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1、自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数 。 即用数码 0，1，2，3 ，4，所表示的数 。表示物体个数的数叫自然数，自然数由 0 开始( 包括 0)， 一个接一个，组成一个无穷的集体。数学术语自然数不仅是表示量的程度的符号，同时也是表示这个量的有序规律的一种符号。就是说：自然数是能够表示同一属性事物的程度及其有序规律的一种符号，并具备表示事物属性、量的程度、有序规律这三种功能。摘自自然数原本数数论。自然数集是全体非负整数（在过去的教科书中，零一般被认为不是自然数）组成的集合，常用 N 来表示。自然数有无穷多个。【拼音】z rn sh【英译】natural number严格定义自然数不仅是表

2、示量的程度的符号，同时也是表示这个量的有序规律的一种符号。就是说：自然数是能够表示同一属性事物的程度及其有序规律的一种符号，并具备表示事物属性、量的程度、有序规律这三种功能。摘自自然数原本数数论。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论:自然数的序数 理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。序数理论是意大利数学家 G.皮亚诺提出来的。他总结了自然数的性质，用公理法给出自然数的如下定义。自然数集 N 是指满足以下条件的集合： N 中有一个元素，记作 0。N 中每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为

3、它的后继者。 0 不是任何元素的后继者。 不同元素有不同的后继者。（归纳公理）N 的任一子集 M，如果 0M ，并且只要 x 在 M 中就能推出 x 的后继者也在 M 中，那么 M=N。基数理论则把自然数定义为有限集的基数，这种理论提出，两个可以在元素之间建立一一对应关系的有限集具有共同的数量特征，这一特征叫做基数 。这样 ，所有单元素集x，y，a， b等具有同一基数（用集合的形式表示） ， 记作 1 。类似，凡能与两个手指头建立一一对应的集合，它们的基数相同，记作 2，等等 。自然数的加法 、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。一般概念自然数是一切等价有限集

4、合共同特征的标记。注：自然数就是我们常说的正整数。整数包括自然数，所以自然数一定是整数，且一定是非负整数。但相减和自然数相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不总是成立的。用以计量事物的件数或表示事物次序的数 。 即用数码，1，2，3，4，所表示的数 。表示物体个数的数叫自然数，自然数一个接一个，组成一个无穷集体。自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19 世纪的数学家建立了自

5、然数的两种等价的理论枣自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。（序数理论是意大利数学家 G.皮亚诺提出来的。他总结了自然数的性质，用公理法给出自然数的如下定义） 自然数集 N 是指满足以下条件的集合：N 中有一个元素，记作1。N 中每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者。 1 是 0 的后继者。0 不是任何元素的后继者。 不同元素有不同的后继者。（归纳公理）N 的任一子集M，如果 1M，并且只要 x 在 M 中就能推出 x 的后继者也在 M 中，那么 M=N。基数理论则把自然数定义为有限集的基数，这种理论提出，两个可以在元素之间建立一一对应关系的有

6、限集具有共同的数量特征，这一特征叫做基数 。这样 ，所有单元素集x，y，a， b等具有同一基数 ， 记作 1 。类似，凡能与两个手指头建立一一对应的集合，它们的基数相同，记作 2，等等 。自然数的加法 、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。自然数在日常生活中起了很大的作用，人们广泛使用自然数。自然数是人类历史上最早出现的数，自然数在计数和测量中有着广泛的应用。人们还常常用自然数来给事物标号或排序，如城市的公共汽车路线，门牌号码，邮政编码等。自然数是整数（自然数包括正整数和零），但整数不全是自然数，例如：-1 -2 -3是整数 而不是自然数。自然数是无限的。全体

7、非负整数组成的集合称为非负整数集，即自然数集。）在数物体的时候，数出的 1.2.3.4.5.6.7.8.9叫自然数。自然数有数量、次序两层含义，分为基数、序数。 基本单位 ：1 计数单位：个、十、百、千、万、十万总之，自然数就是指大于等于 0 的整数。当然，负数、小数、分数等就不算在其内了。自然数的性质对自然数可以定义加法和乘法。其中，加法运算“+”定义为：a + 0 = a；a + S(x) = S(a +x)， 其中， S(x)表示 x 的后继者。如果我们将 S(0)定义为符号“1”，那么 b + 1 = b + S(0) = S( b + 0 ) = S(b)，即，“+1”运算可求得任意

