1、背景,随着人类文明的不断发展，卫生设施的改善和医疗水平的提高，以前曾经肆虐全球的一些传染性疾病已经得到了有效的控制，但是，伴随着经济的增长，一些新的传染性疾病，如2003年时曾给世界人民带来深重灾难的SARS病毒和如今依然在世界范围蔓延的艾滋病毒，仍在危害着全人类的健康.长期以来，建立传染病模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等，一直是各国专家学者关注的课题.,传染病模型,1、问题的提出,描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,已感染人数 (病人) i(
2、t),每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为,分析,假设,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,建模,?,4.1 模型SI模型 1.模型的假设条件 SI模型有下面两个假设条件： (1)人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类(取两个单词的第一个字母，称之为SI模型).以下简称为健康者和病人，t时刻这两类人在总人数中所占的比例分别记作s(t)和i(t). (2)每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率，当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人.,2.模型的建立与求解 根据假设，总人数为N，每个病人每天可使s(t)个健康者变为病人，因为
3、病人人数为Ni(t)，所以每天共有Ns(t)i(t)个健康者被感染，于是Ns(t)i(t)就是病人数Ni(t)的增加率，即有 (4.1) 又因为 s(t)i(t)1 (4.2),再记初始时刻(t0)病人的比例为i0，则有 (4.3) 方程(4.3)是Logistic模型，它的解为 (4.4) i(t)t和 的图形如图4-1所示.,图4-1,3.模型的分析讨论 由式(4.3)、(4.4)及图4-1可知: (1)当 时， 达到最大值 ，这个时刻为 (4.5) 这时病人人数增加得最快，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻.tm与成反比，因为日接触率表示该地区的卫生水平，越小卫生水平越高，
4、所以改善保健设施，提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来.,(2)当t时，i1，即所有人终将被感染，全变为病人，这显然不符合实际情况，其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈. 为了修正上述结果必须重新考虑模型的假设.下面两个模型中我们讨论病人可以治愈的情况.,4.2 模型SIS模型 有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变为健康者，健康者还可以再被感染变为病人，我们就这种情况建立的模型称为SIS模型.,1.模型的假设 SIS模型的假设条件(1)、(2)与SI模型的假设相同，增加的条件(即条件(3)为: (3)病人每天被治愈的占病人总数的比例为，称为日治愈率，病人
5、治愈后成为仍可被感染的健康者，则 是这种传染病的平均传染期.,2.模型的建立与求解 考虑到假设(3)，SI模型的式(4.1)应修正为： (4.6) 式(4.2)不变，于是式(4.3)应改为： (4.7), 方程(4.7)的解可表示为： (4.8),3.模型的分析讨论 定义 (4.9) 注意到和 的含义可知，是一个传染期内每个病人的有效接触的平均人数，称接触数，由式(4.8)和(4.9)容易得到，当t时， (4.10), 根据式(4.8)(4.10)可以画出i(t)t的图形如图4-2所示. 接触数1是一个阈值，当1时病人比例i(t)越来越小，最终趋于零，这是由于传染期内经有效接触从而使健康者变为
6、病人的人数不超过原来病人人数的缘故；当1时，i(t)的增减性取决于i(0)的大小，但其极限值i()11随的增加而增加. SI模型可视为本模型的特例.,图 4-2,4.3 模型SIR模型 1.模型的假设 大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以治愈后的人既非健康者(易感染者)也不是病人(已感染者)，他们已经退出传染系统.这种情况下的模型假设条件为： (1)人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者(Removed)三种，称SIR模型.三类人在总人数N中所占的比例分别为s(t)、i(t)和r(t)； (2)病人的日接触率为，日治愈率为，/.,2.模型的建立与求解 由条件(1)
7、，有 s(t)i(t)r(t)1 (4.11) 根据条件(2)，方程(4.6)仍成立.对于病愈免疫的移出者而言，应有 (4.12) 再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0(0)和i0(0)(不妨设移出者的初始值r00)，则由式(4.6)、(4.11)和(4.12)，SIR模型的方程可以写为：, (4.13) 方程(4.13)无法求出s(t)和i(t)的解析解，我们转到相平面si上来讨论解的性质.相轨线的定义域(s，i)D应为： D(s，i)|s0，i0，si1 (4.14),在方程(4.13)中消去dt，并利用式(4.9)，可得 (4.15) 容易求出方程(4.15)的解为： (4.16)
