1、传 染 病 传 播 模 型传染病“仓室”模型： Kermack 与 McKendrick 在1927年创立Kermack 与 McKendrick 的 SIR仓室模型： 所谓SIR仓室模型就是针对某类传染病将该地区的人群分成 以下三类（即三个仓室）： 易感类(Susceptibles)：其数量记为S(t)，表示t时刻未 染病但可能被该类疾病传染的人数； 染病类(Infectives)：其数量记为I(t)，表示t时刻已经 被感染成病人而且具有传染力的人数； 移出类(Removed)：其数量记为R(t)，表示t时刻已经从染 病类移出的人数；Susceptibles Infectives已感染人数（
2、病人） ) (t i 每个病人每天有效接触 ( 足以使人致病) 人数为 模型1 假设 t t i t i t t i = + ) ( ) ( ) ( 0 ) ( i t i i dt di = = i t 若有 效接 触的 是病 人， 则不能使病人数增加 t e i t i 0 ) ( = 必须区分已感染者( 病 人) 和未感染者( 健康人) 建模 ?si dt di = 1 ) ( ) ( = + t i t s 模型2 区分已感染者( 病人) 和未感染者( 健康人) 假设 1 ）总人数N不变，病人和健 康人 的 比例分别为 ) ( ), ( t s t i 2 ）每个病人每天有效接触 人
3、数为, 且使接触的健康人致病 建模 t t i t Ns t i t t i N = + ) ( ) ( ) ( ) ( = = 0 ) 0 ( ) 1 ( i i i i dt di 日接触率 SI 模型t e i t i + = 1 1 1 1 ) ( 0 = = 0 ) 0 ( ) 1 ( i i i i dt di 模型2 i i 0 1/2 1 0 t m t = 1 1 ln 0 1 i t m t m 传染病高潮 到来时 刻 ( 日接触率) t m 1 i t Logistic 模型 病人可以治愈！ ? = = 0 ) 0 ( ) 1 ( i i i i i dt di 模型3
4、传染病无免疫性病人治愈成 为健康人，健康人可再次 被感染 增加假设 SIS 模型 3 ）病人每天治愈的比 例为 日 治愈率 t t Ni t t i t Ns t i t t i N = + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 建模 / = 日接触率 1/ 感染期 一个感染期内 每个病人的有效接触 人数，称为接触 数 。 = 1 , 0 1 , 1 1 ) ( i ) 1 1 ( = i i dt di 模型3 i 0 1 1 1 i 0 0 t i 1 i 0 t i 0 i di/dt 1-1/ 0 1 1 1 = 阈值 / = 接触数 1 ) (t i 小 0 1 i 形曲线增长 按
5、S t i ) ( 感染期内有效接触感染的 健康者人数不超过病人数模型4 传染病有免疫性病人治愈 后即移出感染系统，称移 出者 SIR 模型 假设 1 ）总人数N不变，病人、健 康人和 移 出者的比例分别为 ) ( ), ( ), ( t r t s t i 2 ）病人的日接触率 , 日 治愈率 , 接触数 = / 建模 1 ) ( ) ( ) ( = + + t r t i t s 需建立 的两个方程 ) ( ), ( ), ( t r t s t it t i t Ns t s t t s N = + ) ( ) ( ) ( ) ( = = = = 0 0 ) 0 ( , ) 0 ( s
6、s i i si dt ds i si dt di t t Ni t t i t Ns t i t t i N = + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 模型4 SIR 模型 很小） 通常 0 0 0 ) 0 ( ( 1 r r s i = + 无法求出 的解析解 ) ( ), ( t s t i 在相平面 上 研究解的性质 i s = = = 0 0 1 1 i i s ds di s s 0 0 0 ln 1 ) ( ) ( s s s i s s i + + = 模型4 = = = = 0 0 ) 0 ( , ) 0 ( s s i i si dt ds i si dt di /
7、= 消去dt SIR 模型 1 , 0 , 0 ) , ( + = i s i s i s D 相轨线 的定义域 ) (s i 相轨线 1 1 s i 0 D 在D内作相轨线 的图形，进行分析 ) (s is i 1 0 1 D P 1 模型4 SIR 模型 相轨线 及其分析 ) (s i = = = = 0 0 ) 0 ( , ) 0 ( s s i i si dt ds i si dt di = = = 0 0 1 1 i i s ds di s s 0 0 0 ln 1 ) ( ) ( s s s i s s i + + = 0 ln 1 0 0 0 = + + s s s i s 满足
8、 图形 = = = s i s i i t s s i m , ) / 1 ( , 0 , ) ( : ) ( s / 1 0 ) ( ) ( / 1 1 0 先升后降至 t i P s 0 ) ( ) ( / 1 2 0 单调降至 t i P s P 2 传染病蔓延 传染病不蔓延 阈值 / 1 = s s s s 0 0 ln ln 模型4 预防传染病蔓延的手段 ( 日接触率) 卫生水平 ( 日 治愈率) 医疗水平 / 1 0 s 传染病不蔓延的条件 = , ) / ( / 1 提高阈值 = + + 0 0 0 0 0 ) 1 ( r r i s s 降低 群体免疫 的估计 0 ln 1 0
9、 0 0 = + + s s s i s 0 i 忽略艾滋病孤儿预测模型 建模思想和方法 北京理工大学理学院数学系徐厚宝 第一部分 问题的来源1. 什么是艾滋病 艾滋病 是一种严重的传染性疾病，是由艾 滋病病毒（HIV）感染引起的。HIV主要破 坏人体的免疫系统，引起人体抵抗力逐渐 下降，甚至基本消失。 艾滋病的医学全名叫“获得性免疫缺陷综 合征”，艾滋病是其英文全称缩写(AIDS) 的音译。2. 中国艾滋病流行现状 我国大陆各省艾滋病报告数量，1985-2003年。 来源：中国卫生部 2004年2001-2010年估计的累计HIV感染者数 年 份 2001 2002 2003 2004 20
10、05 2006 2007 2008 2009 2010 人 数 90 112 127 144 162 180 201 222 236 251 资料来源：政策和法律环境对艾滋病在我国传播影响的模拟 袁建华，许屹，姜涛，徐厚宝. 2003年 单位：万人3. 艾滋病孤儿的定义 将父母一方或双方死于艾滋病的17岁以下 的儿童定义为艾滋病致孤儿童 依据定义，可以将艾滋病孤儿分为三类： 1. 丧母孤儿； 2. 丧父孤儿； 3. 失去双亲的孤儿。 定义引自生活在边缘的儿童2004. UNAIDS,UNICEF4. 为什么要估计和预测艾滋病孤儿数量 更好的了解艾滋病对孤儿数量的影响； 为国家、政府提供决策支持
