1、,第一节 定积分的概念,一、问题的提出,二、定积分的定义,三、存在定理,四、定积分的几何意义,七、小结 思考题,六、定积分的性质,五、定积分的近似计算,【实例1】（求曲边梯形的面积）,一、问题的提出,【问题】如何求由任意封闭曲线所围成的平面图形的面积。,【方法】转化为求曲边梯形的面积,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,曲边梯形如图所示，,分割,取近似,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,求和,取极限,【实例2】（求变速直线运动的路程）,【
2、思路】把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,(1) 分割,部分路程值,某时刻的速度,(3) 求和,(4) 取极限,路程的精确值,(2) 取近似,二、定积分的定义,【定义】,记为,积分上限,积分下限,积分和,【注意】,（因为定积分是一个数值）,因此若已知极限I存在，则可选取特殊的分法和特殊的取法，仍有相同的结果。（这为计算带来方便）,(3)定义中，令0，必然导致n。但反之不然：,(4)当函数f(x)在区间a ,b上的定积分存在时，,称f (x)在区间 a ,b上可积.,(5) f (x)在a ,b
3、上有界是f (x)在a ,b上可积的必要条件：,即若只有n，不能保证每个小区间的长都趋于0。,当f (x)在a ,b上有有限个第一类 间断点时，则f (x)在a ,b上可积,【定理1】,【定理2】,三、可积的充分条件（定积分存在定理）,可积函数类,【推论】,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,【几何意义】,在下面的性质中，假定定积分都存在，且若无特别说明则不考虑积分上下限的大小,对定积分的【补充规定】,【说明】,五、定积分的性质,【证】,【性质1】,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,（逐项积分）,【证】,【性质2】,【补充】不论a,b,c的相对位置如何, 上式
4、总成立.,例若,【性质3】,则,（积分区间的可加性）,【推广】,首尾相接,【证】,【性质4】,【性质5】（不等式性质）比较性质,【几何意义明显】,保号性,【解】,令,于是,【性质5的推论】,【证】,推论1,【证】,推论2,【说明】,【证】,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,【性质6】（估值性质）,【解】,复习闭区间上的连续函数求最值的一般方法.,【解】,【证】,由闭区间上连续函数的介值定理的推论知：,【性质7】（定积分中值定理）,积分中值公式,使,即,数值,【积分中值公式的几何解释】,【注意】,1.积分中值定理的,微分中值定理的,2.显然，积分中值公式不论ab还是ab都是成立的.,3.从几
5、何角度易看出，,表示连续曲线 在 上的平均高度.,为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边,而高为f()的一个矩形的面积。,亦即函数 在 上的平均值.,它是有限个数的平均值概念的拓广,【解】,由积分中值定理知有,使,【分析】去掉积分号才容易求极限，则想到用积分中值定理,等价无穷小代换最简单,七、小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,求近似，以直（不变）代曲（变）,取极限,【思考题】,1.将和式极限：,表示成定积分.,【思考题解答】,原式,法,法,原式,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面
6、积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,
