1、全真优教初中数学第 1 页（共 21 页）浙江省宁波市镇海中学跨区招生数学试卷一、选择题（每题 4 分，共 40 分）1 （4 分） （2013 镇海区校级自主招生）把 26 个英文字母按规律分成 5 组，现在还有 5 个字母 D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（ ）（1）F，R，P，J，L，G， （ ）（2）H，I，O， （ ）（3）N，S， （ ）（4）B，C ，K ，E， （ ）（5）V，A，T，Y，W，U， （ ）AQ，X，Z ， M，D BD，M，Q，Z，X CZ，X，M，D，Q DQ ，X，Z，D，M2 （4 分） （2013 镇海区校级自主招生）若 ，则式子 +
2、等于（ ）A4x+3 B5 C2x+3 D4x+33 （4 分） （2013 镇海区校级自主招生）若不论 k 取什么实数，关于 x 的方程（a、b 是常数）的根总是 x=1，则 a+b=（ ）A B C D4 （4 分） （2013 镇海区校级自主招生）若 ，则 m20072=（ ）A2007 B2008 C2008 2 D2008 25 （4 分） （2014 余姚市校级自主招生）方程 6xy+4x9y7=0 的整数解的个数为（ ）A1 B2 C3 D46 （4 分） （2013 镇海区校级自主招生）在平面直角坐标系中有两点 A（2，2） ，B（3，2） ，C 是坐标轴上的一点，若ABC 是
3、直角三角形，则满足条件的点共有（ ）A1 个 B2 个 C4 个 D6 个7 （4 分） （2013 镇海区校级自主招生）一个各面分别标有数字 1、2、3、4、5、6 的骰子，连续投掷二次，分别出现数字 m、n，得到一个点 P（m ，n） ，则点 P 既在直线 y=x+6 上，又在双曲线 上的概率为（ ）A B C D全真优教初中数学第 2 页（共 21 页）8 （4 分） （2013 镇海区校级自主招生）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：b0，c0，b 24ac0，a+b+c 0， 4a+2b+c0其中正确的有（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个9 （4 分）
4、 （2013 镇海区校级自主招生）如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设 a=1，则这个正方形的面积为（ ）A B C D10 （4 分） （2013 镇海区校级自主招生）二次函数 y=x2+6x7，当 x 取值为 txt+2 时，y最大值 =（t 3） 2+2，则 t 的取值范围是（ ）At=0 B0 t3Ct3 D以上都不对二、填空题（每题 6 分，共 30 分）11 （6 分） （2013 镇海区校级自主招生）已知关于 x 的不等式 mx2O 的负整数解只有1， 2，则 m 的取值范围是 12 （6 分） （2013 镇海区校级自主招生）用三种边长相等的正多边形地转铺地，其
5、顶点在一起，刚好能完全铺满地面，已知正多边形的边数为 x、y、z，则 的值为 13 （6 分） （2013 镇海区校级自主招生）如图， OAP、ABQ 均是等腰直角三角形，点P、Q 在函数 y= （x0）的图象上，直角顶点 A、B 均在 x 轴上，则点 B 的坐标为 全真优教初中数学第 3 页（共 21 页）14 （6 分） （2013 镇海区校级自主招生）若关于 x，y 方程组 的解为，则方程组 的解为 15 （6 分） （2013 镇海区校级自主招生）墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制） ，但希望搬完后从正面、从上面、
6、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走 个小正方体三、解答题（共 50 分）16 （6 分） （2013 镇海区校级自主招生）如图，矩形 ABCD 纸片，E 是 AB 上的一点，且BE：EA=5：3，CE=15 ，把 BCE 沿折痕 EC 向上翻折，若点 B 恰好与 AD 边上的点 F重合，求 AB、BC 的长17 （8 分） （2013 镇海区校级自主招生）如图，已知 ABCD 是圆 O 的内接四边形，AB=BD，BM AC 于 M，求证：AM=DC+CM全真优教初中数学第 4 页（共 21 页）18 （13 分） （2013 镇海区校级自主招生）某种电缆在空中
7、架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线 的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于 6 米（1）如图 1，若水平距离间隔 80 米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？（2）如图 2，若在一个坡度为 1：5 的斜坡上，按水平距离间隔 50 米架设两固定电缆的位置离地面高度为 20 米的塔柱求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？这种情况下，直接写出下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？19 （13 分） （2013 镇海区校级自主招生）如图，直线 AD 对应的函数关系式为 y=x1，与抛物线交于点 A（在 x 轴上） 、点 D