8、自然数的后继者。同理，乘法运算“”定义为：a 0 = 0;a S(b) = a b + a自然数的减法和除法可以由类似加法和乘法的逆的方式定义。但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数的分类按能否被 2 整除分可分为奇数和偶数。1、奇 数：不能被 2 整除的数叫奇数。2、偶 数：能被 2 整除的数叫偶数。注：0 是偶数。 （2002 年国际数学协会规定,零为偶数. 我国 2004 年也规定零为偶数。偶数可以被 2 整除，0 照样可以，只不过得数依然是 0 而已） 。按因数个数分可分为质数、合数、1 和 0。1、质 数：只有 1 和它本身这两个因数

9、的自然数叫做质数。也称作素数。2、合 数：除了 1 和它本身还有其它的因数的自然数叫做合数。3、1：只有 1 个因数。它既不是质数也不是合数。4、当然 0 不能计算因数，和 1 一样，也不是质数也不是合数。备注：这里是因数不是约数。关于 0关于 0 的一些争议对于“0”，它是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从 1 开始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从 0 开始算起。目前关于这个问题尚无一致意见。不过，在数论中，多采用前者；而在集合论中，则多采用后者。我国传统的教科书所说的自然数都是指正整数。在国外，有些国家的教科书是把 0 也算作自然数的。这本是一种人为的规定，我

10、国为了推行国际标准化组织(ISO)制定的国际标准，定义自然数集包含元素 0，也是为了早日和国际接轨。现行九年义务教育教科书和高级中学教科书(试验修订本)都把非负整数集叫做自然数集，记作 N，而正整数集记作 N+或 N*。这就一改以往 0 不是自然数的说法，明确指出 0也是自然数集的一个元素。0 同时也是有理数，也是非负数和非正数。0 的来由及其性质0 是极为重要的数字，0 的发现被称为人类伟大的发现之一。0 在我国古代叫做金元数字，( 意即极为珍贵的数字） 。0 这个数据说是由印度人在约公元 5 世纪时发明，在 1202年时，一个商人写了一本算盘之书，在东方中由于数学是以运算为主（西方当时以几

11、何并在开头写了“印度人的 9 个数字，加上阿拉伯人发明的 0 符号便可以写出所有数字”。由于一些原因，在初引入 0 这个符号到西方时，曾经引起西方人的困惑， 因当时西方认为所有数都是正数，而且 0 这个数字会使很多算式、逻辑不能成立(如除以 0)，甚至认为是魔鬼数字，而被禁用。直至约公元 15，16 世纪 0 和负数才逐渐给西方人所认同，才使西方数学有快速发展。 0 的另一个历史： 0 的发现始于印度。公元左右，印度最古老的文献吠陀已有“0”这个符号的应用，当时的 0 在印度表示无（空）的位置。约在 6 世纪初，印度开始使用命位记数法。7 世纪初印度大数学家葛拉夫. 玛格蒲达首先说明了 0 的

12、 0 是0，任何数加上 0 或减去 0 得任何数。遗憾的是，他并没有提到以命位记数法来进行计算的实例。也有的学者认为，0 的概念之所以在印度产生并得以发展，是因为印度佛教中存在着“ 绝对无” 这一 哲学思想。公元 733 年，印度一位天文学家在访问现伊拉克首都巴格达期间，将印度的这种记数法介绍给了阿拉伯人，因为这种方法简便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯数字。这套记数法后来又传入西欧。0 既不是正数也不是负数，而是正数和负数之间的一个数。当某个数 X 大于 0（即X0）时，称为正数；反之，当 X 小于 0（即 X0）时，称为负数；而这个数 X 等于 0 时，这个数就是 0。0 既不是正数也不

