1、20182019 学年度（上）高二期末考试数学试卷（理科）一选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置上）1已知 是等比数列，则“ ”是“ ”的（ ）na10a2019A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件2在等差数列 中， 为其前 项和，若 ，则 的值为（ ）nnS156S913aA 4 B 8 C 12 D 163下列说法正确的是A 命题“ ”的否定是：“ ”0,l1xx00lnxx，B 命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”221C 若命题“ 或
2、”为真 ， “ 且 ”为假，则“ 或 ”为假命题pqpqpqD “任意实数大于 0”不是命题4观察下列各式： ，23451,7,1ababab照此规律，则 的值为（ ）10A 123 B 132 C 76 D 285已知双曲线 的虚轴长为 8，右顶点 到双曲线的一条渐2:(0,)xyCab(,0)a近线的距离为 ，则双曲线 的方程为（ ）15A B C D296xy2169xy2156xy2165xy6在 中，内角 A,B,C 的对边分别是 ， 若 ，则C,abcoscosbABC是（ ）BA 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰直角三角形 D 等边三角形7已知数列 的前 项和 ，则数列 的前
3、 10 项和为（ ）na21ns2naA B C D 10410104310238设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 ，若,abc，则 （ ）,cos(2cos)absA B C D 1541434329如图,四面体 ABCD 中,AB,BC,BD 两两垂直,BC=BD=2,点 E 是 CD 的中点,异面直线 AD与 BE 所成角的余弦值为 ,则直线 BE 与平面 ACD 所成角的正弦值为( )01A B C D2323231310已知函数 的图像为曲线 C，若曲线 C 存在与直线 垂直的()xfemyx切线，则实数 m 的取值范围是A B C D,2,22,32,311设 是定义在
4、上的函数，其导函数为 ，若 ， fxRfx1ffx，则不等式 （ 为自然对数的底数）的解集为( )019018xxefeA B C D 8,0，12以椭圆 上的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线 ，其左右焦点分别是2195xy，已知点 坐标为 ，双曲线 上点 ，满足12,FM, 00,(,)Pxy，则 的值为（ ）21PPF12PMFSA B C D 4二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填写在正确的位置）13过抛物线 的焦点 作直线 与该抛物线交于两点，过其中一交点2(0)ypxFl向准线作垂线，垂足为 ，若 是面积为 的等边三角形，则 =_ABA43p14已知函数
5、 ，则 _.2sinfxfxf15如图，三棱锥 中， 两两垂直， ，设点PCPC， ， 2PABC是 内一点，现定义 ，其中 分别是三棱锥 ， KBfKyz， ， xyz， ， KPA， 的体积，若 ，A13ab， ，则 的最小值为_3ab16已知数列 满足：n，数列23 *12()naN的前 项和为 ，则 _221loglnnans1210s三解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （10 分）设实数 、 满足约束条件4025xy（1）求 的最小值；21zxy（2）求 的取值范围。218 （12 分）设 中的内角 A，B，C 的对应边分别为 ，
6、已知,abc12,4cosabC 求 的边长 ，AB 求 的值cs19 （12 分）设数列 的首项 ，前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列，na1nns12nas2其中 .*nN（1）求数列 的通项公式；n（2）数列 满足： ，其中 ，求数列 的前 项和b1281nna*nNnb及数列 的最大项.nTn20 （12 分）如图,在等腰梯形 ABCD 中,ABCD,AD=DC=CB=1,ABC=60,四边形 ACFE 为矩形,平面 ACFE平面 ABCD,CF=1.(1)求证:BC平面 ACFE;(2)点 M 在线段 EF 上运动,设平面 MAB 与平面 FCB 所成二面角的平面角为 (90),试
7、求cos 的取值范围.21 （12 分）如图，设 是椭圆,0Fc的左焦点，点 是 轴上的21xyab2,0aPcx一点，点 为椭圆的左、右顶点，已知 ，且,MN8MN,PF(1)求椭圆的标准方程；(2)过点 作直线 交椭圆于 两点，试判定直线 的斜率之和 是否为定值，,AB,AFBAFBk并说明理由.22 （12 分）已知函数 .2ln1fxaax(1) 若函数 在点 处的切线方程为1,f，求 的值；30xy(2) 若 ，求函数 在区间 上的最小值1afx,e；g(3) 对任意的 ，都有 ，求正实数 的取值范围.120x121()fxfxa20182019（上）期末考试高二数学理科试题1C 是
8、等比数列， ， “ ”是“ ”的充要条件 20182019aq10a2019选2B 由 ，得 ，则 ,选 B.3A 对于 A，根据全称命题“ x0，lnxx-1” 的否定是特称命题：“ x00，lnx 0x 0-1”，判断 A 正确；对于 B，命题“ 若 x2=1，则 x=1”的否命题为 “若 x21，则 x1”，B 错误；对于 C，命题 pq 为真，pq 为假时，p、 q 一真一假，则p、q 一真一假，（p）（q ）为真命题，C 错误；对于 D， “任意实数大于 0”是命题，且为假命题，D 错误选 A4A 通过观察发现,从第三项起,等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数之和,因此 选 A
