1、1,Email: ,图论及其应用,任课教师：杨春,数学科学学院,2,本次课主要内容,(一)、连通度的概念与性质,(二)、描述连通性的其它参数简介,网络的容错性参数,3,1、点连通度与边连通度的概念,定义1 给定连通图G，设 ，若G -V 不连通，称V为G的一个点割集，含有k个顶点的点割集称为k顶点割。G中点数最少的顶点割称为最小顶点割。,例如：,(一)、连通度的概念与性质,在G1中：v3, v5, v3, v5, v4等是点割集。,在G2中没有点割集。,4,定义2 在G中，若存在顶点割，称G的最小顶点割的顶点数称为G的点连通度；否则称n-1为其点连通度。G的点连通度记为k(G), 简记为k。若
2、G不连通，k(G)=0。,例如：,G1的点连通度k (G1)=1,G2的点连通度为k (G2)=3,G3的点连通度为k (G3)=0,5,定义3 在G中，最小边割集所含边数称为G的边连通度。边连通度记为(G) 。若G不连通或G是平凡图，则定义(G) =0,例如：,G1的边连通度(G1)=1,G2的边连通度为 (G2)=3,G3的边连通度为 (G3)=0,6,定义4 在G中，若k (G) k, 称G是k连通的；若(G)k，称G是k边连通的。,例如：,G1是1连通的，1边连通的。但不是2连通的。,G2是1连通的，2连通的，3连通的，同时也是1边连通 的，2边连通的，3边连通的。但不是4连通的。,7
3、,2、连通度的性质,定理1 (惠特尼1932) 对任意图G，有：,证明： (1) 先证明(G)(G),最小度顶点的关联集作成G的分离集，所以： (G)(G)。,(2) 再证明 k (G) (G),由定义，k (G) n -1。考虑最小边割集,8,情形1,则有：,所以有： k (G) (G)。,情形2,在这种情形下，取,9,令：,于是，G中任意一条(x, y)路必然经过T中一些点, 所以，T为G的一个点分离集。,在G中取如下边集：,10,则：,所以：,注： (1) 定理中严格不等式能够成立。,k (G)=1 , (G)=2 ,(G)=3,11,(2) 定理中等式能够成立。,k (G)=(G)=
4、(G)=2,(3) 哈拉里通过构图的方式已经证明：,对任意正整数a, b, c,都存在图G，使得：,(4) 惠特尼(1907-1989）美国著名数学家。主要研究图论与拓扑学。先后分别在哈佛和普林斯顿高级研究院工作。他获过美国国家科学奖(1976),Wolf奖(1983),Steel奖(1985)。,12,惠特尼最初学习物理，在耶鲁大学获物理学士学位后，又专攻音乐，获音乐学士学位。他一生热爱音乐，有高度音乐才华，会弹奏钢琴，演奏小提琴、中提琴、双簧管等乐器，曾担任普林斯顿交响乐团首席小提琴手 。,值得一提的是，惠特尼创立了微分流形的拓扑学。在该领域，我国吴文俊等许多拓扑学家做出了贡献 。,193
5、2年在他的数学博士论文中提出了上面定理。,定理2 设G是(n, m)连通图，则：,证明：由握手定理：,13,哈拉里通过构图的方式证明了定理2的界是紧的。即存在一个(n, m) 图G，使得:,所以：,哈拉里图,1962年，数学家哈拉里构造了连通度是k,边数为 的图Hk,n ,称为哈拉里图。,(1) H2r,n,14,作H4,8,(2) H2r+1,n (n为偶数),先作H2r,n, 然后对1in/2,i与i+n/2连线。,15,作H5,8,(3) H2r+1,n (n为奇数),先作H2r,n, 然后对1i(n-1)/2,i与i+(n+1)/2连线。同时，0分别与(n-1)/2和(n+1)/2连线
6、。,16,作H5,9,定理3 设G是(n, m)单图，若 ，则G连通。,证明：若G不连通，则G至少有两个连通分支，于是，至少有一个分支H，使得： ，这与条件矛盾。,17,定理4 设G是(n, m)单图，若对任意正整数k ,有：,则G是k连通的。,证明：任意删去k-1个顶点，记所得之图为H，则：,由于(H)是整数，故：,由定理3，H连通，所以，G是k连通的。,18,定理5 设G是n阶单图，若,则有：,证明：若不然，设(G)(G).,设G的边割为M,且|M|= (G),设G-M中G1分支中与M相关联的顶点数为P，显然有：,19,我们对G1中顶点数作估计：,由握手定理：,又(G) (G2),则G1的
7、连通性比G2好。因此，坚韧度可以作为网络容错性参数的度量。,许进还对坚韧度的界、取值范围以及坚韧度的计算问题作了一些探索。,仿照点坚韧度，可以定义边坚韧度：,24,许进, 男, 1959年生, 陕西乾县人. 教授, 博士生指导教师. 理学、工学双博士。现任：华中科技大学特聘教授，华中科技大学分子生物计算机研究所所长；华中科技大学系统科学研究所所长；中国电路与系统学会委员；中国电子学会图论与系统优化专业委员会副理事长;湖北省运筹学会（筹委会）理事长。,2、图的核度,定义3 设G是一个非平凡连通图，则称：,为图的核度。若S*满足：,称S*为图的核。,25,容易算出：h(G1)=4 , h(G2)=3 , h(G3)=2,一般地，核度越小，连通程度越高。,图的核度的界如何？特殊图的核度问题，核度的计算问题等都是值得研究的问题。,我国欧阳克智教授等把核度称为图的断裂度，国外图论学者称它为图的离散数。许进把它引进系统科学中，称它为系统的核度。由此，他建立了系统的核度理论而受到系统科学界的高度重视。,26,如何准确刻画图的连通性程度，现在还是一个有待进一步研究的问题。,关于这方面的研究文献很多，有兴趣可以查阅并作一些研究。,27,作业,P66-67 习题3 ： 1 2, 13, 14, 20,28,Thank You !,
