的资源限制时，模型要加入新约束，可在原最优解的基础上进行分析：最优解满足新约束，最优解不变；最优解不满足新约束，应继续寻找新的最优解；无论加入什么类型约束，目标函数值都不会改善。,例: 如果家具厂每月可用的木材只有10立方米，生产一个桌子需木材0.4立方米，椅子需0.3立方米。问应该如何生产？解：加入新约束为：4x1 + 3x2 100，引入松弛变量 x5 并令其入基，加入原最优表后得到的不是标准单纯形表，需要通过矩阵的初等变换将其化为标准表，再进一步用对偶单纯形法求解。,例1 某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗煤、电、油三种资源。现将有关数据列表如下：试拟订使总收入最大的生产方案。,
