1、理科数学试题 第 1 页（共 4 页）绝密启用前 试卷类型：A茂名市 2016 年第一次高考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效。4考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。第卷 （选择题，共 60 分
2、）一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数 （ 为虚数单位）的虚部是 （ ）i215A. B. C. D. 2i222. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 （ ）A B C D ()|fx()xf()sinfx1()fx3. 已知 ， ，则 （ ）cos120taA. B. C. D. 33334.设双曲线 上的点 P 到点 的距离为 6，则 P 点到 的距离是（ 214yx(0,5)(0,5)） A2 或 10 B.10 C.2 D.4 或 8 5. 下列有关命题说法正确的是 （ ）A. 命题
3、p：“ ”，则 p 是真命题sin+co=2xxR，B 的必要不充分条件21560”使理科数学试题 第 2 页（共 4 页）C命题 的否定是：“ ”2,10xxR“使” 210xxR使D “ ”是“ 上为增函数”的充要条件1a()log()()af使6. 将函数 的图像向右平移 个单位得3sinf 3到函数 的图像,则 的一条对称轴方程可以为 （ ）)(xg)(xA. B. C. D. 437612712x7 2015 年高中生技能大赛中三所学校分别有 3 名、2 名、1 名学生获奖，这 6 名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是 （ ）A 130 B 15 C 0 D 58执行如图
4、 8 的程序框图，若输出 的值是 ，则 的值可以为 （ ）S2aA B C D2420160179若某几何体的三视 图(单位： )如图所示，则该几何体的体积（ ）cmA. B. C. D. 310cm33034cm10若 的展开式中存在常数项，则 可以为 （ ）nx32 nA8 B9 C10 D. 1111 （ ）AC则中在 ,60,8,A B C D 6001512012. 形如 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，),(|bcxy故我们把其生动地称为“囧函数” 若函数 2logafxx)1,(a有最小值，则当 的值分别为方程 中的 时的“囧函数”与函数,20yy的图像交点个数为（ ） |
5、logyaA B C D1246第卷（ 非选择题，共 90 分）二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13一个长方体高为 5，底面长方形对角线长为 12，则它外接球的表面积为 14如图，探照灯反射镜的纵截面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯口直径 AB 为 0 ，灯深（顶点 O 到反射镜距离） 0 ，6cm4cm则光源 F 到反射镜顶点 O 的距离为 15.已知点 yxP,的坐标满足条件 021yx，那么 21yx的取值范围为 理科数学试题 第 3 页（共 4 页）16 ，则 = CDBADAB，ABDC 3,3, 且的 一 个 三 等 分 点为中在 Bco
6、s三.解答题：本大题共 5 小题，每题 12 分共 60 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （本小题满分 12 分）已知 为单调递增的等差数列， ,设数列 满足nb 168,2583bbnanaa2231 (1)求数列 的通项 ； n(2)求数列 的前 项和 。nS18. （本小题满分 12 分）我国新发布的环境空气质量标准指出：空气质量指数在 05为优秀，人类可正常活动。某市环保局对该市 2015 年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取 50 个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为 ,1，15,2， ,35， ,4，由此得到样本的空气质量指数频
7、率分布直方图，如图.（1 ） 求 的值，并根据样本数据，试估计这一年度a的空气质量指数的平均值；（2 ） 如果空气质量指数不超过 15，就认定空气质量为“特优等级” ，则从这一年的监测数据中随机抽取天的数值，其中达到“特优等级”的天数为 .求 的分布列和数学期望。19 （本小题满分 12 分）如图， ABCD是平行四边形， EA平面 BCD，, ，EP/ 42， . F， G， H分别为 P，35， 的中点（1 ）求证： ；（2 ）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值。EBC理科数学试题 第 4 页（共 4 页）20 （本小题满分 12 分）已知椭圆 离心率为 ，以原点为圆心，2:1(0)xy
