1、第五节 定积分的应用,一、平面图形的面积,五、变力所作的功,二、平行截面面积为已知的立体的体积,三、旋转体的体积,四、函数的平均值,六、小结 思考题,Applications of Integration,一、平面图形的面积,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,解,两曲线的交点,面积元,选 为积分变量,解,两曲线的交点,选 为积分变量,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,问题：,积分变量只能选 吗？,解,两曲线的交点,（一）选 x 为积分变量,选 为积分变量,解,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,二、平行截面面积为已知的立体的体积,一个立体如图所示，如果已知该立体上垂直于一
2、定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积可用定积分来计算.,立体体积,体积元,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,三、旋转体的体积,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,旋转体的体积为,解,直线 方程为,绕y轴及x轴旋转所成 椭球体的体积,解,由对称性知总体积等于第一象限部分曲线绕x轴旋转的体积的2倍,旋转轴,y,x,旋转轴,四、函数的平均值,实例：用某班所有学生的考试成绩的算术平均值来描述这个班的成绩的概貌.,算术平均值公式,只适用于有限个数值,问题：求气温在一昼夜间的平
3、均温度.,入手点：连续函数 在区间 上的平均值.,讨论思想：分割、求和、取极限.,（1）分割：,每个小区间的长度,设各分点处的函数值为,函数 在区间 上的平均值近似为,每个小区间的长度趋于零.,（2）求和：,（3）取极限：,函数 在区间 上的平均值为,几何平均值公式,区间长度,解,解,例2,假设实验中所测到的血液胰岛素水平按如下函数形式变化：,问在60分钟内胰岛素水平的平均值是多少？,五、物理学及医学上的应用,解,设木板对铁钉的阻力为,第一次锤击时所作的功为,例1 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问
4、第 n 次锤击时又将铁钉击入多少？,设 次击入的总深度为 厘米,次锤击所作的总功为,依题意知，每次锤击所作的功相等,次击入的总深度为,第 次击入的深度为,例2 脉管稳定流动中的血流量。,求单位时间内，通过 该截面的血流量Q。,解,将截面分为n个环，每个环的厚度为,血管某截面上 某点与血管中心的距离为r，,解,设均匀细杆的线密度为 ，,则,例3 求质量为M，长为 l 的均匀细杆过其端点且垂直于杆的轴的转动惯量。过其中心呢？,六、小结,1、求在直角坐标系下平面图形的面积.,（注意恰当的选择积分变量有助于简化 积分运算）,3、旋转体的体积,2、平行截面面积为已知的立体的体积。,绕 轴旋转一周,绕 轴旋转一周,5、利用“微元法”思想求变力作功等物理、医学问题,（注意熟悉相关的物理、医学知识）,4、函数的平均值,思考题,思考题,一、填空题：,三、计算定积分：,二、根据定积分的几何意义，判断下列定积分的正负：,
