1、 回归方程及用回归方程进行估计两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)，( x2，y 2)，(x n，y n)，其回归方程为 ，则axby.xbyaxnyyxiniiniiiii ,)( 12121、 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨) 与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据：x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程；(3)已知该厂技术改造前 100 吨甲产品能耗为 90 吨标准煤，试根据 (2)求出的线性回归方程，预测生产 10
2、0吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？(参考值 32.54354 64.566.5)2、 某地区 2009 年至 2015 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位：千元) 的数据如下表：年份 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015年份代号 t1 2 3 4 5 6 7人均纯收入 y2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9(1)求 y 关于 t 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析 2009 年至 2015 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2017 年农村居民家庭人均纯收入3假设关于某种设备的使用年限 x(
3、年) 与所支出的维修费用 y(万元)有如下统计资料：x 2 3 4 5 6y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0已知 =90， 112.3.512ix51iiyx(1)求 ， ；y(2)如果 x 与 y 具有线性相关关系，求出线性回归方程；(3)估计使用年限为 10 年时，维修费用约是多少？4( )某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，2015安 徽 模 拟得到如下数据：单价 x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量 y(件) 90 84 83 80 75 68(1)求回归直线方程 bxa，其中 b20，a b ；y yx(2)预计在今后的
4、销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是 4 元/ 件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润销售收入成本)5某公司利润 y 与销售总额 x(单位：千万元)之间有如下对应数据：x 10 15 17 20 25 28 32y 1 1.3 1.8 2 2.6 2.7 3.3(1)画出散点图；(2)求回归直线方程；(3)估计销售总额为 24 千万元时的利润参考数据： ， .71234ix71346iiyx6、某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了 1至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如
5、下资料：日期 1 月10 号 2 月10 号 3 月10 号 4 月10 号 5 月10 号 6 月10 号昼夜温差 x() 10 11 13 12 8 6就诊人数 y(个) 22 25 29 26 16 12该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归方程，再用被选取的 2 组数据进行实验(1)求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是 1 月与 6 月的两组数据，请根据 2 至 5 月份的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人，则认为得到的线性回归方
6、程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？类型四 求回归方程及用回归方程进行估计下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨) 与相应的生产能耗 y(吨标准煤) 的几组对照数据：x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程；(3)已知该厂技术改造前 100 吨甲产品能耗为 90 吨标准煤，试根据 (2)求出的线性回归方程，预测生产 100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？(参考值 32.54354 64.566.5)解：(1)散点图如下：(2)由系数
7、公式可知， 4.5， 3.5，xy 0.7，b66.5 44.53.586 44.523.50.74.50.35，a所以线性回归方程为 0.7x0.35.y(3)x100 时， 0.7x0.3570.35，所以预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低 19.65 吨标准煤【点拨】牢记求线性回归方程的步骤：(1)列表；(2)计算 ， ， ， ;(3)代入公式求 ，再利用xynii1nix12b求 ；（4）写出回归方程.xbya某地区 2009 年至 2015 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位：千元) 的数据如下表：年份 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2
8、015年份代号 t1 2 3 4 5 6 7人均纯收入 y2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9(1)求 y 关于 t 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析 2009 年至 2015 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2017 年农村居民家庭人均纯收入附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：= ， = - .bniiityt12)(atb解：(1) (12345 67)4，t17 4.3，y2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.97 =0.5，b712)4(.iiityt= - =4.3-0.54=2.3，ay所求线性
9、回归方程为 =0.5t+2.3.y（2）由（1）知， =0.50，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加 0.5 千b元.将 2015 年的年份代号 t=9 代入（1）中的回归方程，得 =0.59+2.3=6.8，故预测该地区 2015 年农村居民家庭人y均纯收入为 6.8 千元.9假设关于某种设备的使用年限 x(年) 与所支出的维修费用 y(万元)有如下统计资料：x 2 3 4 5 6y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0已知 =90， 112.3.512ix51iiyx(1)求 ， ；y(2)如果 x 与 y 具有线性相关关系，求出线性回归方
10、程；(3)估计使用年限为 10 年时，维修费用约是多少？解：(1) 4，x2 3 4 5 65 5.y2.2 3.8 5.5 6.5 7.05(2) 1.23，b512iiixy112.3 54590 542 51.2340.08.ay所以线性回归方程为 1.23x0.08.y(3)当 x10 时， 1.23100.0812.38(万元) ，即估计使用年限为 10 年时，维修费用约为 12.38 万元10( )某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，2015安 徽 模 拟得到如下数据：单价 x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量 y(件) 90
11、 84 83 80 75 68(1)求回归直线方程 bxa，其中 b20，a b ；y yx(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是 4 元/ 件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润销售收入成本)解：(1) (88.28.4 8.68.89)8.5，x16 (9084838075 68)80，y16a b 80208.5250，从而回 归直线方程为 20x250.x y (2)设工厂获得的利润为 L 元，依题意得Lx(20 x250)4(20x250)20x 2330x100020 361.25.(x 334)2 当且仅当 x8.25 时
12、，L 取得最大值，故当单价定为 8.25 元时，工厂可 获得最大利润11某公司利润 y 与销售总额 x(单位：千万元)之间有如下对应数据：x 10 15 17 20 25 28 32y 1 1.3 1.8 2 2.6 2.7 3.3(1)画出散点图；(2)求回归直线方程；(3)估计销售总额为 24 千万元时的利润参考数据： ， .71234ix71346iiyx解：(1)散点图如图所示：(2) (1015 172025 2832)21，x17 (11.31.822.6 2.73.3) 2.1，y17 0.104，b712iiixy346.3 7212.13447 7212 2.10.10421
13、0.084，ay 0.104x0.084.(3)把 x24(千万元)代入方程得 2.412(千万元) y销售总额为 24 千万元时，估 计利润为 2.412 千万元某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期 1 月10 号 2 月10 号 3 月10 号 4 月10 号 5 月10 号 6 月10 号昼夜温差 x() 10 11 13 12 8 6就诊人数 y(个) 22 25 29 26 16 12该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下
14、的 4 组数据求线性回归方程，再用被选取的 2 组数据进行实验(1)求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是 1 月与 6 月的两组数据，请根据 2 至 5 月份的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？解：(1)设“抽到相邻两个月的数据”为事件 A，因 为从 6 组数据中选取 2 组数据共有 C 15 种情况，每种26情况都是等可能出现的，其中抽到相 邻两个数据的情况有 5 种，所以 P(A) .515 13(2) (2)由数据求得 11， 24.xy由公式求得 .b187再由 ，求得 .ayxa307所以 y 关于 x 的线性回归方程为 x .y187 307(3)当 x10 时， ， 2；y1507 |1507 22| 47当 x6 时， ， 2.787 |787 12| 67所以，该小组所得的线性回归 方程是理想的
