1、第七讲 平面图形（二） （教师版）1、将一个长为 9，宽为 4 的长方形（如图）分成两块，然后拼成一个正方形。2、任意一个三角形，怎样剪两刀，分成的三块可以拼成一个长方形？3、请将一个任意三角形（如图 12.5（a） ）分成四个面积相等的三角形。4、直线上依次分布着 A、B、C、D、E5 个点，已知 AB=19cm，CE =97cm，AC = BD 。试求线段 DE 的长度，写出计算过程。5、如图 1，小正六边形沿着大正六边形的边，按顺时针方向滚动。小正六边形的边长是大正六边形边长的一半。如果小正六边形的沿着大正六边形的边滚动了一周后返回出发点时的位置，那么，在这个过程中线段 OA 围绕着 O
2、 点旋转了多少圈？（O 点是小正六边形的中心）6、图 A、 图 B 是两个大小形状完全相同的大长方形。在每个长方形中放入 4 个如图所示的小长方形，这些小长方形也是完全一样的。阴影部分就是空出的地方。已知大长方形的长比宽多 6 厘米。那么在图 A 与图 B 中，哪个阴影部分的周长长？长多少？分析 根据充气的观点，图 A 中阴影部分的周长应当等于大长方形的周长。那么图 B 中阴影部分的周长呢？将图 B 中阴影部分充气后发现，它的周长应等于两倍的大长方形的长加上 2 倍的 QR和 2 倍的 PS，比大长方形的周长恰好少了 2 倍的 PQ 长。由此不难看出图 A 的阴影部分周长比图 B 的阴影部分周
3、长长。那么到底长多少呢？解 ：由分析可知，图 A 的阴影部分周长比图 B 的阴影部分周长长，长了 2 倍 PQ 的长度。从图 B 中看，大长方形的长恰好等于 1 倍小长方形的长2 倍小长方形的宽。那么大长方形的宽呢？它的宽恰好等于 1 倍小长方形的长2 倍小长方形的宽PQ 的长度。根据大长方形的长比宽多 6 厘米，知 PQ 长 6 厘米。所以图 A 的阴影部分周长比图 B 的阴影部分周长长 26 =12 厘米。7、在长方形 ABCD 中，AB=10 厘米。截去一个正方形 EBCF 后，余下所得的长方形 AEFD 的周长是多 少？解 长方形 AEFD 的周长=DF+AE+AD+EF.又 AD=E
4、F=BE=CF所以 AEFD 的周长=AE+DF+BE+CF=AB+CD=20 厘米8、如图，10 个相同的小长方形拼成一个大长方形。已知大长方形的长为 12 厘米。问小长方形的周长为多少厘米？解 ：如图知，大长方形的长=3小长方形的长，所以小长方形的长等于 4 厘米。又从图中可知，大长方形的长=4小长方形的宽，所以小长方形的宽等于 3 厘米。那么小长方形的周长等于 2（3+4）=14 厘米。9、下图中，1、2、3、4 的 和是 。 （第二届小数报数学竞赛初赛试题）解：1+2+3+4=1+40 0+2+43 0+3+45 0+750=(1+40 0+450)+(3+45 0+750)=1800
5、+1800=360010、下图是由 9 个等边三角形拼成的六边形，已知中间最小的等边三角形的边长是 1，问：这个六边形的周长是多少？（第七届“华杯赛初赛试题）解 设第二小的等边三角形边长为 a，则第三大的等边三角形边长为 a+1，次大的等边三角形边长为 a+2，最大的等边三角形边长为 a+3，它也就是 2a，因此 a=3，从而六边形的周长是23+2(3+1)+2(3+2)+(3+3)30 11、如图，四边形 ABCD 是正方形，BE1，EC2，DF1，三角形 PEF 的面积为 。那21么，线段 AP 的长是 。 （北京市第十五届“迎春杯决赛试题）解：设 PDx，则由梯形 PECD 的面积是三个
6、三角形的面积和，得 3（x+2） +212122+ 1x21解得 x 21即线段 AP 的长度是（2+1）- 2112、如图，长方形 ABCD 中，阴影部分是直角三角形且面积为 54，OD 的长是 16，OB 的长是9。那么四边形 OECD 的面积是 。 （北京市第十届“迎春杯”预赛试题） 解：连接 DE，依题意SAOB BOAO 9AO542121得 AO12，于是可推知SAOD DOAO 16129又因为 SAOB S DOE 54 16OE，所以 OE21436这样可得 SBOE BOEO 9 从而有80SECD S BCD S BOES ABD S BOE（54+96） 8305191
7、3、ABCD 是直角梯形，其上底 CD3，下底 AB9，线段 DE、EF 把梯形分成面积相等的三块S1S 2S 3（如图） 。已知 CF2，那么这个直角梯形 ABCD 的面积等于 。（第三届“祖冲之杯”数学邀请赛试题）解：即 BCh，它就是直角梯形 ABCD 的高，梯形面积 （3+9）h6h，三角形 AED21的面积 AEh 梯形面积2h，于是得 AE4，EB9-45213三角形 EBF 面积 EBBF 5（h2）2h。从而1h10，所以梯形面积60.14、图中正方形周长是 20 厘米。那么图形的总面积是 平方厘米。 （北京市第五届“迎春杯”刊赛试题）解：从图中可以看出，正方形的边长也是圆的半
8、径，由此可知这两个圆是等圆，因为正方形的每个角都是 900，所以图中的两个扇形的圆心角都是 2700，两个扇形的面积是2702117.75（平方厘米）360514.2正方形的面积是 5525（平方厘米）图形的总面积是 117.75+25142.75（平方厘米）15、长方形的广告牌长为 10 米，宽为 8 米，A，B，C，D 分别在四条边上，并且 C 比 A 低5 米，D 在 B 的左边 2 米，四边形 ABCD 的面积是 平方米。（南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛预赛试题） 解：如下图，四边形 ABCD 的面积比外面的四个三角形的面积和大 2510（平方米） ，所以四边形 ABCD 的面积
9、是 45（平方米）1016、如图，ABC 是等腰直角三角形，D 是半圆周上的中点，BC 是半圆的直径，且ABBC10，求阴影部分面积（ 取 3.14）解：三角形 ABC 是等腰直角三角形，以 AC 为对角线，再作一个全等的等腰直角三角形 ACE，则 ABCE 为正方形（利用对称性质） 。 S 阴影（S 正方形 ABCE +S 半圆S ADE） ）2（1010+5 22 1015）2132.12517、如图，已知半径 OAOBOC9 厘米，1215，求阴影部分的面积。解：OAOB，在等腰三角形AOB 中，1215 0AOB180 0215 0150 0，同理AOC150 0BOC360 0AOBAOC360 0（150 0150 0）60 0 阴影部分面积是圆面积的 61即 r 2 3.149242.39 平方厘米。6118、如下图,ABC 是等腰直角三角形，直角边 AB2 厘米，BE、BD 分别为以 C、A 为圆心，BC、AB 为半径所作的弧形。求阴影部分面积。解：两个扇形面积是 3.1422 23.14 平方厘米，36045ABC 的面积是 2222 平方厘米，所以阴影部分面积是：3.1421.4 平方厘米。
