1、三、梯度的概念,一、问题的提出,二、方向导数的定义,四、小结 思考题,第七节 方向导数与梯度,一、问题的提出,讨论函数 z = f (x, y) 在一点 P 沿某一方向的变化率问题,二、方向导数的定义,定义,记为,推广可得三元函数方向导数的定义,讨论函数 z = f (x, y) 在一点 P 沿某一方向的变化率问题,二、方向导数的定义,定义,解,方向导数,解,令,故,方向余弦为,【解】,令,故,方向余弦为,故,三、梯度,结论,解,由梯度计算公式得,故,解,解,溪流的流向,下图是某山区的等高线图. f(x,y) 是图上每一点(x,y) 的函数. f(x,y) 的值是点(x,y) 在海平面上的高度
2、. 在春天解冻期，山上的融雪使流向山下峡谷的溪水上涨. 下面我们来证明在任一点的溪流的流向总是与在该点的等高线成直角.,某山区的等高线图,问题：溪流的流向的数学表示？,溪流的流向,证明：“对于等高线 f(x,y)=c上的任意一点P，f 在P点的梯度 垂直于过P点的等高线. 即矢量 垂直于曲线f(x,y)=c在P点的切线(c是常数).”,令x=x(t), y=y(t)，则等高线 f(x,y)=c可以看成是参数t 的函数，即f(x(t),y(t)=c. 那么,即矢量 垂直于曲线f(x,y)=c在P点的切线.,证：,在几何上,表示一个曲面,曲面被平面,所截,的曲线,在xoy面上,的投影为等高线,梯度为,等高线上的,法向量,等高线,c1 c c2,梯度及其应用,例,如何找到湖的最深处?,1、方向导数的概念,2、梯度的概念,3、方向导数与梯度的关系,（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）,（注意梯度是一个向量）,四、小结,
