1、基础力学电子教案系列之,航空宇航学院 结构强度研究所,结构力学,结构力学教程,一、弹性力学基础弹性力学是固体力学的一个分支学科，它研究弹性体在外力和 其它外部因素作用下所产生的变形和内力。,二、结构力学结构力学是工程力学的一个分支，它研究结构(杆系结构、薄壁结构等)在外力和其它外部因素作用下所产生的变形和内力。,结 构 力 学,三、研究方法对比,结构力学教程,数学方法 位移法 应力法 应变函数法等,工程方法 力法 静定结构 静不定结构 位移法等,结 构 力 学,基本假定,基本方法,基本概念,弹性力学,第一部分,基本方程,基本解法,基本问题,能量原理,1、研究内容 研究对象： 材料力学研究杆状弹
2、性体在拉伸、压缩、剪切、弯曲和扭转作用下的变形和内力。 弹性力学研究的对象则没有形状的限制。,第一章 弹性力学础,第一章：弹性力学基础,第一节 引 言,1、研究内容 研究方法： 材料力学除了采用一些基本假设外，还引进一些关于变形状态或应力分布的补充假设。 弹性力学并不需要引进这样的假设。 例如,第一章：弹性力学基础,弹性力学的研究方法更为严密，所得的结果也比材料力学精确。,第一章 弹性力学础,第一节 引 言,连续性假设 认为构成物体的材料是密实无间隙的连续介质。因此，物体中的应力、应变、位移等物理量就可以看成是连续的，在数学上可以用连续函数来表示。,第一章：弹性力学基础,材料的匀质和各向同性假
3、设 匀质指物体内各处材料的力学性质都相同，与各点的空间位置无关。各向同性指在物体内任一点处材料在各个方向的物理性质都相同。因此，反映这些物理性质的弹性系数不随坐标和方向而改变。,2、弹性力学的基本假设,第一章：弹性力学基础,2、弹性力学的基本假设,完全弹性假设 假设材料是完全弹性的，且服从虎克定律定律，物体在外力作用下变形，除去外力后，物体完全恢复原状，没有任何剩余变形。同时应力与应变成正比。,小变形假设 假设物体在外力作用下引起变形而产生的位移，与物体最小特征尺寸相比是很微小的。这样，在研究物体受力后的平衡状态时，可不考虑物体尺寸的变化，而应用变形前的尺寸，这样就使得弹性力学的微分方程成为线
4、性的。,第一章：弹性力学基础,外力 作用在物体上的外力可分为体力和面力。体力：是分布在物体整个体积内的力，如重力、惯性力等。大小的表示、方向的表示、 量纲为力长度3。面力：是作用于物体表面上的力，如流体压力、接触力等。大小的表示、方向的表示、 量纲为力长度2。,3、弹性力学中基本概念,应力 物体受到外力作用会在其内部引起应力。,第一章：弹性力学基础,应变弹性体受力后，它是形状和尺寸都要改变，这种改变可以归结为长度的改变和角度的改变。,3、弹性力学中基本概念,各线段每单位长度的伸、缩称为正应变，用表示。 每两线段之间直角的改变称为剪应变，用表示。,第一章：弹性力学基础,位移 物体受力后，它内部各
5、点将发生位置的移动。物体内任一点的位移用它在x、y、z三坐标轴上的投影u、v、w来表示，沿坐标轴正方向为正，反之为负。这三个投影称为该点的位移分量。,3、弹性力学中基本概念,一般而言，弹性体内任意点的体力分量、面力分量、应力分量、应变分量和位移分量都是随点的位置不同而改变的，因而，都是点位置坐标的连续函数。以下的问题：就是寻求体力分量、面力分量、应力分量、应变分量和位移分量四类分量之间的关系。,第一章：弹性力学基础,现在的问题 ,就是寻求体力分量、面力分量、应力分量、应变分量和位移分量四类分量之间的关系。,第一章：弹性力学基础,材料力学：采用截面法。 弹性力学：采用微元体法。,4、弹性力学的基
6、本方程,平衡方程外力应力 几何方程位移应变 物理方程应力应变,第一章：弹性力学基础,平 衡 微 分 方 程,第二节 基 本 方 程,力 矩 平 衡 方 程,第一章：弹性力学基础,平衡微分方程,第一章：弹性力学基础,2.1、几何方程,正应变,剪应变,第一章：弹性力学基础,2.2、刚体位移和位移边界条件,当物体的位移分量给定时，应变分量就完全确定了。反过来，当应变量给定时，位移分量却不能完全确定。,平面刚体位移 ：以xoy投影面内PAB位移为例。令其应变分量为零来求出相应的位移分量,第一章：弹性力学基础,2、几何方程和变形协调方程,2.1、几何方程,几何方程: 研究应变分量和位移分量之间的关系.,