8、Cab32e以椭圆 C 的短半轴长为半径的圆 O 与直线 ： 相切。1lyx(1) 求椭圆 C 的方程； (2) 设不过原点 O 的直线 与该椭圆交于 P、Q 两点，满足直线 OP，2lPQ，OQ 的斜率依次成等比数列，求OPQ 面积的取值范围。21 （本小题满分 12 分）已知定义在 R 上的 偶 函 数 ，当 时， .()fx0,)()xfe（1）当 时，求过原点与函 数 图 像 相 切 的 直 线 的 方 程 ;(,0)xf（2）求最大的整数 ，使得存在 ，只要 ，就有 .(1mtR1,xm()ftex请在第 22.23.24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写
9、清题号.22 （本小题满分 10 分）选修 4-1，几何证明选讲如图， A、 B 是圆 O 上的两点,且 AB 的长度小于圆 O 的直径，直线 l与 AB 垂于点 D 且与圆 O 相切于点 C.若 1,2DBA（1） 求证： 为 的角平分线;C（2）求圆 的直径的长度。23 （本小题满分 10 分）选修 44：极坐标与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线 l的方程为 x+y-8=0，曲线 C 的参数方程为来源:学,科,网 Z,X,X,K.cos(3inxy为 参 数 ）（1） 已知极坐标系与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点， 以 x 轴正半轴为极轴，若点 P 的极坐
10、 标为 ，请判断点 P 与曲线 C 的位置关系；24（ ， ）（2）设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l的距离的最小值与最大值。24 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲设函数 fxa(1) 当 时，求不等式 的解集；2a12)(xf（2） 若 ,关于 的不等式 的解集为 ,且 ,0|A2)(afBA理科数学试题 第 5 页（共 4 页）求实数 的取值范围.a茂名市 2016 年第一次高考模拟考试数学试卷（理科）参考答案一选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D D A A D A C B B C
11、 D C第卷 （ 非选择题，共 90 分）二填空题： 本大题共 4 小题，每小题 5 分 13. ；14. 或 或 ；15. 8,516 ; 16. 1695.62cm84cm1867提示：1. 复数 ，所以虚部为 。 选 D 2()1iii22. A 中 非奇非偶； B 中 是偶函数；C 中 在 分别是减函数，但在)fx()fx()fx,0)+)、 （ ，定义域 上不是减函数；D 中 是奇函数且在 R 上是减函数。选 D (,0+（ ， 2=3. ， 又 ，coscoscos11cs所以 ， 。选 A 232tan()tant334.双曲线 a=2,b=1,c= ,它的左右焦点分别是 ， ，
12、由定5b1F(0,5)2(,5)义有 所以 ， 。选 A 121|64PF1|64P|或6. 法一： 的图像向右平移 个单位得新函数 3sin)(xf 3()sin()3gx，由 得 对称轴为 ， ，取 ，得sin()x2k()gx24kZ1k为所求。选 A 43法二：由 ， 得 对称轴为 ， ，图像向右平移 个单22xkZ()fx51k3位得 对称轴为 ， 取 ，得 为所求。()g53124kZ043x7. 由已知把第一个及第二个学校的学生看做整体得同校学生排在一起共 种方法，而三个2A学校的学生随便排有 种方法，由古典概型的概率计算公式得所求概率：6A理科数学试题 第 6 页（共 4 页）
13、，故选 C 326A1540P8第 1 次运算： ， ；第 2 次运算： ， ；第 31012Sk21()2Sk次运算： ， ； 是周期为 3 的周期数列，32S3n， ；所以 满足要求。选 B 20153671SS05k2015a9.该几何体是三棱柱 砍掉一角 而成的 ，体1ABCBAC积为 ，111BCAC2V-V3432选 B 10 的展开式通项为nx32，若存在常数项，则 有整数解，故23251()(1)rrrrnrnnTxx250nr，n 必为 5 的倍数，选 C 11. 22| 68cos6BACBABAC 1cs又 。选 D 0(,8)1012 提示： 令 ，则 是 与 复合函数
14、，2ux2log1afxxlgayu2x，当 是增函数， 时有最小值， 213()4layu3,+4）所以 ； ，a20x22(1)()01xyxy所以 ，这时“囧函数”为 它与函数 与函数cb| |loga在同一坐标系内的图象如图所示，图像交点个数为 4 ，选 C 13. 如图，长方体 中，AC12，1ABCD15A它外接球直径 2R ，23外接球的表面积为 。 4()69R14.建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为 ，2(0)ypx则点 A（40，30）在抛物线上， （ ）25301.28cm理科数学试题 第 7 页（共 4 页）15. 021yx表示的平面区域如图， 21yx表示区域内
