1、- 1 -滚动小专题（五） 三角形的有关计算与证明三角形的有关计算和证明是中考的必考内容之一，这类试题解法比较灵活，通常以全等三角形、等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质和判定为考查重点，以计算题、证明题的形式出现，解答这类问题时，不仅要熟练掌握有关的公式定理，更要注意它们之间的相互联系.例 (2014重庆 B 卷)如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，E 为 AC 边的中点，过点A 作 ADAB 交 BE 的延长线于点 D.CG 平分ACB 交 BD 于点 G，F 为 AB 边上一点，连接CF，且ACFCBG.求证：(1)AFCG；(2)CF2DE.【思路点拨】(1)要证明 AFCG
2、，可以利用“ASA”证明ACFCBG 来得到；(2)要证明 CF2DE，由(1)得 CF=BG，则只要证明 BG=2DE，又利用AEDCEG 可得DG=2DE，故证明 DG=BG 即可.【解答】证明：(1)ACB90，CG 平分ACB，ACBC.BCGCAB45.又ACFCBG，ACBC，ACFCBG(ASA),CFBG，AFCG.(2)延长 CG 交 AB 于点 H.ACBC，CG 平分ACB，CHAB，H 为 AB 中点.又ADAB，CHAD,G 为 BD 中点，DEGC.E 为 AC 中点，AEEC.又AEDCEG，AEDCEG(AAS),DEEG,DG2DE,BGDG2DE.由(1)得
3、 CFBG，CF2DE.方法归纳：解答与线段或角相等的有关问题时，通常将它转化为全等三角形问题来求解.1.(2014长沙)如图，四边形 ABCD 是矩形，把矩形沿对角线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，CE 与 AD 相交于点 O.- 2 -(1)求证：AOECOD；(2)若OCD=30，AB= ,求AOC 的面积.32.(2014滨州)如图，已知正方形 ABCD，把边 DC 绕 D 点顺时针旋转 30到 DC处，连接AC，BC，CC.写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程.3.如图，在ABC 中，ABC=45,CDAB,BEAC,垂足分别为 D、E，F 为 BC 中点，BE 与DF、D
4、C 分别交于点 G、H，ABE=CBE.(1)线段 BH 与 AC 相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG 2-GE2=EA2.- 3 -4.在等边ABC 中，点 E 是 AB 上的动点，点 E 与点 A、B 不重合，点 D 在 CB 的延长线上，且 EC=ED.(1)当 BE=AE 时，求证：BD=AE；(2)当 BEAE 时，“BD=AE”还成立吗？若你认为不成立，请直接写出 BD 与 AE 数量关系式，若你认为成立，请给予证明.5.(2014重庆 A 卷)如图，ABC 中，BAC=90，AB=AC，ADBC，垂足是 D，AE 平分BAD，交 BC 于点 E.在ABC
5、 外有一点 F，使 FAAE，FCBC.(1)求证：BE=CF；(2)在 AB 上取一点 M，使 BM=2DE，连接 MC，交 AD 于点 N，连接 ME.求证：MEBC；DE=DN.- 4 -参考答案1.(1)证明：由折叠的性质可得：AEAB,EB90.四边形 ABCD 是矩形，CDAB,D90.AECD，ED90.在AOE 和COD 中， ,AOECDAOECOD(AAS).(2)在 RtOCD 中，OCD30，OC=2OD.ABCD ，OD 2+CD2=OC2，3OD 2+( )2=4OD2,解得 OD1.OC2.由折叠知：BCAACO.ADBC，OACBCA，OACACO，OAOC2，
6、SAOC= OACD= 2 = .132.图中的所有的等腰三角形有：DCC，DAC，ABC，BCC，理由如下：正方形 ABCD，CD=AD=AB=BC，ADC=DAB=ABC=BCD=90.边 DC 绕 D 点顺时针旋转 30到 DC处，DC=DC=AD=AB，DCC=DCC= (180-30)=75，12即DCC是等腰三角形.ADC=90，CDC=30，ADC=60.DC=AD，DAC为等边三角形.AC=AD=AB，DAC=DCA=60,ABC为等腰三角形，BAC=90-60=30,ABC=ACB= (180-30)= 75,12CBC=90-75=15，CCB=90-75=15,CBC=C
7、CB,- 5 -BCC是等腰三角形.3.(1)BH=AC.证明：BDC=BEC=CDA=90,ABC=45,BCD=45=ABC,DB=DC.又BHD=CHE,DBH=DCA.DBHDCA,BH=AC.(2)证明：连接 GC.则 GC2-GE2=EC2.F 为 BC 中点，DB=DC，DF 垂直平分 BC,BG=GC.BG 2-GE2=EC2.ABE=CBE,CEB=AEB,BE=BE,BCEBAE.EC=EA,BG 2-GE2=EA2.4.(1)证明：如图 1，在等边ABC 中，ABC=ACB=60.BE=AE，ACE=ECB=30.又CE=DE，D=ECD=30.DEB=30，BE=BD，
8、BD=AE.(2)BD=AE 还成立.证明：如图 2，过点 E 作 EFAC 交 BC 于 F，易证EFB 为等边三角形，EF=FB=BE.EFB=EBF.CFE=EBD.CE=DE，ECD=D.ECFEDB，CF=BD.AB=BC，AB-BE=BC-BF，即 AE=CF.AE=BD.5.证明：(1)BAC=90，AB=AC，B=ACB=45.- 6 -FCBC，BCF=90.ACF=90-45=45，B=ACF.BAC=90，FAAE，BAE+CAE=90，CAF+CAE=90，BAE=CAF.在ABE 和ACF 中， ,BAECFABEACF(ASA).BE=CF.(2)如图，过点 E 作
9、 EHAB 于 H，则BEH 是等腰直角三角形.HE=BH，BEH=45.AE 平分BAD，ADBC，DE=HE，DE=BH=HE.BM=2DE，HE=HM，HEM 是等腰直角三角形，MEH=45，BEM=45+45=90，MEBC.由题意，得CAE=45+ 45=67.5，12CEA=180-45-67.5=67.5，CAE=CEA=67.5，AC=CE.在 RtACM 和 RtECM 中，,CMAERtACMRtECM(HL)，ACM=ECM= 45=22.5.12又DAE= 45=22.5，DAE=ECM.BAC=90，AB=AC，ADBC，AD=CD= BC.12在ADE 和CDN 中，- 7 -,DAECMNADECDN(ASA)，DE=DN.