13、是负数，而是介于-1 和+1 之间的整数。0 是偶数。0 是最小的完全平方数。0 的相反数是 0，即， 0=0。0 的绝对值是其本身，即，0=0 。0 乘任何实数都等于 0，除以任何非零实数都等于 0,任何实数加上 0 等于其本身。0 没有倒数和负倒数，一个非 0 的数除以 0 在实数范围内无意义。0 的正数次方等于 0，0 的负数次方无意义，因为 0 没有倒数。除 0 外，任何数的的 0 次方等于 1。0 的 0 次方是悬而未决的，在某些领域定义为 1，某些领域未定义。不定义的理由是以连续性为考量，不定义不连续点。0 不能做对数的底数和真数。0 也不能做除数、分数的分母、比的后项。0 在多位

14、数中起占位作用，如 108 中的 0 表示十位上没有，切不可写作 18。0 不可作为多位数的最高位。当 0 不位于其他数字之前时表示一个有效数字。0 的阶乘等于 1。0 始终是直角坐标系的原点。0 是正数和负数的分界点。任何数乘 0 都得 0。0 是最小的自然数。分式中分母为 0 无意义。在复数集中，0 是模最小的数，而且是唯一一个无辐角定义的元素。低阶无穷小与高阶无穷小的比值是 0。定积分中，积分上限和下限相等时，积分值始终为 0。概率论中，用 0 表示不可能事件，或者在连续概率分布中位于某一特定自变量这一事件的概率关于自然数列数列 1,2,3,4,5，6,7,8,9,10,11,12,n，

15、称为自然数列。自然数列不包括 0。自然数列的通项公式 an=n。自然数列的前 n 项和 Sn=n(n+1)/2。 Sn=na1+n(n-1)/2自然数列本质上是一个等差数列，首项 a1=1，公差 d=1应用1、自然数列在“数列”，有着最广泛的运用，因为所有的数列中，各项的序号都组成自然数列。任何数列的通项公式都可以看作：数列各项的数与它的序号之间固定的数量关系。2、求 n 条射线可以组成多少个角时，应用了自然数列的前 n 项和公式第 1 条射线和其它射线组成 n-1 个角，第 2 条射线跟余下的其它射线组成 n-2 个角，依此类推得到式子1+2+3+4+n-1=n(n-1)/23、求直线上有

16、n 个点，组成多少条线段时，也应该了自然数列的前 n 项和公式第 1 个点和其它点组成 n-1 条线段，第 2 个点跟余下的其它点组成 n-2 条线段，依此类推同样可以得到式子1+2+3+4+n-1=n(n-1)/2 自然数教学论文随着九年义务教育小学数学教材（试用修订版），把 0 划归自然数后，一些数的概念是否发生变化，引起小学了数学教师的关注。无论是在日常的教研活动，还是教师私下交流，或是因特网上的教育论坛，都有许多教师提出疑问，引发了大家的思考。思考之一：为什么要把 0 划归自然数。从历史上看，国内外数学界对于 0 是不是自然数历来有两种观点：一种认为 0 是自然数，另一种认为 0 不是

17、自然数。建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括 0。目前，国外的数学界大部分都规定 0 是自然数。为了方便于国际交流，1993 年颁布的中华人民共和国国家标准（GB 3100-3102-93） 量和单位（11-2.9 ）第 311页，规定自然数包括 0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用 0 表示。0 也是自然数。思考之二：最小的一位数是“1”还是“0” ？0 是最小的自然数，那么最小的一位数是“1”还是“0”？在 0 没有归入自然数以前大家都很清楚，最小的一位数是 1。那么，现在 0 也成为自然数了，最小的一位数还

18、是 1 吗？这是许多教师提出的疑问，笔者认为最小的一位数还是 1。因为，0 表示一个物体也没有，在记数法中是表示空位的一个符号，如 3005 里“0” 就分别表示这个数的十位、百位、都是空位。这次调整虽然将“0”划归自然数，然而对几位数的概念并没改变。关于“几位数”是这样定义的“ 只用一个有效数字表示的数，叫做一位数，只用两个有效数字，其中左边第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位数”假设 0也算作一位数的话，那么最小的两位数是“10”还是“00”呢？那么最小的三位数、四位数又是多少呢？九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书第 98 页“关于几位数”是这样叙述的：“通常在自然数里，含有

