1、1,近世代数,主讲教师：张广祥,辅导课程十二,2,单扩域,重点 单扩域的结构定理 定理5.2.1 设F是一个域,F()是单扩域,则(1)若是F上的超越元,则扩域F()Fx的商域.(2)若是F的代数元,则在F上的极小多项式p(x)唯一,且扩域F()Fx/(p(x),p(x)是F上的不可约多项式. 定理5.2.2 若F()是单代数扩域,则F()=F. 定理5.2.4 若F()与F()是两个单代数扩域且与在F上有相同的极小多项式,则F()F(). 例1 Q(i),Q( ),Q( )是单代数扩域. 2 证明Q( , )是单代数扩域.,3,代数扩域,重点 扩域的次数,有限扩域是代数扩域 定义 设E是F的
2、扩域,把E看成F向量空间，用|E:F|表这个向量空间的维数,并称之为扩域的次数.若|E:F|有限,则E称为F的有限扩域. 定义 设E是F的扩域,若E的每个元都是F上的代数元,则E称为F的代数扩域.,4,代数扩域(续),定理5.3.1 有限扩域一定是代数扩域. 证 设扩域EF且|E:F|=n.对每E,n+1个向量1,a,a2,an在F上线性相关,即有aiF使a0+a1+ann=0,是f(x)=a0+a1x+anxn=0的根,因此a是F上的代数元,E是F的代数扩域. 推论5.3.2 设F()是F上的单代数扩域,|F():F|= n是在F上极小多项式的次数,因而单代数扩域是代数扩域. 例 Q( ，
3、)是单代数扩域且|Q( ， ):Q|=4.,5,多项式的分裂域,定义 设F是一个域,f(x)Fx,F的扩域E若满足下二条件则称为f(x)的分裂域:(1)在Ex中f(x)= an(x-1)(x-n). anF, iE (2)在E的任一个真子域中f(x)不能分解为线性因子之积. 定理5.4.1 设E是f(x)在F上的分裂域且f(x)= an(x-1)(x-n),则E=F(1，n). 定理5.4.2 f(x)Fx,则存在f(x)在F上的分裂域 定理5.4.5 若E是f(x)Fx在F上的分裂域,E则在F上的极小多项式在Ex中分解为线性因子的积.,6,有限域,重点有限域是p元域上多项式的分裂域 定理5.
4、5.1设E是特征p的有限域,则|E|=pn.证 E是素域Zp上的维向量空间. 定理5.5.2-5.5.3 E是含q=pn个元的有限域当且仅当E是方程xq-x=0的分裂域. 定理5.5.4 有限域是其素域的单代数扩域. (证明在后),7,有限域(续),定理5.5.4证明 设E是含q个元的有限域,F是E的素域.则乘群E*的阶是q-1.设群E*中元的最大阶是m,则每aE*有am=1,说明方程xm-1=0至少有q-1个根.因此q-1m.另一方面由Lagrange定理m q-1,于是m=q-1.说明E*=()是循环群.这样E=F()是单代数扩域. 很有趣的例Z3(i)是含9个元素的域,Z5(i)是含25个元素的域.但Z2(i)不是域,为什么?(x2+1不是i在Z2上的极小多项式),
