1、1参数方程化普通方程 重点难点掌握参数方程化普通方程的方法，理解参数方程和消去参数后所得的普通方程的等价性；应明确新旧知识之间的联系，提高综合运用所学知识解决数学问题能力。 例题分析1把参数方程化为普通方程(1) ( R， 为参数) 解: y=2+1-2sin 2, 把 sin=x 代入， y=3-2x 2,又 |sin|1, |cos2|1, |x|1, 1y3, 所求方程为 y=-2x2+3 (-1x1, 1y3) (2) (R， 为参数） 解: x 2=(sin+cos)2=1+2sincos，把 y=sincos 代入， x 2=1+2y。 又 x=sin+cos= sin(+ ) y
2、=sincos= sin2 |x| ，|y| 。 所求方程为 x2=1+2y (|x| , |y| ) 小结:上述两个例子可以发现，都是利用三角恒等式进行消参。消参过程中都应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出 x, y 的范围。在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。 (3) (t1, t 为参数) 法一:注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法。 x+y= =1, 又 x= -1-1，y= 2, 所求方程为 x+y=1 (x-1, y2)。 法二:其实只要把 t 用 x 或 y 表示，再代入另一表达式即可。由 x= , x+
3、xt=1-t, (x+1)t=1-x，即 t= 代入 y= =1-x， x+y=1 ，（其余略） 这种方法称为代入消参，这是非常重要的消参方法，其它不少方法都可以看到代入消参的思想。 2(4) (t 为参数) 分析:此题是上题的变式，仅仅是把 t 换成 t2 而已，因而消参方法依旧，但带来的变化是范围的改变，可用两种求值域的方法: 法一:x= -1, t 20, t2+11, 00)，过原点作互相垂直的两条直线分别被抛物线截得线段为 AB，CD，M 为 AB中点，N 为 CD 中点，G 为 MN 中点。求 G 点轨迹方程，并说明其图形。 解:设 AB 方程为 y=kx 代入抛物线方程 y2=4
4、p(x+p) k 2x2-4px-4p2=0, 若 A，B 坐标为(x 1, y1), (x2, y2) 则 x M= , yM= , ABCD, CD 方程为 y=- x，代入 y2=4p(x+p)， x2-4px-4p2=0，设 C(x3, y3),D(x4,y4) 4 N(2pk 2, -2pk) 则 G 点坐标(x,y)为 y 2=p2( +k2-2)=p2( -2)=p(x-2p)x=p(k 2+ )p2 =2p，而 yR 在方程中都已体现， 轨迹方程为 y2=p(x-2p)为顶点(2p,0) 开口向右的抛物线。 说明:消参一般应分别给出 x,y 的范围，而二题中变量的范围已体现在方
5、程之中。在某些特殊情况，消参之后给出 x,y 的范围也不能说明原曲线的轨迹，这时应用语言作补充说明。如方程 0, ，是个圆，但消参之后得 x2+y2=1(|x|1, |y|1)却无法说明这一点。在线测试选择题1曲线的参数方程为 （ 为参数），则方程所表示的曲线为（ ） A、射线 B、线段 C、双曲线的一支 D、抛物线 2参数方程 （ 为参数，且 02）所表示的曲线是（ ）. A、椭圆的一部分 B、双曲线的一部分 C、抛物线的一部分，且过(-1， )点 D、抛物线的一部分，且过(1， )点 53已知直线 l 的参数方程为 则直线 l 的倾斜角为（ ） A、 B、 C、 D、 4抛物线 （t 为参