8、，抛物线与 x 轴另一交点为 B（3，0） ，抛物线与 y 轴交点 C（0，3 ） ，（1）求抛物线的解析式；（2）P 是线段 AD 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值；（3）若点 F 是抛物线的顶点，点 G 是直线 AD 与抛物线对称轴的交点，在线段 AD 上是否存在一点 P，使得四边形 GFEP 为平行四边形；（4）点 H 抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 Q，使 A、D、H、Q 这四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的 Q 点坐标；如果不存在，请说明理由全真优教初中数学第 5 页（共 21 页）20
9、（10 分） （2013 镇海区校级自主招生）一幢 33 层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳 32 人，而且只能在第 2 层至第 33 层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到 1 分不满意，往上走一层楼梯感到 3 分不满意，现在有 32 个人在第一层，并且他们分别住在第 2 至第 33 层的每层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这 32 个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼） 全真优教初中数学第 6 页（共 21 页）2013 年浙江省宁波市镇海中学跨区招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题 4 分，共 40 分）1 （4
10、 分） （2013 镇海区校级自主招生）把 26 个英文字母按规律分成 5 组，现在还有 5 个字母 D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（ ）（1）F，R，P，J，L，G， （ ）（2）H，I，O， （ ）（3）N，S， （ ）（4）B，C ，K ，E， （ ）（5）V，A，T，Y，W，U， （ ）AQ，X，Z ， M，D BD，M，Q，Z，X CZ，X，M，D，Q DQ ，X，Z，D，M【解答】解：（1）不是对称图形，5 个子母中不是对称图形的只有：Q，Z；（2）有两条对称轴，并且两对称轴互相垂直，则规律相同的是：X；（3）是中心对称图形，则规律相同的是：Z；（4）是轴对称图
11、形，对称轴是一条水平的直线，满足规律的是：D；（5）是轴对称图形，对称轴是竖直的直线，满足规律的是：M故各个空，顺序依次为：Q， X，Z，D，M故选 D2 （4 分） （2013 镇海区校级自主招生）若 ，则式子 + 等于（ ）A4x+3 B5 C2x+3 D4x+3【解答】解： ，x10，x30 ，2x+1 0， + + = =|x1|+|x3|+|2x+1|=1x+3x+2x+1=5故选 B3 （4 分） （2013 镇海区校级自主招生）若不论 k 取什么实数，关于 x 的方程（a、b 是常数）的根总是 x=1，则 a+b=（ ）A B C D全真优教初中数学第 7 页（共 21 页）【解
12、答】解：把 x=1 代入得： =1，去分母得：4k+2a1+kb6=0 ，即（b+4）k=72a，不论 k 取什么实数，关于 x 的方程 =1 的根总是 x=1， ，解得：a= ，b=4，a+b= ，故选 C4 （4 分） （2013 镇海区校级自主招生）若 ，则 m20072=（ ）A2007 B2008 C2008 2 D2008 2【解答】解：根据二次根式有意义的条件得：m 20080，解得：m2008 ，则|2007 m|=m2007，原式=m2007+ =m，=2007，m2008=20072，m20072=2008，故选：B5 （4 分） （2014 余姚市校级自主招生）方程 6x
13、y+4x9y7=0 的整数解的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【解答】解：6xy+4x 9y7=3y（2x 3）+2（2x3） 1，=（2x3 ） （3y+2）1=0，全真优教初中数学第 8 页（共 21 页）所以（2x3） （ 3y+2）=1，因为方程 6xy+4x9y7=0 的整数解，所以 2x3 和 3y+2 也为整数，所以 2x3=3y+2=1 或者 2x3=3y+2=1，x1=2，y 1= （不合题意舍去）x2=1，y 2=1所以，方程 6xy+4x9y7=0 的整数解为 x=1，y=1；则方程 6xy+4x9y7=0 的整数解的个数为 1 组，故选：A6 （4 分） （2013