9、.6789101829,47,6,23,ababab5.A 解：由虚轴长为 可得 ， 右顶点 到双曲线 的一条渐近线 距离为 ，解得 ， 则双曲线 的方程为 ，故选 A.6D 解： ，由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC 代入，得 ，进而可得 tanA=tanB=tanC，A=B=C，则ABC 是等边三角形.选 D7C 当 时 ; 当 时 ;所以 ，因此数列 为等比数列，前 项和为 ，选 C.8B 解acosC=c（2-cosA） ，acosC+ ccosA=2c，由正弦定理可得：sinAcosC+sinCcosA=2sinC，sinB=sin（A+C）=2sin
10、C，b=2c，由 a=b，可得 a=b=2c， 选 B221cos4a9.C 由题意得 AB,BC,BD 两两垂直，以 B 为原点,BC,BD,BA 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系设 AB=a,则 A(0,0,a),E(1,1,0),B(0,0,0),D(0,2,0),于是 =(0,2,-a), =(1,1,0),因为异面直线 AD 与 BE 所成角的余弦值为 ，所以|cos| ,于是 ,解得 故 =(2,0,-4), =(0,2,-4),设平面 ACD 的法向量为 ，则 所以令 ，得 设直线 BE 与平面 ACD 所成角为 ，则 ，即直线 BE 与平面 ACD 所成角的正弦值为 故
11、选C10.A 由题意，函数 的导数 ，若曲线 C 存在与直线 垂直的切线，则切线的斜率为 ，满足 ，即 有解，因为 有解，又因为 ，即 ，所以实数 的取值范围是 ，故选 A11D 构造函数 ，则xxFef，即函数 是单调递10xxxFeffefx 增函数，取 ，则0，故不等式 可化为21908f 2018xxef，则由函数的单调递增可得 ，故不等式 的解集为x xfe，选 D。0,12C 椭圆方程为 , 其顶点坐标为（ 3，0） 、 （-3 ，0） ，焦点坐标为2195xy（2，0） 、 （-2，0） ，双曲线方程为 ,设点 P（ x，y） ，记 F1（-3 ，0） ，24F2（3，0） ，
12、所以 上的投影与 在 上的投影相12,PMFP1M在 2P等，所以点 M 到 与 的距离相等，即点 M 落在 的角平分线上，又点 M 在12 2双曲线右顶点的正上方，所以点 M 为 的内心，且由纵坐标等于 1 可知内接圆的半12FA径为 1，所以 . 选 C.12PFSPrar13.2. 解： 是面积为 的等边三角形,即 ,即 。AB4,60,cospBOBF 2140 由题意得， ，cos2fxxf令 ，则 ，解得 ，.2xff 015 由定义得 3411213abab（当且仅当1 34423aba时取等号） ，即最小值为16. 解： ， ， ， ，17 （1）8；（2）（1）可行域如图所示
13、。 的几何意义是原点到可行域内点距离的平方，原点到直线的距离 ，由图可知，原点到可行域内点的距离的最小值即是原点到直线 的距离 ，所以的最小值是 8 ，（2） 的几何意义是点（-1， -1）到可行域内点连线的斜率加1联立 解得 ，联立 解得 ，40xy如图，过 A 点时 有最大值， ，如图，过 B231z点时 有最小值， ，21z所以所求取值范围是 。3,18 （I） ；（II ） . 在 中，已知： ，利用余弦定理得： ，12,4cosabC解得： ，即： 由于： ，则： ，利用正弦定理得： ，解得： ，利用同角三角函数： ，解得： ，由于： ，故： ，负值舍去所以：19 （1） ；（2）
14、， 的的最大项是 。(1)由 、 、 成等差数列知，当 时， ，所以 ，当 时，由 得 ，综上对任何 ,都有 ,又 ，所以 ， 所以数列 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以 。（2） ，当 时， ，即 ；当 时，也有 ，但 ；当 时， ， ，即 .所以数列 的的最大项是 。20(1)见解析 (2) , (1)在梯形 ABCD 中, ABCD,AD=DC=CB=1,ABC=60,AB=2,AC2=AB2+BC2-2ABBCcos 60=3,AB2=AC2+BC2,BCAC.又平面 ACFE平面 ABCD,平面 ACFE平面 ABCD=AC,BC平面 ABCD,BC平面 ACFE.(2)由
15、(1)知,可分别以 CA,CB,CF 所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,令 FM=(0 ),则 C(0,0,0),A( ,0,0),B(0,1,0),M(,0,1), =(- ,1,0), =(,-1,1).设 n1=(x,y,z)为平面 MAB 的法向量 ,由 ,得 ,取 x=1,则 n1=(1, , -)为平面 MAB 的一个法向量,易知 n2=(1,0,0)是平面 FCB 的一个法向量, cos= .0 , 当 =0 时,cos 有最小值 , 当 = 时,cos 有最大值 ,cos , .21(1) (2)见解析(1)因为 ，所以 又因为 所以 ，即 所以
16、 ，所以所以椭圆的标准方程为 (2)当直线 的斜率为 0 时，显然 ； 当直线 的斜率不为 0 时， 可设 AB 方程为 代入椭圆方程整理得：，得 或设 则而 综上可知22(1) ；(2) 见解析(3) .2a02解：(1) ，函数 点 处的切线斜率为 ，1fxafx1,f 1ka在点 处的切线方程为 ，则 ，计算得出 ；1, 3xya2(2) ，2afx2令 得 （舍）或 ， 0fx12xa当 时， 在 单调递减，在 上单调递增1aef,e所以 ；2minlnfa当 时， 在 上单调递减，所以 .fx1,e2minfxfeae即有当 时， ；2lga当 时， .ae2(3)对任意的 ，都有 ，10x12fxfx即为 在 递增gf,因为 ， ， 在 恒成立，2lnaag 0gx,即有 在 恒成立，即有令 ，对称轴 ，20xx2ha02ax，则判别式 ，0hA即 ，计算得出 则有 的取值范围为 .248a2a0
