1、2.3.1 向量数量积的物理背景与定义1、课标要求：以物理中“功”等实例，认识理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解向量夹角的概念；了解平面向量的数量积与向量的正射影的关系， 掌握平面向量数量积的定义。二、复习提问1、若向量 =( , ) ， =( , ) 则向量 （ ， ） ，a1xyb2xyba向量 （ ， ） ，向量 （ ， ）b2、若已知点 A( , ) ， B( , ) , 则向量 =（ ， ） 1xy2xyAB三、力做功计算：我们学过功的概念，即一个物体在力 F 的作用下产生位移 s（如图）力 F 所做的功 W 应当怎样计算？ W=|F| |S|cos 其中 是 F 与 S 的
2、夹角功是一个标量，是一个数量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？四、知识点拨1、如图所示，一个力 F 使物体发生位移 S 所做的 W 可以用下式计算 W= ，其中 就是 F 在 方向上的分量的数量，也就是力 F 在 方向上 的数cos量。2、两个向量的夹角（1）已知两个非零向量 、 （如图所示） ，ab作 ， , 则 称作向量 和OAaBa向量 的夹角，记作 ，并 规定它的范围是 ；b（2）当 时，我们就说向量 和向量 互相垂直，记作 。在讨论垂直b问题时，规定零向量与 垂直，当 时， 与 同向，当 时， 与aa反向；b3、向量在轴上的
3、正射影（1） 在轴 上的正射影：已知向量 和轴 .作 ，过点 O，A 分别作轴 的al alal垂线，垂足分别为 ，则向量 叫做向量 在轴 上的 （简称射1,AOl影） ，（2） 在轴 上的数量：该射影在轴 上的坐标，称 al l作 在 上的数量或在 的数量.（3） 在轴 上的坐标：l cosal4、向量的数量积（内积）（1）定义： 叫做向量 和 的数量积（或内积） ，记作 ，即 bba位移SO A F F S。5、平面向量的数量积的性质如果 是单位向量，则 （ ） ；eae0,ba ，且 （ ） ；内积为零是判定两向量垂直条件ba0a0,b ，或 ；用于计算向量的模 （ ） ；用于计算向量的
4、夹角 ,以及判断三角形的形,cos状 。ba课堂练习1.判断下列命题是否正确（1）.若 = ,则对任意向量 ，有 =0. ( )a0ba（2）.若 ,则对任意非零向量 ，有 0. ( )b（3）.若 ,且 =0,则 = . ( )0（4）.若 =0，则 =0 或 =0. ( )abb（5）.对任意的向量 ，有 = . ( )2a（6）.若 ,且 = ,则 = . ( )0c2、已知轴 l（1) 向量 =5, , =60 , 求 在 上的正射影的数量 ,OAlOAllOA（2)向量 =5, , =120, 求 在 上的正射影的数量 ,BBlB(3)已知向量 , ,向量| |=4,=60, 则向量
5、 在向量 上的正射影的ababab数量.3、已知| |=5，| |=4，=120，求 .abaab4、 在平行四边形 ABCD 中，已知 ， , , 求（1）4AB3D60AB(2) (3) ADBCAD5、已知| |，| |，,求 abab（1）| |=8,| |=4,= ; （2）| |=7,| |=12,= ;60ba120（3）| |=4,| |=2,= ; （4）| |=4,| |=1,= ;ab6、已知 ，| | |,求 。abab（1） =5，| | |=10; （2） = -8，| | |=10;ab（3） = -25，| | |=25; （4） = ，| | |=12;367
6、、若 = -9，| |=3， = ，则| |= abab38、已知| |=5， 在 方向上的正射影的数量分别为：ab（1）6；（2）-6 ；3） 8 ；（4） -8 求 ab9、在直角坐标系 内，已知向量 与 轴和 轴的正向的夹角分别xoyABxy为 和 ，求 在 轴、 轴上正射影的数量。1203y10、若 0，则 与 的夹角 的取值范围是（ ）ababA.0， ) B. , ) C. , D. 0， 22211、已知向量 、 满足| |=| |=1, 与 的夹角为 ，则 + 等于ab60abA.1 B. C.1+ D.22312、已知 中， ， 是 中最大的角，若 ，ABCa,bBCAB0b
7、a判断 的形状。13、已知| |=5， | |=4， 与 的夹角 =120o，求 .abaab14、已知| |=6， | |=4， 与 的夹角为 60o 求( +2 )( -3 )abaab15、已知| |=3， | |=4， 且 与 不共线，k 为何值时，向量 +k 与 -k 互ababab相垂直. 16、已知 ， ，当 ， ，abab 与 的夹角是 60时，分别求 .b17、已知| |=1，| |= ，(1)若 ，求 ；(2)若 、 的夹角为，求|ab2abab+ |； (3)若 - 与 垂直，求 与 的夹角.b18、设 m、n 是两个单位向量，其夹角为 ，求向量 =2m+n 与 =2n-3m 的夹角.60ab