11、： 1. 政策法规； 2. 财政预算拨款； 3. 开发艾滋病孤儿关怀模式。第二部分 建立模型前的准备工作1. 艾滋病发展阶段 感 染 潜 伏 发 病 死 亡 2 个 月 8 年 1 年每年的新发HIV感染数 年龄段 2000 2001 2002 2003 2004 2005 性别 男 女 男 女 男 女 男 女 男 女 男 女 15-19 13.5 6.44 12.48 5.94 21.21 9.02 19.13 8.91 25.7 11.62 35.95 16.64 20-24 0 2.31 0 1.08 7.83 5.81 5.32 4.75 10.6 7 19.4 11.79 25-29
12、 10.65 2.25 9.86 1.73 22.7 7.04 16.14 5.53 20.52 6.6 28.71 10.15 30-34 8.18 3.43 7.23 2.94 24.19 7.79 17.34 6.75 24.78 8.17 38.62 13.12 35-39 5.63 0.89 6.5 0.47 22.51 4.15 18.67 3.73 27.45 5.42 43.4 9.81 40-44 4.39 0.98 5.06 1.26 15.96 3.26 12.27 3.43 18.05 4.43 29.7 7.22 45-49 1.24 0.89 1.08 0.71 8
13、.21 2.22 4.13 1.52 6.35 2.09 12.58 3.53 50-54 0 0.32 0 0.36 0 1.35 0 1.3 0 1.91 0.96 3.21 55-59 0 0 0 0 0.76 0 1.04 0 1.84 0 3.18 0 60-64 0.34 0.28 0.39 0.25 0.73 0.42 0.51 0.42 0.48 0.58 0.55 1.11 65-69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 70-74 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 75-79 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
14、0 0 0 0 0 0 合计(千人) 45.06 18.86 43.78 15.89 125.5 42.45 96.2 37.9 137.7 49.65 215.5 78.89AIDS 死亡分布图 Cumulative proportion of adults progressing from HIV infection to AIDS death 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Years since infection Female Male Median = 9.4 Median = 8.6各 年 死 于 AIDS
15、的 妇 女 人 数 年龄 死于AIDS的妇女人数(分年龄/年份) 2010年 2009年 2008年 2007年 2006年 2005年 2004年 2003年 2002年 2001年 2000年 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 24 0 5 5 6 6 4 3 3 2 2 2 25 0 44 46 49 38 29 27 20 19 19 17 26 0 179 189 162 122 107 86 75 74 67 58 27 0 495 446 352 296 241 207 196 181 158 156 28 0 932 770 639 519 438 409 37
16、0 329 314 289 29 0 1373 1141 924 768 708 626 562 525 489 475 30 0 1745 1413 1163 1054 908 820 749 702 697 703 31 0 1889 1547 1376 1151 1043 929 873 888 949 749 32 0 1827 1599 1293 1168 1010 949 988 1118 945 737 33 0 1673 1314 1179 982 914 973 1157 1045 894 555 34 0 1248 1112 890 810 870 1063 1020 95
17、2 653 416 35 0 1040 812 718 749 892 896 898 679 497 333 36 0 811 705 691 737 743 771 633 529 419 307 37 0 795 741 679 640 641 551 510 473 403 334 38 0 889 749 645 577 488 468 489 473 440 355 39 0 924 767 622 492 445 481 505 518 465 360 40 0 979 776 590 480 480 511 555 546 471 345 41 0 1010 782 599 5
18、26 519 563 587 554 447 325 42 0 1039 803 647 567 572 597 595 519 419 286 43 0 1061 847 684 616 602 599 550 482 370 261 44 0 1094 866 716 631 588 545 503 426 340 247 45 0 1083 869 704 590 525 487 441 391 317 219 46 0 1049 822 630 517 454 419 400 357 271 189 47 0 969 716 546 433 380 373 356 294 230 14
19、8 48 0 844 622 449 354 330 321 285 247 183 129 49 0 745 519 372 306 277 255 239 202 165 126 中国育龄妇女生育率 年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 总和生育率 1.8 1.8 1.8 1.81 1.82 1.84 1.85 1.86 1.87 1.88 1.89 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 2
20、7 29 31 33 35第三部分 建立模型建立丧母孤儿的预测模型0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30参考文献： 1. 马知恩，周义仓等. 传染病动力学的数学 建模与研究. 科学出版社，2004； 2. 柳合龙，徐厚宝等. 带有脉冲免疫和传染 年龄的SIV传染病模型解的存在性. 数学的 实践与认识，2005，5: 131-136； 3. N.C.Grassly, M.Timceus. Methods to estimate number of orphans as a result of AIDS and other causes in sub-saharan Africa. Journal of AIDS,2005.谢 谢
