1、克里格法（Kriging）有公式版二、克里格法（Kriging） 克里格法（Kriging）是地统计学的主要内容之一，从统计意义上说，是从变量相关性和变异性出发，在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏、最优估计的一种方法；从插值角度讲是对空间分布的数据求线性最优、无偏内插估计一种方法。克里格法的适用条件是区域化变量存在空间相关性。 克里格法，基本包括普通克里格方法（对点估计的点克里格法和对块估计的块段克里格法） 、泛克里格法、协同克里格法、对数正态克里格法、指示克里格法、折取克里格法等等。随着克里格法与其它学科的渗透，形成了一些边缘学科，发展了一些新的克里金方法。如与分形的结合，发展了分形克里
2、金法；与三角函数的结合，发展了三角克里金法；与模糊理论的结合，发展了模糊克里金法等等。 应用克里格法首先要明确三个重要的概念。一是区域化变量；二是协方差函数，三是变异函数 一、区域化变量 当一个变量呈空间分布时，就称之为区域化变量。这种变量反映了空间某种属性的分布特征。矿产、地质、海洋、土壤、气象、水文、生态、温度、浓度等领域都具有某种空间属性。区域化变量具有双重性，在观测前区域化变量 Z(X)是一个随机场，观测后是一个确定的空间点函数值。 区域化变量具有两个重要的特征。一是区域化变量 Z(X)是一个随机函数，它具有局部的、随机的、异常的特征；其次是区域化变量具有一般的或平均的结构性质，即变量
3、在点X 与偏离空间距离为 h 的点 Xh 处的随机量 Z(X)与 Z(X+h)具有某种程度的自相关，而且这种自相关性依赖于两点间的距离 h 与变量特征。在某种意义上说这就是区域化变量的结构性特征。 二、协方差函数 协方差又称半方差，是用来描述区域化随机变量之间的差异的参数。在概率理论中，随机向量 X 与 Y 的协方差被定义为： 区域化变量 在空间点 x 和 x+h 处的两个随机变量 Z(x) 和 Z(x+h) 的二阶混合中心矩定义为 Z(x) 的自协方差函数，即 区域化变量 Z(x) 的自协方差函数也简称为协方差函数。一般来说，它是一个依赖于空间点 x 和向量 h 的函数。 设 Z(x) 为区
4、域化随机变量，并满足二阶平稳假设，即随机函数 Z(x) 的空间分布规律不因位移而改变， h 为两样本点空间分隔距离或距离滞后，Z(xi) 为 Z(x) 在空间位置 xi 处的实测值， Z(xisize=2+h/size) 是 Z(x) 在 xi 处距离偏离 h 的实测值，根据协方差函数的定义公式，可得到协方差函数的计算公式为： 在上面的公式中， N(h)是分隔距离为 h 时的样本点对的总数， 和 分别为 和 的样本平均数，即 在公式中 N 为样本单元数。一般情况下 （特殊情况下可以认为近似相等） 。若 （常数） ，协方差函数可改写为如下： 式中， m 为样本平均数，可由一般算术平均数公式求得，
5、即 三、变异函数 变异函数又称变差函数、变异矩，是地统计分析所特有的基本工具。在一维条件下变异函数定义为，当空间点 x 在一维 x 轴上变化时，区域化变量 Z(x)在点 x 和 x+h 处的值 Z(x) 与 Z(x+h) 差的方差的一半为区域化变量 Z(x) 在 x 轴方向上的变异函数，记为 ，即 在二阶平稳假设条件下，对任意的 h 有， 因此上式可以改写为： 从上式可知，变异函数依赖于两个自变量 x 和 h ，当变异函数 仅仅依赖于距离 h 而与位置 x 无关时， 可改写成 ，即 设 Z(x)是系统某属性 Z 在空间位置 x 处的值， Z(x)为一区域化随机变量，并满足二阶平稳假设， h 为
6、两样本点空间分隔距离，Z(xi) 和 Z(xi+h)分别是区域化变量 在空间位置 xi 和 xi+h 处的实测值 i=1,2,.,N(h) ，那么根据上式的定义，变异函数 的离散公式为：变异函数揭示了在整个尺度上的空间变异格局，而且变异函数只有在最大间隔距离 1/2处才有意义。 四、克里格估计量 假设 x 是所研究区域内任一点， Z(x)是该点的测量值，在所研究的区域内总共有 n 个实测点，即 x1,x2,.,xn ，那么，对于任意待估点或待估块段 V 的实测值 Zv(x) ，其估计值是通过该待估点或待估块段影响范围内的 n 个有效样本值 的线性组合来表示，即式中， 为权重系数，是各已知样本在
7、 Z(xi) 在估计 时影响大小的系数，而估计 的好坏主要取决于怎样计算或选择权重系数 。 在求取权重系数时必须满足两个条件，一是使 的估计是无偏的，即偏差的数学期望为零；二是最优的，即使估计值 和实际值 Zv(x)之差的平方和最小，在数学上，这两个条件可表示为 五、普通克里格分析方法 设 Z(x)为区域化变量，满足二阶平稳和本征假设，其数学期望为 m ，协方差函数 c(h) 及变异函数 (h)存在。即 对于中心位于 x0 的块段为 V ，其平均值为 Zv(x0) 的估计值以 进行估计。 在待估区段 V 的邻域内，有一组 n 个已知样本 ，其实测值为。克里格方法的目标是求一组权重系数 ，使得加
8、权平均值： 成为待估块段 V 的平均值 Zv(x0) 的线性、无偏最优估计量，即克里格估计量。为此，要满足以下两个条件： 1、无偏性。要使 成为 Zv(x) 的无偏估计量，即 ，当时，也就是当 时，则有： 这时， 是 的无偏估计量。 2、最优性。在满足无偏性条件下，估计方差 为 由方差估计可知为使估计方差 最小，根据拉格朗日乘数原理，令估计方差的公式为： 求以上公式对 和 的偏导数，并令其为 0，得克里格方程组 整理后得： 解上述 n+1 阶线性方程组，求出权重系数 i 和拉格朗日乘数 ，并带入公式，经过计算可得克里格估计方差 ，即： 以上三个公式都是用协方差函数表示的普通克里格方程组和普通克里格方差。