14、镇海区校级自主招生）在平面直角坐标系中有两点 A（2，2） ，B（3，2） ，C 是坐标轴上的一点，若ABC 是直角三角形，则满足条件的点共有（ ）A1 个 B2 个 C4 个 D6 个【解答】解：A，B 的纵坐标相等，ABx 轴，AB=3（ 2）=5C 是坐标轴上的一点，过点 A 向 x 轴引垂线，可得一点，过点 B 向 x 轴引垂线，可得一点，以 AB 为直径作圆可与坐标轴交于 4 点根据直径所对的圆周角是 90，满足条件的点共有 4 个，为 C，D，E，H加上 A、B 共6 个故选 D全真优教初中数学第 9 页（共 21 页）7 （4 分） （2013 镇海区校级自主招生）一个各面分别标
15、有数字 1、2、3、4、5、6 的骰子，连续投掷二次，分别出现数字 m、n，得到一个点 P（m ，n） ，则点 P 既在直线 y=x+6 上，又在双曲线 上的概率为（ ）A B C D【解答】解：列表得：（1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）（1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）（1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）（1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）（1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）（1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
16、 （5，1） （6，1）共 36 种等可能的结果，点 P 既在直线 y=x+6 上，又在双曲线 上的有：（2，4） ，（4，2） ，点 P 既在直线 y=x+6 上，又在双曲线 上的概率为： = 故选 C8 （4 分） （2013 镇海区校级自主招生）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：b0，c0，b 24ac0，a+b+c 0， 4a+2b+c0其中正确的有（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个【解答】解：抛物线开口向下，a0；又 抛物线的对称轴在 y 轴的右侧，x= 0，b 0，所以 正确；抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，c0，所以正确；抛物线与 x 轴有
17、两个交点，0，即 b24ac0，所以正确；全真优教初中数学第 10 页（共 21 页）当 x=1 时，y0，即 a+b+c0，所以正确；对称轴为直线 x=1，而抛物线与 x 轴的一个交点在点（ 0，0）与（1，0）之间，抛物线与 x 轴的另一个交点在点（1，0）与（2，0）之间，当 x=2 时，y0，即 4a+2b+c0，所以 不正确故选 C9 （4 分） （2013 镇海区校级自主招生）如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设 a=1，则这个正方形的面积为（ ）A B C D【解答】解：根据图形和题意可得：（a+b） 2=b（a+2b） ，其中 a=1，则方程是（1+b） 2=b
18、（1+2b ）解得：b= 所以正方形的面积为（1+ ） 2= ，故选：D10 （4 分） （2013 镇海区校级自主招生）二次函数 y=x2+6x7，当 x 取值为 txt+2 时，y最大值 =（t 3） 2+2，则 t 的取值范围是（ ）At=0 B0 t3Ct3 D以上都不对【解答】解：y= x2+6x7=（x 3） 2+2，当 t3t+2 时，即 1t3 时，函数为增函数，ymax=f（3）=2，与 ymax=（t 3） 2+2 矛盾当 3t+2 时，即 t1 时，y max=f（t+2）=（t 1） 2+2，与 ymax=（t3） 2+2 矛盾当 3t，即 t3 时，y max=f（t
19、 ）= （t 3） 2+2 与题设相等，故 t 的取值范围 t3，故选 C二、填空题（每题 6 分，共 30 分）全真优教初中数学第 11 页（共 21 页）11 （6 分） （2013 镇海区校级自主招生）已知关于 x 的不等式 mx2O 的负整数解只有1， 2，则 m 的取值范围是 【解答】解：解不等式 mx20移项得：mx2只有不等号方向改变，不等式才可能只有两个负整数解1， 2所以 m0则不等式的解集是：x根据题意得：3 2，且 m0解得：1m 12 （6 分） （2013 镇海区校级自主招生）用三种边长相等的正多边形地转铺地，其顶点在一起，刚好能完全铺满地面，已知正多边形的边数为 x
20、、y、z，则 的值为 【解答】解：由题意知，这 3 种多边形的 3 个内角之和为 360 度，已知正多边形的边数为 x、y、z，那么这三个多边形的内角和可表示为： + +=360，两边都除以 180 得：1 +1 +1 =2，两边都除以 2 得， + + = 故答案为： + + = 13 （6 分） （2013 镇海区校级自主招生）如图， OAP、ABQ 均是等腰直角三角形，点P、Q 在函数 y= （x0）的图象上，直角顶点 A、B 均在 x 轴上，则点 B 的坐标为 （1+ ，0） 【解答】解：OAP 是等腰直角三角形，全真优教初中数学第 12 页（共 21 页）直线 OP：y=x ，联立
