1、1【典型例题】类型一、平面向量的相关概念例 1. 下列说法中正确的是 非零向量 与非零向量 共线，向量 与非零向量 共线，则向量 与向量 共线；abcac 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点； 向量 与 不共线，则 与 所在直线的夹角为锐角； 零向量模为 0，没有方向； 始点相同的两个非零向量不平行； 两个向量相等，它们的长度就相等； 若非零向量 与 是共线向量，则 A、B、C、D 四点共线。ABCD【答案】【解析】 向量共线即方向相同或相反，故非零向量间的共线关系是可以传递的；相等向量是共线的，故四点可能在同一直线上； 向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可
2、能是直角或锐角；零向量不是没有方向, 它的方向是任意的； 向量是否共线与始点位置无关； 两个向量相等，它们的长度相等，方向相同；共线向量即平行向量，非零向量 与 是共线向量，可能 A、B、C、D 四点共线，也可能ABCDAB、CD 平行。【总结升华】从向量的定义可以看出，向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量可将代数问题与几何问题相互转化。零向量是一特殊向量，它似乎很不起眼，但又处处存在。因此，正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系值得我们重视。对于平行向量或共线向量，它们可以在同一直线上，也可以所在直线互相平行，方向可以相同也可以相反；相等向量则必须大小相等、方向相同。举一反三：【变
3、式 1】判断下列各命题是否正确,并说明理由: (1) 若 ,则 ；|a=b|(2) 单位向量都相等；(3) 两相等向量若起点相同,则终点也相同；(4) 若 ， ,则 ； ca=c(5) 若 ,则 ； |(6) 由于零向量方向不确定,故它不能与任意向量平行.【答案】(1) 错；模相等,方向未必相同；(2) 错；模相等,方向未必相同；(3) 正确；因两向量的模相等,方向相同,故当他们的起点相同时,则终点必重合；(4) 正确；由定义知是对的；(5) 错；向量不能比较大小；(6) 错；规定:零向量与任意向量平行.【变式 2】在复平面中，已知点 A（2，1） ，B（0，2） ，C（2，1） ，O（0，0
4、）.给出下面的结论：直线 OC 与直线 BA 平行； ； ； .AB2AC2其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】 ， ，OC AB，正确；1Ok210BAk ，错误； ，正确；(0,2)AC ， ，正确. 故选 C.4B(4,0)A类型二、平面向量的加减及其线性运算例 2. 如图，已知梯形 中， ，且 ， 、 分别是 、 的中点，BD/CAB2DMNCDAB设 ， ，试以 、 为基底表示 、 、 .Daba【解析】连结 ，则ND；12ABCb ，/ ；1ND2ab又 1C24M .BM4【总结升华】本题实质上是平面向量基本定理的应用，由于 ， 是两个不共线的向量，
5、那么ADB平面内的所有向量都可以用它们表示出来.本题的关键是充分利用几何图形中的线段的相等、平行关系，结合平行向量、相等向量的概念，向量的线性运算，变形求解.举一反三：【变式 1】在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 ， ，则2AB13CAB=_.【答案】23【解析】由图知 CA， DB且 。20A3+2 得： ， ， .32CDAB123CDAB23【变式 2】ABC 中，点 D 在 AB 上， 平分 ，若 ， ， ， ，CaAb1a2则 （ ）A. B. C. D. 13ab213ab345ab35b【答案】 B【变式 3】如图, 为平行四边形 边 上一点,且 ,设 ， ，若EA
6、BCD14AEDBaCb， ，求 的值. 15AFCk【解析】 1()5AFCab又 1()4BkEABk-a而 ， +由解得 .45k【变式 4】若 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）OEF， ，A B C DOFEOFEFOE【答案】B【变式 5】已知 是 所在平面内一点， 为 边中点，且 ，那么（ AC DB2ABC0） AOD2O3OD2AOD【答案】A【解析】因为 为 边中点，所以由平行四边形法则可知： ，BCBC又 ，所以 .2ADA例3.设两个非零向量 不共线，a,b（1）若 求证： ， ， 三点共线.,3().B+C8a-bBD（2）试确定实数 ，使 和 共线.kk