7、在外力作用下，弹性体发生变形。弹性体中任一点P0，变形后移到了点P1，矢量就是点P0的位移，它在三个坐标轴上的投影分别用u、v、w表示，它们都是坐标的函数，见右图,第一章：弹性力学基础,2.3、变形协调方程,由几何方程可见，六个应变分量完全由三个位移分量对坐标的偏导数确定。因此，六个应变分量不是互相独立的，它们之间必然存在一定的关系。从物理意义上讲，就是在变形前连续的物体，变形后仍是连续的。,第一章：弹性力学基础,2.3、变形协调方程,第一章：弹性力学基础,3、物理方程,前面导出了平衡微分方程和几何方程，适用于任何弹性体，与物体的物理性质无关。但仅有这两组方程还不能求解，还必须考虑物理学方面，
8、建立起应变分量与应力分量之间的关系，这些关系式称为物理方程。,第一章：弹性力学基础,3、物理方程,对于各向同性弹性体，可以证明仅有两个独立的弹性常数，其应变分量与应力分量之间的关系如下：,右式也称广义虎克定律。式中E为材料拉压弹性模量，为泊松比，G为剪切弹性模量，而且三者之间如下式：,第一章：弹性力学基础,3、物理方程,以应力分量来表示应变分量的，若用应变分量来表示应力分量，其物理方程为,第一章：弹性力学基础,3、应力边界条件和圣维南原理,边 界 条 件,圣维南原理,位移边界条件 应力边界条件,如果把作用在物体的一小部分边界上的力系，用一个分布不同但静力等效的力系（主矢量相同，对同一点的主矩也
9、相同）代替，则仅在此边界附近的应力分布有显著的改变，而在距该区域较远的地方几乎没有影响。,第一章：弹性力学基础,基 本 方 程 小 结,第一章：弹性力学基础,第三节 平 面 问 题,1、平面应力和平面应变问题,2、平面问题的基本方程 （推导） （简化25）,第一章：弹性力学基础,平衡方程,力边界,位移边界,几何方程,变形协调方程,平面问题的物理方程,第一章：弹性力学基础,平面应力,平面应变,第一章：弹性力学基础,2、平面问题的基本解法,位移法:以位移分量u和v作为基本未知函数，利用几何方程和物理方程，将应力分量用位移分量来表示，代入平衡微分方程、应力边界条件，就得到以位移分量为未知函数的定解方
10、程、以及力边界条件。,位移法、应力法、以及应力函数法,第一章：弹性力学基础,2、平面问题的基本解法,应力法：以应力分量作为基本未知量，利用平衡微分方程和变形协调方程可共同确定这三个未知函数。在这三个方程中，两个平衡方程本来就是用应力分量表示的，尚需将应变分量表示的变形协调方程改为用应力分量表示，得到所需的第三个方程。,位移法、应力法、以及应力函数法,第一章：弹性力学基础,2、平面问题的基本解法,应力函数法:,位移法、应力法、以及应力函数法,逆解法 、半逆解法,第一章：弹性力学基础,1.4 用直角坐标解平面问题,一、多项式的应力函数:假设体力不计，即X=Y=0,1、一次式：,2、二次式：,3、三
11、次式：,4、四次式或四次以上多项式应力函数 ：,第一章：弹性力学基础,有一矩形截面的简支梁，长度为2l，高度为h，宽度取1，略去体力，受均布载荷q作用（如下图）。试求梁的应力、应变和位移分量。,二、承受均布载荷简支梁的弯曲 解,第一章：弹性力学基础,一、极坐标中平面问题的基本方程,1.5 用极坐标解平面问题,平衡方程,第一章：弹性力学基础,几何方程,1.5 用极坐标解平面问题,径 向 位 移,环 向 位 移,第一章：弹性力学基础,几何方程,1.5 用极坐标解平面问题,物理方程,第一章：弹性力学基础,二、极坐标下的应力函数和变形协调方程,1.5 用极坐标解平面问题,常（无）体力情况下,第一章：弹
12、性力学基础,三、应力与极角无关的问题,1.5 用极坐标解平面问题,有些问题应力的分布对称于通过坐标原点o并垂直xoy平面的z轴，在这种情况下，应力与极角无关，而仅是r的函数，且由于轴对称，剪应力r =0，只有正应力r和。因此，应力函数也与极角无关，只是径向坐标的函数。,第一章：弹性力学基础,三、应力与极角无关的问题,1.5 用极坐标解平面问题,无孔无体力，唯一可能的应力是均匀受拉或均匀受压；有孔则有其他解答。,第一章：弹性力学基础,四、承受均匀压力的厚壁圆筒,1.5 用极坐标解平面问题,图1-19,边界条件为: 在r=a处，r =qa, r =0 在r=b处，r =qb, r =0,第一章：弹