6、数）的准线方程是（ ） A、x=3 B、x=-1 C、y=0 D、y=-2 5弹道曲线的参数方程为 （t 为参数，v 0，g 为常数）当炮弹到达最高点时，炮弹飞行的水平距离是（ ） A、 B、 C、 D、 答案与解析 答案：1、B 2、D 3、D 4、D 5、C解析：（1） x=cos 20，1，y=1-cos 2=1-x， x+y-1=0， x0，1为一条线段。故本题应选 B。 （3）本题认为直线 l 的倾斜角是 是不对的，因为只有当直线的参数方程为：（其中 t 为参数），其中的 才是直线的倾斜角，消去参数 t，化参数方程为普通方程后，再求直线 l 的倾斜角是可以的。但直线 l 的倾斜角 适
7、合 tan= ，这里只要把两个方程相除就可得： ， tan= =- ，又 0， = 。故本题应选 D。 6（4）化参数方程为直角坐标方程，得(x-2) 2=4(y+1)，其准线方程为 y=- -1=-2。故本题应选 D。 （5）由 y=v0tsin- 知，当炮弹到达最高点时，t= ，代入 x=v0tcos，得x=v 0cos 。故本题应选 C。参数方程、极坐标疑难辨析 参数方程是曲线与方程理论的发展，极坐标是坐标法的延伸参数方程的基本概念与极坐标系的理论是本章的重点参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定、极坐标方程与曲线的基本理论是本章的难点与疑点弄清这两个难点，把握参数法变与不变矛盾
8、的统一的思想是学好本章的关键 把握求轨迹方程的参数法的基本思路和消参数的基本方法，重视消参数前后 x、y 的取值范围的变化是保证轨迹完备性、纯粹性的关键弄清一点的极坐标的多种表达式：（(-1) n，+n ），（nZ）和极坐标与直角坐标的互化是运用极坐标解决问题的基本功 题 1 下列参数方程（t 是参数）中方程 y2=x 表示同一曲线的是（ ）【疑难或错解】 参数方程与消去参数后所得的普通方程是否表示同一曲线的判定是一难点问题的实质在于判定方程的同解性方程的同解性原是代数中的难点，加上参数方程中出现的函数不局限于代数函数，其困难就更大了本题各个参数方程消去参数后所得普通方程都是 y2=x，更增加
9、迷惑性，因而误选 A、B、C 都有 【剖析】 从 A、B、C、D 消去参数 t 后所得的普通方程都是 y2=x但在 A 中 y=t20，这与 y2=x 中 y 的允许值范围 yR 不一致，故 A 应排除在 B 中，x=sin 2t0，x0，1与 y=sint-1，1与方程 y2=x 中的x，y 取值范围不一致，故 B 也应排除 中的 x0，+)，yR 完全相同，所以 D 中参数方程与 y2=x 同解，应选 D 【点评】 参数方程与消去参数后所得普通方程是否同解的判定，涉及函数定义域与值域的研究而无通法可循，只能根据参数方程 通方程 F(x，y)=0 中 x，y 的允许值范围（即方程 F(x，y
10、)=0 的定义域）是否一致来判断仅根据消去参数后所得的普通方程 F(x，y)=0 的外形来判定，常易失误 表示的曲线是（ ）A圆 B半圆 C四分之一圆 D以上都不对 7消去 ，得 x2+y2=1，未分析x，y 的取值范围，即断言表示的曲线为圆，而误选 A 时 t 不存在，所以消去 t 后方程x2+y2=1 中 x-1，即在圆 x2+y2=1 中应除去一点（-1，0）所以此参数方程表示的曲线为单位圆 x2+y2=1 上除去一点（-1，0）在普通方程 x2+y2=1 中应注明 x(-1， 1应选 D 为参数)交于 A、B 两点，求弦长|AB| 【疑难或错解】 以直线的参数方程代入双曲线的普通方程(
11、y-2) 2-x2=1，有(-4t) 2-(-1+3t)2=1，即7t 2+6t-2=0 方程的两个根分别为 t1=PA，t 2=PB，其中点 P 的坐标为（ -1，2）方程的两个根：错解混淆了直线参数方程的标准型和非标准型中参数 t 的几何意义在标准型中，P（x 0，y 0）为直线上的定点，Q（x，y）为直线上任意一点，则 t 表示有向线段 PQ 的数量（规定直线向上、向右为正方向）这一结论不适用于非标准型因此运用直线参数方程求二次曲线的弦长时，应先将直线的参数方程化为标准型，否则将导致错误 将双曲线方程化为普通方程： 8(y-2) 2-x2=1 方程的两个根分别为 t1=PA，t 2=PB