21、y= （x0）可得 P（2，2） ；A（ 2， 0） ，由于直线 OPAQ，可设直线 AQ：y=x+h，则有：2+h=0， h=2；直线 AQ：y=x2；联立 y= （x0）可得 Q（1+ ， 1） ，即 B（1+ ，0） 故答案为：（1+ ，0） 14 （6 分） （2013 镇海区校级自主招生）若关于 x，y 方程组 的解为，则方程组 的解为 【解答】解：由题意得： ，方程组 可变形为： 对符合条件的 a1，b 1，a 2，b 2 都成立故答案为： 15 （6 分） （2013 镇海区校级自主招生）墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你打算搬走其中部分小正方体（不考虑
22、操作技术的限制） ，但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走 27 个小正方体全真优教初中数学第 13 页（共 21 页）【解答】解：第 1 列最多可以搬走 9 个小正方体；第 2 列最多可以搬走 8 个小正方体；第 3 列最多可以搬走 3 个小正方体；第 4 列最多可以搬走 5 个小正方体；第 5 列最多可以搬走 2 个小正方体9+8+3+5+2=27 个故最多可以搬走 27 个小正方体故答案为：27三、解答题（共 50 分）16 （6 分） （2013 镇海区校级自主招生）如图，矩形 ABCD 纸片，E 是 AB 上的一点，且BE：E
23、A=5：3，CE=15 ，把 BCE 沿折痕 EC 向上翻折，若点 B 恰好与 AD 边上的点 F重合，求 AB、BC 的长【解答】解：四边形 ABCD 是矩形A=B=D=90，BC=AD，AB=CD，AFE+AEF=90（2 分）F 在 AD 上， EFC=90，AFE+DFC=90，AEF=DFC，AEFDFC， （3 分） （4 分）BE：EA=5： 3设 BE=5k，AE=3kAB=DC=8k，由勾股定理得：AF=4k，DF=6k全真优教初中数学第 14 页（共 21 页）BC=AD=10k（5 分）在EBC 中，根据勾股定理得 BE2+BC2=EC2CE=15 ，BE=5k，BC=1
24、0kk=3（6 分）AB=8k=24，BC=10k=30 （7 分）17 （8 分） （2013 镇海区校级自主招生）如图，已知 ABCD 是圆 O 的内接四边形，AB=BD，BM AC 于 M，求证：AM=DC+CM【解答】证明：在 MA 上截取 ME=MC，连接 BE，BMAC，BE=BC，BEC=BCE，AB=BD， = ，ADB=BAD，而ADB=BCE，BCE=BAD，又BCD+BAD=180，BEA+BCE=180 ，BEA=BCD，BAE=BDC，ABEDBC，AE=CD，AM=AE+EM=DC+CM全真优教初中数学第 15 页（共 21 页）18 （13 分） （2013 镇海
25、区校级自主招生）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线 的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于 6 米（1）如图 1，若水平距离间隔 80 米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？（2）如图 2，若在一个坡度为 1：5 的斜坡上，按水平距离间隔 50 米架设两固定电缆的位置离地面高度为 20 米的塔柱求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？这种情况下，直接写出下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？【解答】解：（1）y= 402=16，16+6=22 米；固定电缆的位置离地面至少应有 22 米的高度（2）如图，
26、以点 A 为原点，建立坐标系，斜坡的坡度为 1：5，CD=50m，CE=10m，点 B 的坐标为（50，10） ，设抛物线的解析式为 y= x2+bx，10= 2500+50b，解得，b= ，抛物线的解析式为 y= x2 x= （x15） 22.25，设抛物线的顶点为 M，则 M（15，2.25） ，作 MFCD，交 DE 于点 G，交 CD 于点 F，MF=202.25=17.75m，又 DF=15m，FG= DF=3m，MG=MFFG=17.753=14.75m；即下垂的电缆与地面的最近距离为 14.75m全真优教初中数学第 16 页（共 21 页）19 （13 分） （2013 镇海区校