15、点 yxP,与点 M（-1，0）的距离的平方，由图知： 最大；22|()8MCM 到直线 的距离的平方 最小。)0|6(51由于 不取等号，所以 不是最小值，答案： ,2xy6516令 AC=AD=1，CD=x 0 , 则 AB=3 ， BC= 3x ， 22139cos13mA22986147cos338mB三、解答题：17. 解：(1) 解法 1： 设 的公差为 ，则nbd为单调递增的等差数列 且 1 分0d56b由 得 解得 4 分38562156218b142655 分d6 分)()(5 ndnbn 2nb解法 2：设 的公差为 ，则b为单调递增的等差数列 1 分0d由 得 解得 5
16、分3856111926458241d6 分)()(ndnbn nb（2 ） 7 分2由 3112nnaa 得 8 分12 nb -得 ， 9 分n441na23又 不符合上式 10 分81b 8nn当 时,2n4231323 1232 nnnS11 分符合上式 , 12 分811nnS*N18 解： (1)由题意，得 2 分(0.32.0.8)a理科数学试题 第 8 页（共 4 页）解得 3 分0.3a50 个样本中空气质量指数的平均值为5 分.21.20.3.18402.6X可估计 2015 年这一年度空气质量指数的平均值约为 24.6 6 分(2）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在 内
17、为“特优等级” ，且指数达到“特优等级”,5的概率为 0.2，则 。 的可能取值为 0，1，2， 7 分022 2()(.).80.64,()(.).83,PCPC2()(0.).4PC的分布列为：0 1 2P.640.320.410 分.(或者 )。 12 分0.641.320.4.E2.4E19 解： (1)证明：如图 19-11 分ABCD平 面B2 分5,而 E点3 分P面PE的 中 点分 别 为中在 FG,GF/同 理 H点而 5 分HB面6 分D(2)法 1：如图 19-2，设 的中点为 ，连结 ， ， . QBCQ易知 所以 四点共面 CEQ且/ ,F, 分别为 P， B， 的中
18、点7 分AEADF面/同理 又 8 分G面/G点PEADFGH面面 /二面角 即为平面 与平面 所成的锐二面角 9 分, , 10 分BD/ B平 面且 E就是平面 与平面 所成锐二面角的一个平面角 11 分QHBC12 分51642cos法 2：如图 19-3，设 的中点为 ，连结 ， ， .作 于点PDQECQBDM易知 所以 四点共面 7 分BEC且/ ,AP平 面C理科数学试题 第 9 页（共 4 页）又 8 分BDPBC且PBDC平 面9 分DME平 面又由(1)知 GFH面的法向量 10 分和 平 面分 别 为 平 面,524，QQ中在11 分BB中在设平面 FGH与平面 所成锐二
19、面角的大小为 ，则EC12 分BDMcos5法 3：如图 19-4， PDA，B/平 面1 分P又 2 分,4,A建立如右图所示坐标系,则 ),30(4,)(0,)E),(G, , ,)40()3(C2F,3HDB10(G)0(, 4 分)30()2,34E(1) 5 分010H6 分B(2) 设 的一个法向量为 ,则EC平 面 )(yxn由 得 7 分0n0234xy解得 8 分21xy)1,(又 而 ，0304FHDBFHBDGFH理科数学试题 第 10 页（共 4 页）平面 ， 为平面 的一个法向量 10 分BDFGHBDF11 分25cos,4n平面 FGH 与平面 EBC 所成锐二面
20、角的余弦值为 12 分520解：(1) 由直线 ： 与圆 相切得：1l20xy22xyb， 2 分2|0|1()db由 得 ， 3 分3cea2ca又 4 分22b23144椭圆 C 的方程为 5 分2xy(2）由题 意可知，直线 的斜率存在且不为 0，故可设直线 l 的方程为lykx m(m0)，P(x 1，y1)，Q(x2，y2)， 由Error!消去 y 得(1 4k 2)x28kmx 4(m 21) 0， 6 分则 64 k2m216(14k 2)(m21)16(4k 2m 21)0， 且 x1x 2 ，x1x2 . 7 分 8km1 4k2 4m2 11 4k2故 y1y2(kx 1
21、m)( kx2m )k 2x1x2km( x1x 2)m 2.因为直线 OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以 k 2， 8 分y1x1y2x2 k2x1x2 kmx1 x2 m2x1x2即 m 20， 又 m0，所以 k2 ，即 k . 9 分 8k2m21 4k2 14 12由 0，及直线 OP，OQ 的斜率存在，得 0m22 且 m21. 10 分SOPQ |x1x 2|m| ， 11 分12 m22 m2 1()（ 或 SOPQ ）2 212|()ABhkxmk理科数学试题 第 11 页（共 4 页）所以 SOPQ 的取值范围为(0,1) 12 分21 解：（1） 解法 1：因为