7、+【解析】 （1）证明： ,2,(),AabB8Ca-b4；23()5()BDCa+8b-a+bAB共线，,A又 它们有公共点 ， ， ， 三点共线.ABD（2） 和 共线， 存在实数 ，使 ，ka+bk()kka+b即 ，()(1)是不共线的两个非零向量，,20,.kk.1【总结升华】证明三点共线问题，可以用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线.向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数与方程思想的运用.举一反三：【变式 1】已知平面内有一点 P 及一个ABC，若 ，则（
8、）PABCA点 P 在ABC 外部 B点 P 在线段 AB 上C点 P 在线段 BC 上 D点 P 在线段 AC 上【答案】D 【解析】 ， ，即 ，CA 0 0PABC ， ，点 P 在线段 AC 上.02【变式 2】若 、 是两个不共线的向量, , ， ,已知 A、C、DabB2ka+bCa2ab三点共线,求实数 的值.k【答案】 7【解析】 ， ,(2)(ACBka+b3(1)kDA,C,D 三点共线, 共线,ACD令 , 不为零, ,3(1)(2)ka+bab ,.7k5【变式 3】已知向量 、 不共线， ，如果 ，那么（ ）ab(),kca+bRda-bcdAk=1 且 与 同向 B
9、k=1 且 与 反向cdCk=1 且 与 同向 Dk=1 且 与 反向c【答案】D 【解析】 且 、 不共线， 存在唯一实数 使 = ，cdabd ， ，故选 D.()ka+b-1k1k【高清课堂：平面向量的概念与线性运算 401193 例 2】【变式 4】已知向量 ，且 则一定共线的（ ）,56,72,ABabCabDab（A） 、B、D （B ） A、B 、C （C） B、C、D （D ）A、C、D【答案】A 类型三、平面向量的基本定理、坐标表示及综合应用例 4设向量 ， ， ， 若 ，求使 成立的实(1,3)a(x1,2)bc=ab12dab/dcd数 和 的值.x【解析】由题知： ，(
10、,7)c 3(x,) ， ，解得 ，/d132)0xx5 ， 7(,)3c(,6由 得 ，)2 ， 即 .7214【总结升华】考查向量的坐标运算及平行垂直的坐标表示是考试命题的主要方式之一,准备掌握公式,灵活运用.举一反三：【变式 1】已知 ， ，若 , 是共线向量,求实数 的值;(1,2)a(,x)b2abx【解析】由已知有: ， ，34(12x) ,()/() ,解得 .3210xx【变式 2】设向量 a=（1，2） ，b=（2，3） 。若向量 与向量 c=（4，7）共线，则ab=_.6【答案】2【解析】 ， ， . 故填 2.(2,3)ab()/abc7(2)4(3)2【变式 3】如图，
11、在ABC 中，ADAB， ， ，3BCD|1A则 _.ACD【答案】 3【解析】 建系如图所示:令 B（x B，0） ，C （x C，y C） ，D （0，1） ， ， ， ，(,)(,)Bx3CD ， ，3CBByCy， ，则 .(1),BAx(0,1)AD3A【变式 4】若平面向量 、 满足 , 平行于 x 轴， ，则 =_.abab(2,1)ba【答案】 （1，1）或（3，1）【解析】设 =（x，y） ，则 =（x+2 ，y1） ，由题意得 或 .22()(1)0x 3 =（1，1）或（3，1）.a【高清课堂：平面向量的概念与线性运算 401193 例 3】【变式 5】若直线 按向量 平
12、移后与圆 相切，则 c 的值为（ 02cyx)1,(a52yx）A8 或2 B6 或4 C4 或6 D2 或8【答案】A例 5A，B，C 是不共线三点，点 O 是 A，B，C 确定平面内一点，若 取最小222|OABC值时，O 是ABC 的（ ）A重心 B垂心 C内心 D外心【答案】A【解析】设 O（x，y） ，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，C（x 3，y 3）则 22|S222211 33()()()()()()xy2231233xxx 21213yy72213133()()xyk则当 且 时， ，故选 A.22minS【总结升华】关注三角形的“心” ，包括三角形的重心、垂
13、心、外心、内心和旁心.举一反三：【变式 1】在 中，点 满足 ，则点 在 的（ ）上ABCOABCOABCA.角平分线 B. 中线 C.中垂线 D. 高【答案】D；【解析】 ， ，0即 ， ，()0OABCOAB ，所以点 在 的高上.【变式 2】平面ABC 及一点 O 满足 ， ，则点 O 是ABC 的（ ABOCB）A重心 B垂心 C内心 D外心【答案】选 D.【解析】由 得AB()0A 即()()0O2|OB ，|同理 ，故选 D.|BC【变式 3】平面内 及一点 O 满足 ， ，则点 O 是A|ABOC|ACB的（ ）AC（A）重心 （B）垂心 （C）内心 （D）外心【答案】C【解析】对于 的理解，其中 ，即为 方向上的单位向量.|AABe【变式 4】在 中，点 满足 ，则点 在 的（ ）上BCO0ACOCA.角平分线 B. 中线 C.中垂线 D. 高【答案】B；【解析】如图，以 OB、OC 为邻边作平行四边形 ，BD则 ，D则点 、 、 三点共线，而且在平行四边形 中，点 为 的中点，AOCOEB8所以 为 的中线AEBC
