1、高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第1 页平面几何（四点共圆）冲刺讲义_班_号 姓名_一、知识准备以下简单介绍讲义可能涉及的一些简单的知识：1.欧拉线： 的垂心 ，重心 ，外心 三点共线 .此线称为欧拉线，且有关系：2.九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆. 的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点九点圆的半径是 的外接圆半径的 .3.三角形内心与旁心的性质： 的内心为 ，而 边外的旁心分别为 ；分别是三条内角平分线， 交三角形外接圆于 ， 交 于 ，则：三角形过同一顶点的内、外角平分线互相垂
2、直； ， ； （角平分线定理）； （“鸡爪”定理）.二、例题分析例1. 是 的外接圆 的直径，过 作圆 的切线交 于 ，连接并延长 分别交 、于 、 ，求证： .高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第2 页证明：过 作 的平行线分别交 、 于 、 ，则 .取 中点 ，连接 、 、 、 .， 四点共圆. ，而由 ，有 .， 四点共圆.，而 ， ， .而 是 的中点， 是 的中点， .例2.等腰梯形 中， ， ， 分别是 ， 的内心， 是直线 上的一点， ， 的外接圆交 的延长线于 .证明： 高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第3 页证明：，故 共圆，则 ，因此 ，而 ，所以， ，由
3、此， 例3. 在 中， ，内心为 ，内切圆在 ， 边上的切点分别为 ， ，设 是关于点 的对称点， 是 关于点 的对称点.求证： 四点共圆.高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第4 页证明：设直线 交 的外接圆于点 ，易知 是 的中点，记的中点为 ，则 设点 在直线 上的射影为 ，由于 则半周长 ，于是 ，又所以 ，且相似比为 ，熟知： 。又 ，所以 ，即 是 的中点进而 ，所以 都在以 为圆心的同一个圆周上例4.设A、B 为圆 上两点，X为 在A和B处切线的交点，在圆 上选取两点C、D使得C 、D、X依次位于同一直线上，且CABD，再设F、G分别为CA和BD 、 CD和AB的交点，H
4、为GX 的中垂线与BD的交点证明：X 、F 、G 、H四点共圆证明：设O为圆心，ABXO = M XOAXAM， OXXM = XA 2 = XCXD Z高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第5 页 O、M、C、D四点共圆 XMO = OCD = ODC = OMC CMG = GMD在CM上选取一点E使MX DE，则MD = ME在GX上取点X ，使 GFD = DFX，在XF上取W使CF GW由 得 CGX D = XCGD由上面两式得 = ，故X = X GFD = XFD又 = 1和XPB = CDF 1 H 和B在CX的同一侧设H为直线 BF与GFX外接圆的交点，则HXG =
5、HFG = HFX = HGX HG = HX， H = H X、F、G 、H 四点共圆，得证注：上述证法比较麻烦，本题实质如下：易知 为调和点列，又 ，可得 为 的平分线，设 外接圆交 于 点，由“鸡爪”定理知 ，从而 在 的中垂线上，本题得证.例5.ABC中，E 、F分别为AB、AC 中点，CM、BN 为高，EF交MN于P，O 、H分别为三角形的外心与垂心求证：APOH高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第6 页证明：由BMC = BNC = 90知 B、C、N 、M 四点共圆 AMAB = ANAC又 AE = AB, AF = AC， AMAE = AN AF，即E、F、N 、M
6、共圆注意到由AMH = ANH = AEO = AFO = 90知AH、AO分别为 AMN、AEF外接圆的直径过AH中点H 与 AO中点O分别为 AMN与AEF的外心，且易知 OHOH 只需证AP OH，只需证A、O 为 AMN、AEF外接圆的等幂点即可注意到A为两圆公共点，而由E、F、N 、M 共圆知 PM PN = PEPF故 P也为等幂点综上所述，原命题成立例6.设ABC 内接于圆O ，过A作切线PD ，D 在射线BC上，P在射线DA 上，过P作圆O的割线PU，U在BD上， PU交圆 O于Q 、T且交AB、AC 于R、S证明：若QR = ST，则PQ = UT高中数学奥林匹克-2018年
7、7月暑假培训班第7 页证明：过O作OKPU = K，OFBU = F，连结AK 延长交O于另一点E，过C作CHPU交AE于G，交AB于H，连GF 、OP、OU、OA、OE 由垂径定理知BF = FC, QK = KT，且QR = ST RK = KS 即K是RS的中点，且CHPU = = = = 1 HG = GC由中位线定理知 FG BH FGE = BAE = BCE F、G 、C、E共圆 EFC = EGC = AGH = UKG EFO + OKE = OFC + CFE + OKE= 90 + UKG + OKE= 90 + 90 = 180 K、 O、F 、E四点共圆 又 OKU