19、几个数位的数，叫做几位数。例如，2，含有一个数位的数，叫做一位数；30 含有两个数位的数，叫做两位数； 405 含有三个数位的数，叫做三位数但是要注意：一般不说 0 是几位数。所谓最大的几位数，最小的几位数，通常也是在非零自然数有范围来说。所以，最大一位数是 9，最小一位数是 1；最大两位数是 99，最小两位数是 10；最大三位数是999，最小三位数是 100”综上所述，“0”虽然是最小的自然数，但仍然不能称为“一位数”，更不能称为最小的一位数。思考之三：自然数的计数单位还是“1”吗？大家都知道，0 是自然数中最小的一个。0 加 1 得 1，1 加 1 得 2 ，2 加 1 得3，这样继续下去

20、可以得到任意一个自然数。而从自然数的排列顺序可知，后面一个自然数比前面一个自然数多 1。因此，任何一个自然数都是由若干个 1 合并而成，所以 1是自然数的单位。0 可以看成是由 0 个 1 组成的自然数。思考之四：0 是其它非零自然数的倍数吗？九年义务教育六年制小学数学第十册中，关于“数的整除”及“约数和倍数”的定义并未做任何改变，教材第 54 页就有这样的叙述： “因为 0 也能被 2 整除，所以 0 也是偶数”。以此类推，0 能被所有非零自然数整除，根据约数倍数的定义，0 是任何非零自然数的倍数，任何非零自然数都是 0 的约数。但考虑到研究分解质因数、最大公约数、最小公倍数时，一般限于非零

21、自然数范围内，如讲最小公倍数时，是把 0 排除在外的。为此，九年义务教育六年制小学数学第十册 50 页明确指出：“为了方便，以后在研究约数和倍数时，我们所说的数一般不包括 0”。这样就避免了一些不必要的麻烦。但过去的一些说法就必须加以纠正了。例如：“一个自然数的最小倍数是它本身”、“自然数的约数的个数是有限的”等，这样的结论必须纠正。思考之五：0 是不是合数？过去，在教学中，关于自然数的组成，有两种情况：一是所有奇数和所有的偶数组成自然数集合；二是所有的质数与所有的合数及 1 也组成自然数集合。现在 0 也成为了自然数集合的一员，因而有许多教师提出这样的问题：0 是不是合数？前面已经谈过了，以

22、后“在研究约数和倍数时，我们所说的数一般不包括 0”，但作为一种学术研究，进行探讨也未尝不可。笔者以为，0 的约数有无数个，根据九年义务教育六年制小学数学第十册中关于合数的定义：“一个数，如果除了 1 和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。”似乎应该把 0 划归为合数范围，但仔细一想 0 是个特殊的自然数，因为所有非零自然数都有“本身”这个约数，如，1 是 1 的约数，2 也是 2 的约数，而 0 这个自然数恰恰少了“本身”这个约数，因此，也不能归为合数。试想：假设如果 0 是合数，那么它能用质因数相乘的形式表现出来吗？这就与“每个合数都可以写成几个质数相乘的形式”产生了矛盾。所以，我主张把

23、 0 划归为“既不质数，也不是合数”范围。当然了，这需要权威机构和专家们的认定。但我认为，目前在没有明确 0 是不是合数的情况下，还是以回避为好。思考之六：“任何相邻的两个自然数是互质数”对吗？0 没有成为自然数时，这一结论毫无疑问是正确的。现在 0 也是自然数，我们只要研究“0 和 1”这两个相邻的自然数是不是质数，就行了。根据九年义务教育六年制小学数学第十册中关于互质数的定义：“公约数只有 1 的两个数，叫做互质数。”笔者认为，0 的约数有无数个，而 1 的约数只有一个，那就是它本身。综上所述，0 和 1 的公约数只有“1”，因此，0 和 1 是互质数。自然，“任何相邻的两个自然数是互质数”这个结论也是正确的。