12、,【点评】 设 A、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2） 的定点， 故 x 1-x2=a(t1-t2)，y 1-y2=b(t1-t2)，(x 1-x2)2+(y1-y2)2=(a2+b2)(t1-t2)2 利用这一结果也可求|AB| 之长，结果与正解同 9所以此曲线为以 为端点的线段。 【点评】 消去参数过程中不分析 x，y 的取值范围，导致轨迹纯粹性受破坏 【剖析】 错解仅考虑 ab0 的情况，而忽视 ab=0 的情形，因而解答不完整ab=0 时，有a=0，b0；a0 ，b=0；a=0，b=0 三种情况，应逐一进行讨论 【正确】 当 ab0 时，如上解有 当 ab=0
13、时，有下列三种情形：（1）a=0，b0 时，原方程为 此时，曲线为 y 轴（含原点） （2）a0， b=0，原方程为|x|a|，即 x|a|或 x-|a|消去 t，得普通方程为 y=0，x(-，-|a|a|，+) 此时曲线为 x 轴上的两条射线，端点分别为(|a|，0)指向正半轴；(-|a|，0)指向负半轴 【点评】 消去参数过程中不注意方程中 x，y 的取值范围，对任意常数 a，b 的可能情况不分别讨论是导致失误的主要原因 10（t 为参数）问 l1 与 12 是否表示同一曲线？为什么？ 【疑难或错解】 l 1： 未对 x，y 的取值范围进行分析，根据两曲线的普通方程，即断言 l1 和 l2
14、 表示同一直线，焉能不失误 【剖析】 在曲线 l1 的参数方程中， x=1+cos2=2cos20，2，消去参数 所得的普通方程 2x-y+1=0 中x0，2 ，所以曲线 l1 为以（ 0，1）与（2，5）为端点的线段只 l2，所以 l1、l 2 不是同一条曲线 【点评】 在曲线 l1 消去参数时，未分析 x 的取值范围，破坏了轨迹的纯粹性，是导致失误的主要原因 A20 B 70 C110 D 160 而误选（A） （D） 还有将原方程化为而无法作出判断 【剖析】 上述疑难的根源在于对直线参数方程标准型概念模糊所致在直线参数方程的标准型：sin0 ，故当 a0，b0，且 a2+b2=1 时，才
15、是标准型 11等都不是直线参数方程的标准型，由此推出的直线的倾斜角都是错的。欲将其化为标准型，应将 x=tsin20+3 化为 x=3+(-t)sin(-20)=3+(-t)cos(90+20)即 x=3+(-t)cos110，y=(-t)sin(90+20)=(-t)sin110 这才是此直线参数方程的标准型，此直线倾斜角为 110，应选 C 倾斜率为 110，无须化为标准型另外结合直线的图像，过点（3，0）、（3+sin20，-cos20）。所以直线的倾斜角为钝角，排除 A、B，又由 cos20sin20，可知倾斜角160，排除 D，而选 C诚如华罗庚所说：“不可得义忘形” ，形义结合，常
16、可快速获解。 B 两点，试求|PA|+|PB|之值 【疑难或错解】 直线 l 的参数方程为代入椭圆方程，得方程的两个根分别为 t1=PA，t 2=PB12t 1=PA0，t 2=PB0|PA|+|PB|=|t 1|+|t2|=t1-t2 【剖析】 错解对 P(x0，0)的不同位置未加分析，贸然画图，把点 P 画在椭圆内部，只就|x 0|5 的情况作解答，忽视了点 P 在椭圆上或外的情况，可见错解是不完整的 【正确】 当点 P(x0，0)在椭圆内部时，|x 0|5，此时，上时，|x 0|=5，方程为当点 P(x0，0)在椭圆外时， |x0|5，t 1t20，即 t1、t 2 同号，【点评】 当问题中出现任意常数（如这里的 x0）时，应考虑各种可能，逐个进行分析讨论，否则可能犯以偏概全或漏解的错误