8、+ OFU = 290 = 180， K、 O、F 、U四点共圆 结合知K、O、F、E、U 五点共圆， KUO = KEO又 PA为O切线 OAPA，且 OKPU KEO = KAO KPO = KUO OP = OU又 OKPU， PK = UK而QK = TU， PQ = UT ，得证例7.AB、AC为 O切线，ADE为一条割线，M为DE 中点，P为一动点，满足M 、O、P三点共线，P高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第8 页为以P点为圆心、PD为半径的圆证明： C点在BMP外接圆与P的根轴上证明：作PRAC ，其延长线交BC 延长线于S OMA = OBA = OCA = 90，
9、 A、C、O、M、B五点共圆 BMP = BMA + 90 = BCA + 90 = 180 RSC B、M 、P、S四点共圆 C对 BMP外接圆的幂为 CBCS = 2CA CR而C对P 的幂为CP 2PD 2 = CP 2AP 2AD AE = CP 2AP 2 + AC 2= CR 2 + RP 2 PR 2AR 2 + AC 2= CR 2 CR + CA 2 + CA 2= 2RC CA C点对P的幂等于C点到BMP外接圆的幂 C点在上述两圆根轴上，得证高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第9 页例8.设H为ABC的垂心，D、E、F为ABC的外接圆上三点，使ADBE CF，S、
10、T、U 分别为D、E、F关于边BC 、CA 、AB 的对称点求证： S、T、U 、 H四点共圆证明：先证引理：ABC外接圆 O与它的九点圆 V关于 ABC的垂心 H位似，且位似比为 引理的证明：设AH、BH、CH分别交边BC 、CA、AB于O、E、F，交 O于D、E、F易知HD = HD, HE = HE, HF = HF DEF与 DEF关于H位似，位似比为 DEF外接圆与 DEF外接圆关于 H位似，即 O与 V关于H位似，位似比为 回到原题：设BC、CA 、AB中点分别为X、Y、Z，过D 作DPBC，交O 于P，设PH中点为W易知SDBC，设PS交BC于X，则由SD关于BC 对称知SX =
11、 XD X为BC中点，即X与X 重合，即P 与S关于X对称同理P与U、T分别关于 Z、Y对称 四边形USHT 与四边形ZYWX 对称由引理知Z、X、Y 、W四点共圆 U、T 、H、S四点共圆，得证高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第10页例9.给定锐角ABC，过A 作BC的垂线，垂足为D ，记ABC的垂心为H ，在 ABC的外接圆上任取一动点P ，延长 PH交 APD的外接圆于Q求Q 点的轨迹解：Q点轨迹为ABC 的九点圆如图，取AH、BH、PH 的中点M 、N 、K，延长AD交ABC外接圆于G则熟知HD = DG，连接KN、MN、KD、PB 、PG因为各取中点有NKD = BPG,
12、NMD = BAG K、 N、M 、D 四点共圆又Q在APD的外接圆上， PHHQ = AHHD，即 2KH HQ = 2MHHD KHHQ = MHHD于是有K、D、Q、M、N五点共圆又DMN 外接圆为九点圆，所以Q 在九点圆上反之，在如上所述九点圆上任取一点Q ，设Q H延长线交ABC外接圆于P，取PH中点R，同上可证R在九点圆上故 2RH HQ = 2 MHHD，即PHHQ = AHHD高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第11页因此Q在 APD外接圆上得证例10.在ABC 中，D 是BC 边上的一点，设O 1、O 2分别是ABD、ACD的外心，O是经过A、O 1、O 2三点的圆的
13、圆心求证：O DBC AD恰好经过 ABC的九点圆心证明：连AO 1、BO 1、AO 2、CO 2，作AB、AC 垂直平分线交于点 O AO2C = 2ADB = AO1B, AO1 = BO1, AO2 = CO2， AO1BAO2C AO1O2ABC AO1O = 180AO 1B = 180AO 2C = 180 AO2O故O在O上， O是ABC的外心，故AO OAO1B又ADB = 1, O 1AB = OAO = OOA ODBC BAO1 = ADO ADO = ODA A、O 、O、D共圆 AOO = 180 ADO = ADB + ODC ADB = ODC AOO = 2AD