27、级自主招生）如图，直线 AD 对应的函数关系式为 y=x1，与抛物线交于点 A（在 x 轴上） 、点 D，抛物线与 x 轴另一交点为 B（3，0） ，抛物线与 y 轴交点 C（0，3 ） ，（1）求抛物线的解析式；（2）P 是线段 AD 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值；（3）若点 F 是抛物线的顶点，点 G 是直线 AD 与抛物线对称轴的交点，在线段 AD 上是否存在一点 P，使得四边形 GFEP 为平行四边形；（4）点 H 抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 Q，使 A、D、H、Q 这四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直
28、接写出所有满足条件的 Q 点坐标；如果不存在，请说明理由【解答】解：（1）令 y=0，则x1=0，解得 x=1，所以，点 A 的坐标为（1，0） ，设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，B（3，0） ，C（0，3）在抛物线上，全真优教初中数学第 17 页（共 21 页） ，解得 ，所以，抛物线解析式为 y=x22x3；（2）P 是线段 AD 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，设点 P（x， x1） ，则点 E 的坐标为（ x，x 22x3） ，PE=（ x1） （x 22x3） ，=x1x2+2x+3，=x2+x+2，=（x ） 2+ ，联立 ，解得 ， ，所以，
29、点 D 的坐标为（2，3） ，P 是线段 AD 上的一个动点，1x 2，当 x= 时，PE 有最大值，最大值为 ；（3）y=x 22x3=（x1） 24，点 F 的坐标为（1，4） ，点 G 的横坐标为 1，y=11=2，点 G 的坐标为（ 1，2） ，全真优教初中数学第 18 页（共 21 页）GF=2（ 4）= 2+4=2，四边形 GFEP 为平行四边形，PE=GF，x2+x+2=2，解得 x1=0，x 2=1（舍去） ，此时，y= 1，点 P 的坐标为（0，1） ，故，存在点 P（0， 1） ，使得四边形 GFEP 为平行四边形；（4）存在理由如下：当点 H 在 x 轴下方时，点 Q 在
30、 x 轴上，HDAQ，点 H 的纵坐标与点 D 相同，是3，此时，x 22x3=3，整理得，x 22x=0，解得 x1=0，x 2=2（舍去） ，HD=20=2，点 A 的坐标为（ 1，0） ，12=3，1+2=1 ，点 Q 的坐标为（ 3，0）或（ 1，0） ；当点 H 在 x 轴上方时，根据平行四边形的对称性，点 H 到 AQ 的距离等于点 D 到 AQ的距离，点 D 的纵坐标为 3，点 H 的纵坐标为 3，x22x3=3，整理得，x 22x6=0，解得 x1=1 ，x 2=1+ ，点 A 的横坐标为 1，点 D 的横坐标为 2，全真优教初中数学第 19 页（共 21 页）2（ 1） =2
31、+1=3，根据平行四边形的性质，1 +3=4 ，1+ +3=4+ ，点 Q 的坐标为（4 ，0）或（4+ ，0） ，综上所述，存在点 Q（3，0）或（1，0）或（4 ，0）或（ 4+ ，0） ，使A、D、H、Q 这四个点为顶点的四边形是平行四边形20 （10 分） （2013 镇海区校级自主招生）一幢 33 层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳 32 人，而且只能在第 2 层至第 33 层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到 1 分不满意，往上走一层楼梯感到 3 分不满意，现在有 32 个人在第一层，并且他们分别住在第 2 至第 33 层的每层，问：电梯停在哪一层时，可
32、以使得这 32 个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼） 【解答】解：由题意易知，这 32 个人恰好是第 2 层至第 33 层各住 1 人，对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数事实上，设住 s 层的人乘电梯，而住在 t 层的人直接上楼， st ，交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意的总分减少设电梯停在第 x 层，在第 1 层有 y 人没有乘电梯即直接上楼，那么不满意的总分为：s=31+2+3+（33x）+3（ 1+2+y）+1+2+（x y2），= + + ，=2x2（ y+102）x+2y 2+3y+1684，=2（x ） 2+ （15y 2180y+3068） ，=2（x ） 2+ （y6） 2+316316又当 x=27，y=6 时，s=316 ，全真优教初中数学第 20 页（共 21 页）故当电梯停在第 27 层时，不满意的总分最小，最小值为 316全真优教初中数学第 21 页（共 21 页）参与本试卷答题和审题的老师有：zhxl；lf2-9；zjx111；sd2011；gbl210；mmll852；lanchong；zcx； gsls；mrlin ；zhjh；HJJ；MMCH；yeyue；73zzx；星期八；CJX（排名不分先后）菁优网2016 年 4 月 26 日