22、 为偶函数，当 时， ， 1 分()fx0xxefxf)()， 2 分 /e设 切 点 坐 标 为 ，则切 线 斜 率 为 0,)y 0/0xkf切 线 方 程 为 3 分0()xx又切 线 过 （ 0， 0） ， 所 以 4 分000()1,xxe，切 线 方 程 为 ，即 5 分key解法 2：当 时， ， ， 了 1 分,)x()xf/)xf记过原点与 相切 的 直线为 L，设 切 点 坐 标 为 ，xf 0(,)xy则切 线 L 斜 率 为 切 线 方 程 为 2 分0/xkfe0e又切 线 过 （ 0， 0） ， 所 以 3 分0()1,，切 线 方 程 为 ， 4 分key为 偶
23、函 数 ，图像关于 y 轴对称，()fx当 时，设过原点与 相切 的 直线 方程为,()fx/L即 5 分y0（2）因为任意 ，都有 ，故 x=1 时， 1,mte(1)fte当 时， ，从而 ， 0tte10t当 时， ，从而 ，()() ，综上 ， 6 分20t又整数 ， 即 ，故 ，故 x=m 时， 1t()fmte得： ， 即存在 ，满足7 分mte,tte ，即 ， 8 分2int30me令 ， ，则 3()xg,)3()xge当 时， ， 单调递减；,()gx当 时， ， 单调递增， 9 分又 ， ， ，3()20e30e3(4)032(5)4)0ge由此可见，方程 在区间 上有唯
24、一解 ， ()x2, 4,m且当 时 ，当 时 ，0,xmg0xgx，故 ，此时 . 10 分Zax4t下面证明： 对任意 恒成立，|2()fe1,当 时，即 ，等价于 ，1,2xe， ， 11 分x,1xx理科数学试题 第 12 页（共 4 页）当 时，即 ，等价于2,4x2xe3max0xe令 ，则 ， 在 上递减，在 上递增，3()h3()1xh()h2,(3,4) ，而 ，max,4e综上所述， 对任意 恒成立。 12 分(2)fe,22.解： (I) 证法 1：如图 22-1由切割线定理得 3DBAC1 分3D2 分41,Rt 22B中在又 3 分中在 CAB4 分的 切 线为 圆又
25、 O= ， 为 的角平分线 5 分A证法 2：如图 22-1由切割线定理得 1 分32DBC3 分1tan,RtB中在 6BCD4 分3,AA中在A为 的角平分线 5 分6CCB(2）法 1：如图 22-2 连结 并延长交圆 于点 ,连结 ,OEC设 延长线上一点为 ,则 AE 为圆 O 直径， DF2A直线 l与圆 O 相切于点 C. ，ADB（等角的余角相等） 126 分B（相等的圆周角所对的弦相等） 7 分ACE8 分1239229 分64圆 的直径为 4 10 分4O法 2：如图 22-3,连结 和 ,则C6 分为 切 点为 切 线D, D又 7 分AB/， 8 分1324B，又 /A
26、四边形 AOCB 为菱形 9 分圆 的直径为 10 分OO2A理科数学试题 第 13 页（共 4 页）法 3：由证法 2 得 ，8 分1324BCDRt,ADC中 099 分0B如图 22-4 连结 OB ，为等边三角形，,6OOA圆 的直径为 10 分 24B23解：（1）设点 P 的直角坐标系坐标为 ，则 0y（ x， ） 042cosinx得 ： P（4，4） 。 2 分4 分22cos(cos1133inxxyiy为 参 数 ）点 P 在曲线 C 外。 5 分2412(2）法 1：因为点 Q 在曲线 C 上，故可设点 Q 的坐标为 ， 6 分3)(cos,in从而点 Q 到直线 l的距
27、离为 7 分38|1|cos+ind=8 分82cos()342cs()3当 时，Q 到直线 l的距离 的最小值为 9 分()1d2当 时，Q 到直线 的距离 的最大值为 10 分cos35法 2：直线 l的平行线 n 方程可设为： x+y+t=0 6 分联立 得 ，即 7 分210yxt22()3xt22430xt8 分 2246(3)480ttt曲线 C 的两切线方程为 与 xy20xy理科数学试题 第 14 页（共 4 页）Q 到直线 l的距离 的最大值为 9 分d(8)|521|=Q 到直线 l的距离 的最小值为 10 分()|3|-24 解：(1)解法 1： 时, 即为 可化为2a1
28、24)(xf 0412x3 分0530x或或解得 4 分22x或或所以不等式 的解集为 R 5 分14)(f解法 2：令 ,则 3 分2)(xxg2,513,)(xxg单 调 递 减时单 调 递 增 ， 当时当 )(,21)(,21xxg所以 4 分0所以不等式 的解集为 R 5 分 4)(f(2）解： 6 分| xxA 时 ，这时 的解集为 ,2a2)(af满足 , 所以 7 分B2a当 时 ,或 0B这时 即 可化为)(2xfx 22ax所以 8 分| 2因为 A所以 即 即0242a062a0123a所以 9 分1又因为 所以或 理科数学试题 第 15 页（共 4 页）综合得实数 的取值范围为 10 分a2,(