14、B 如图，设OH与AD交于点K，作BC 中垂线OM ，交AD延长线于点M，OM 与BC 交于点L由ADB = ODC DL = LM OM = 2OL = AH AKHMKO OK = KH K为九点圆心 AD经过ABC的九点圆心综上所述，命题得证高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第12页例11. 内接于 , 自 作 的切线 , 又以 为圆心, 为半径作 交直线 于，交直线 于 ；则四边形 的四条边所在直线分别通过 的内心及三个旁心. 以下，我们仍按 情况给出图形和解答（其实在所有情形下结论都成立）证明: 、如图,设 的平分线交 于 ，因 ，则点 关于直线 对称，又因 在 上,则 ，因
15、此 共圆, 由于 为 的切线，则 ，又由 ，所以 ，因此 为 的内心. 、据条件知， 为矩形,设角平分线 交直线 于 ，连 ，由(1)知, 点 关于直线 对称，故 ，则 为 的外角平分线，因此 为 边外的旁心.、设 的外角平分线交直线 于 ，由 ，则 共圆. 高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第13页故 共线, 因此 为 边外的旁心.、设 的外角平分线交直线 于 ，连 ，因故 共圆. .所以 共线, 即 是 的外角平分线, 因此 为 边外的旁心例12. 三角形 中， 是 的中点， 分别是 边上的点，且 的外接 圆 交 线 段 于 若点 满足：证明：证明：在圆 中，由于弦 故圆周角，因此
16、， 与 分别共圆，于是 设点 在边 上的射影分别为 ，则 ，故由 得， 1设 的内心为 今证 四点共圆：连 因 分别共圆，则 ，又由1， ， 所以 因此而所以因为故得 ，因此 四点共圆，于是延长 交 的外接圆于 则 为该外接圆的直径, 高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第14页于是 且因此, 点 O是 所在圆的圆心, 从而 为 的切线. 延长 交 于 T, 则 ,所以 , 又由 ,得 , 因 故 . 延长 到 ,使 ，则 为平行四边形,. 由 得 . 由 、得 所以， , 即 .三、巩固训练1. 为正三角形 的边 上的任意一点，设 与 的内心分别为 ，外心分别为 ；证明： 证明：如图，
17、据内心性质，有 ，所以 共圆，即点 在 上，而 ，得点 也在 上，即 五点共圆此 圆的圆心即为 的圆心 ；高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第15页注意 的平分线也是 的中垂线，即 共线，因此；同理有 五点共圆，圆心为 ，因此 ，且 由于 ， ，则 ；又在 中， ；在 中， ；所以 ，于是 从而 ，由于在直角三角形 中， ，所以有 2.ABC内切圆与BC切于K，AD是BC边上的高，M为AD 中点， MK与ABC 内切圆交于K、N求证：BNC外接圆与ABC 内切圆切于N 证明：设ABC 关于 BAC的旁切圆为I A，半径为r A， ABC内心为I，I半径为r，IA切BC 于T，KI交I于
18、K、S，则 = = ，I ATIS 均垂直于BC ， A、S、T共线 I为 SK中点， M为AD中点，SKAD ， T、I、M 共线 = = = , IKIAT， M、K、I A三点共线设 I关于点K、N切线交于Q，则QINK设QI交 NK于R，则 IB平分 ABC，I AB平分ABC 外角， IBIA = 90又 IRIA = 90， I、B、I A、R共圆同理I、R、C、I A共圆， I、 B、I A、C 、R共圆 QBQC = QRQI IQKN, IKKQ， QRQI = QK 2高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第16页 QBQC = QK 2 = QN 2， BNC外接圆有
19、切线QN又QN为 I切线， BNC外接圆与ABC内切圆切于N ，证毕3.已知ABC 的三边分别交O于X 、X 、Y、Y 、Z、Z若AYZ、 BXZ、CXY的外接圆交于一点M，AYZ 、 BXZ、CY Z的外接圆交于一点 M求证：OM = OM证明：设M的等角共轭点为M 1，在BC 、AC、AB上分别取点X 1、Y 1、Z 1使M1X1B = M1Y1C = M1Z1A = MXC = MYA = MZB A、Y 1、Z 1M四点共圆 AZ1Y1 = AM1Y1 = M1Y1CM 1AC= MZBMAB = AMZ = AYZ Y1、Y、Z 1、 Z四点共圆 1同理可得Y、X 1、X、Y 1共圆 2；X 1、X、Z 1、Z共圆 3 若 1 2，则 3 1, 2，与三圆根轴交于一点，矛盾！故 1 = 2 = 3，X、X 1、Y、Y 1、Z 、Z 1共圆，则X 1 = X, Y1 = Y, Z1 = Z高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第17页设MXM X = X0, MYMY = Y0, MZMZ = Z0，则M、M、X 0、Y 0、Z 0三点共圆 XX0X = YY0Y = ZZ0Z又OX 0M = OY0M OX0XX, OY0YY O、M、M 、X 0、Y 0、Z 0共圆而OMM = OX0M = OMM，故OM = OM