13、性力学基础,四、承受均匀压力的厚壁圆筒,1.5 用极坐标解平面问题,1、圆筒只受外压,第一章：弹性力学基础,四、承受均匀压力的厚壁圆筒,1.5 用极坐标解平面问题,2、圆筒只受内压,第一章：弹性力学基础,五、孔边的应力集中,1.5 用极坐标解平面问题,第一章：弹性力学基础,五、孔边的应力集中,1.5 用极坐标解平面问题,应力解为:,孔边各点处应力分量r和r均为零, 的分布规律为:,Y:,X:,第一章：弹性力学基础,六、等厚度旋转圆盘中的应力,1.5 用极坐标解平面问题,由于圆盘本身和受到的离心力都对称于圆盘的旋转轴，故为轴对称平面应力问题。不过和前面不同的是，体力不等于零，而是离心力。因轴对称
14、，应力、应变和位移都与极角无关，只是r的函数。而平衡微分方程变成如下单个方程，第二式自行满足。,第一章：弹性力学基础,六、等厚度旋转圆盘中的应力,1.5 用极坐标解平面问题,实 心 圆 盘,空 心 圆 盘,第一章：弹性力学基础,1、四个基本假定,小结,2、三类基本方程,3、两类边界条件,4、两种平面问题,5、三种基本解法,6、用直角坐标解平面问题,7、用极坐标解平面问题,连续性假定 均匀各向同性假定 小变形假定 完全弹性假定,平衡微分方程 几何方程、变形协调条件 物理方程,力边界条件 位移边界条件,平面应力问题 平面应变问题,位移法 应力法 应力函数法,受均布载荷简支梁的弯曲,三个例子,Tha
15、nk you very much!,材料力学解,弹性力学解,例1,例2,平衡微分方程的推导,平 衡 微 分 方 程,力矩平衡方程的推导,剪应变推导,平面刚体位移的推导,平面刚体位移的推导,对于一般的三维弹性体，如果令其六个应变分量均为零，采用与上述类似的方法，可求出体内各点的位移分量，下式中u0、 v0、 w0分别为弹性体沿x、y、z三个坐标轴方向的刚体平动，x、y、z分别为弹性体绕x、y、z三个坐标轴的刚体转动。,应 力 边 界 条 件 的 推 导,应 力 边 界 条 件 的 推 导,圣维南原理应用举例,圣维南原理虽然至今还没有得到确切的数学表示和严格的理论证明，但是，大量的实际计算和实验结
16、果都证实了该原理是正确的。,平 面 应 力 问 题,只有面内应力分量x、y、xy存在，并且由于板很薄，只是坐标x、y的函数，而与坐标z无关。但应变z和位移w不为零。,平 面 应 变 问 题,柱形体无限长任一横截面皆为对称面，即w = 0、 z=0。由对称条件知zx和yz也为零。故只有平行于xoy坐标平面的三个应变分量x、y和xy。但应力z一般不为零。,平面问题的平衡方程的推导,位移法,应力法,平面应力：将物理方程变形协调方程,由平衡微分方程消去上式中的xy,在一般情况下，平面应力问题归结为联立求解平衡方程（1-7）和变形协调方程（f）；平面应变问题则是求解平衡方程（1-7）和变形协调方程（g）
17、。当体力为常值时，两类平面问题统一于求解平衡方程（1-7）和变形协调方程（1-13）。并使所得的解答满足应力边界条件（1-8）。,用应力法求解常体力的弹性力学平面问题时，所用的平衡方程、变形协调方程和边界条件都不含有反映材料性质的弹性常数，因而在解答中也不含有弹性常数。这表明，平面问题的应用分量x、y和xy与弹性体的材料无关。这在进行平面问题的模型试验时，利用透明材料代替物体原来的材料制作模型，用偏振光测应力，就是以上述结论为根据的。,应力法,应力函数法,特解：,通解：,应力函数法,应力函数法求解：求解应力函数表示的变形协调方程。,2、二次式：,应力分量x=0、y=2a,xy=0。对应矩形板在
18、y方向受均布拉压载荷的问题（图（a） ）,应力分量为x=0、y=0,xy=xx=b。对应矩形板应力均布剪力的问题（图（b）,应力分量为x=2c、y=0,xy=0 。对应矩形板在x方向受均布拉压问题（图1-12（c）,3、三次式,1应力函数的选取：假定不随x而变，仅是y的函数。即,代入双调和方程,前两式积分：,代入第三式：,得到应力函数：,得到应力分量：,应用边界条件前，先用对称条件：,对于y任意值,应用边界条件：在y=h/2处，y = 0， yx= 0在y=h/2处，y =q，yx= 0,代入，得,2、得到应力：,第二项是修正项，随跨度的增加而减小。当h/l=0.5，即梁的跨度是截面高度的四倍时，修正项只达主要项的1.67%。,3位移分量的确定,由对称性，即x=0处，u=0； 由端部条件，即x=l、y=0处，v=0。,3位移分量的确定,最大挠度发生在梁跨度中点处,第一项与材料力学解答相同，第二项则代表弹性力学提出的修正项。随着l/h的增大，第二项的影响愈来愈小。,只 有 向 位 移,只 有 环 位 移,
