1、静安区 2018-2019 学年度第一学期期末教学质量检测高三数学试卷考生注意：1本场考试时间 120 分钟试卷共 4 页，满分 150 分另有答题纸2作答前，在答题纸正面填写姓名、编号等信息3所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位在试卷上作答一律不得分4用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1函数 的定义域是 _)(log2xy2已知向量 ， ，则向量 的坐标是 _,1AB)5,3(CBC3在二项式
2、的展开式中， 项的系数为_ （结果用数值表示）4若直线 xyaxa与0)9()7(22 轴平行，则 a 的值是_5若、是一元二次方程 的两个根，则 _6在数列 中， ，且 是公比为 的等比数列设na1na，则 _( )*Nn7某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加 7%作为新一年的月工资收入假设某员工自 2004 年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004 年的月工资收入为 5000 元，则 2019 年一月该员工的月工资收入为_元 （结果保留两位小数） 8已知 ，则 _314cos2cos9以
3、两条直线 的交点为圆心，并且与直线 相切的圆的方程是_10已知球的半径为 24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是_ cm3 （结果保留圆周率 ）11集合 ， ，若 ，则实数的取值范围是_12.若定义在实数集 R 上的奇函数 的图像关于直线 对称，且当 时，则方程 在区间（ ）内的所有实根之和为_二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13电视台在电视剧开播前连续播放 6 个不同的广告，其中 4 个商业广告 2 个公益广告，现要求 2 个公益广告
4、不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）.（A） （B ） （C） （D）254P 254 276P 746C14已知椭圆的标准方程为 ，焦点在 x轴上，则其焦距为（ ）.（A） m42 （B） 216m （C） 82 （D） 42m15已知下列 4 个命题：若复数 的模相等，则 是共轭复数 都是复数，若 是虚数，则 的共轭复数复数 是实数的充要条件是 （ 是 的共轭复数） 已知复数 （ 是虚数单位） ，它们对应的点分别为 A， B， C. O 为坐标原点若 （ ） ，则 .则其中正确命题的个数为（ ）.（A）1 个 （B）2 个 （C ）3 个 （D）4 个16设 都是小于 9 的正整数，且
5、满足， ，则 的夹角大小为（ ）.（A） （B ）三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17 （本题满分 14 分）如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆 BC 的长度已知车厢的最大仰角为 60，油泵顶点 B 与车厢支点 A 之间的距离为 1.95 米，AB 与水平线之间的夹角为 620， AC 的长为 1.40 米，计算 BC 的长（结果保留 3 个有效数字，单位: 米） 18 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， 平面 ，ABCDPABPABC
6、D， 、 分别是 、 的中点AEF（1 ）求证： 平面 ；（2 ）求异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 19 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）设 ， （1 ）求函数 的最大值 ；（2 ）对（1 ）中的 ，是否存在常数 （ ） ，使得当 时， 有意义，且 的最大值是 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由20 （本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）设 ，椭圆 ： 与双曲线 ： 的焦点相同0m132myxC22myx（1 ）求椭圆 与双曲线 的方程；C（2 ）过双曲线 的右顶
7、点作两条斜率分别为 ， 的直线 ， ，分别交双曲线 于点1k21l2C， （ ， 不同于右顶点） ，若 ，求证：直线 的倾斜角为定值，并求PQPQ出此定值；（3 ）设点 ，若对于直线 ，椭圆 上总存在不同的两点 与 关于直)2,0(Tbxyl:AB线 对称，且 ，求实数 的取值范围l21 （本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）将 个数 ， ， 的连乘积 记为 ，将 个数 ， ，n1a2nana1i1n1a2的和 记为 （ ） i1*N（1）若数列 满足 ， ， ，设 ，nxnnx2*inixP1，求 ；iniS1（2）用 表示不超过
8、 的最大整数，例如 ， ， 若数列xx234.28.1满足 ， ， ，求 的值；n1nn2*Niix109（3）设定义在正整数集 上的函数 满足：当*)(f（ ）时， ，问是否存在正整数 ，使得2)1(2)1(mn*mnf n？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由（已知09)(1ifni n） 6)12(21nin静安区 2018 学年度第一学期高中教学质量检测高三数学解答一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1 . 2 . 310.),(），（4 5 6 .713795.16 元 8 9
9、.710 12288 cm3 11 . 12. 24.二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13 16ABBC三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17 （本题满分 14 分）解：根据题意，在ABC 中， ， BAC=66O20/，由余弦定理，得计算得： . . 答：顶杆 约长 1.89 米18（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）解：（1）由题意， 是等边三角形，因为ACD是 的中点，所以 ， E
10、CE又 平面 ，所以 ，PABP所以 平面 （2 ）取 中点 ，连结 ， ，则 GFG，所以， 为异面直线 与 所成角， FAE设 ，在 中， ， ，aPAFGaA2aFG47， 413所以， FGAF2cos2 814726312aa所以，异面直线 与 所成角的大小为 AFPE2814arcos19 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）解： (1) 设 ，因为 ，所以 . .(2)当 时， ，该函数当 时递减，当时递增。要使 有意义且取得最大值， 关于自变量 的单调性必是当 时增, 当 时递减，所以根据题意得： ，于是 ，得 所以存在 ，使得当 时， 的
11、最大值是 20 （本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）解：（1）由题意， ，所以 2m1所以椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程为 32yxC（2 ）双曲线 的右顶点为 ，因为 ，不妨设 ，则 ，C)0,1( 01k2设直线 的方程为 ，1lxky由 ,得 ， 则 ,( )，.同理， ， ， 又 ，所以 ， .因为 ，所以直线 与 轴平行，即 为定值 ，倾斜角为 0 QPyPxPQk0（3 ）设 ， ，直线 的方程为 ，),(1xA),(2yBABnxy由 整理得 ，,32yn03642nx ，故 )(1)3(16)( 22n2n， ，
12、 21x421x设 的中点为 ，则 ， ， AB),(0yM43210nx40nxy又 在直线 上，所以 ， ),(0yx:lbkxb)1,(2因为 ， ，2,1TA)2,(yTB所以 ),(),()( 212 nxnxxyx22121 3)(nn，所以 又 ， 。25425bn 01b即 . 21 （本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）解：（1）由 ，得 ,或且 ，所以 又 ，所以， 615xS1nx615xP从而 =1. （2）由 ， ，因为 ，1x12nnx1nnx所以， ， 11 nnnn xx所以， ，20202019 8ii 因为 ，所以 ),(20x119iix（3）若存在正整数 n，则由已知 得，且 ， 因此所求和的最后一项 必定出现在 1+2+3+17=153 项之后，且 ，共有 个 ，所以， ,所以， ，解得 所以存在正整数 n=166，使得 .2019)(1ifni