8、 则在定义域D内，相轨线如图4-3所示.图中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向.,图 4-3,3.模型的分析讨论 下面根据式(4.13)、(4.16)和图4-3分析t时s(t)、i(t)和r(t)的变化情况(它们的极限值分别记作s，i和r). (1)首先，由式(5.4.13)， ，而s(t)0，故s存在；由式(5.4.12)知， ，而r(t)1，故r存在；再由式(5.4.11)知i存在.,其次，若i0，则由式(4.12)，对于充分大的t，有 ，这将导致r，与r存在相矛盾.故不论初始条件s0，i0如何，病人终将消失，即 i0 (4.17) 从图4-3上看，不论相轨线从p1或从
9、p2出发，它终将与s轴相交.,(2)最终未被感染的健康者比例是s，在式(4.16)中令i0，得到s是方程 (4.18) 在 内的单根，在图4-3中s是相轨线 与s轴在 内交点的横坐标.,(3)若 ，则i(t)先增加，当 时，i(t)达到最大值 然后i(t)减小且趋于零，s(t)则单调减小至s.,(4)若 ，则i(t)减小且趋于零，s(t)则单调减小至s. 可以看出，如果仅当病人比例i(t)有一段增长的时期才认为传染病在蔓延，那么 是一个阈值，当 时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数，即提高阈值 ，使得 ，传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值s0是一定的，通常可认为s01)，我们注意到在 中，人
10、们的卫生水平越高，日接触率越小，医疗水平越高，日治愈率越大，于是越小，所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延.,从另一方面看， 是传染期内一个病人传染的健康者的平均数，称为交换数，其含义是一个病人被s个健康者交换.所以当 ，即s01时，必有s1.既然交换数不超过1，病人比例i(t)绝不会增加，传染病就不会蔓延.,我们看到在SIR模型中接触数是一个重要参数.可以由实际数据估计，因为病人比例的初始值i0通常很小，在式(4.18)中略去i0可得 (4.19) 于是当传染病结束而获得s0和s以后，由式(4.19)能算出.另外，对血样作免疫检验也可以根据对检验无反应和有反应，估计出s0和s，然
11、后计算.,4.模型验证 本世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了.死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者的人数，依此实际数据，Kermack等人用这组数据对SIR模型作了验证. 首先，由方程(4.11)、(4.13)可以得到 (4.20) (4.21),当 时，取式(4.21)右端er泰勒展开的前3项，在初始值r00下的解为： (4.22) 其中 .从式(4.22)容易算出,(4.23) 然后取定参数s0、等，画出式(4.23)的图形，如图4-4中的曲线，实际数据在图中用圆点表示.可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错.,图 4-4,5.SIR模型的应用 下面介绍S
12、IR模型的两个应用. 1)被传染比例的估计 在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比例是健康者人数比例的初始值s0与t的极限值s之差，记作x，假定i0很小，s0接近于1，由式(4.18)可得 (4.24),取对数函数泰勒展开的前两项有 (4.25) 记 ，可视为该地区人口比例超过阈值 的部分.当 时式(4.25)给出 (4.26), 这个结果表明，被传染人数比例约为的2倍.对一种传染病，当该地区的医疗和卫生水平不变，即不变时，这个比例就不会改变.而当阈值 提高时，减小，于是这个比例就会降低.,2)群体免疫和预防 根据对SIR模型的分析，当 时传染病不会蔓延.所以为制止蔓延，除了提高卫生和医疗水
13、平，使阈值 变大以外，另一个途径是降低s0，这可以通过如预防接种使群体免疫的办法做到.忽略病人比例的初始值i0，有s01r0，于是传染病不会蔓延的条件 可以表示为: (4.27),这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例(即免疫者比例)r0满足式(4.27)，就可以制止传染病的蔓延. 这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这是很难做到的，据估计在印度等国天花传染病的接触数5，由式(4.27)知至少要有4/5的人接受免疫才行.据世界卫生组织报告，即使花费大量资金提高r0，也因很难做到免疫者的均匀分布，使得天花直到1977年才在全世界根除.而有些传染病的更高，根除就更加困难.,
