1、,第七章,第七节,一、方向导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、梯度,方向导数与梯度,实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热变冷变化最剧烈的方向（即梯度方向）爬行,问题的引出, 函数沿某一方向的变化问题方向导数, 变化最快的方向梯度方向,一.方向导数的定义,即,定义,如果极限,存在,则将这个极限值称为函数在点,记为,即,定义: 若函数,则称,为函数在点
2、P 处沿方向 l 的方向导数.,在点,处,沿方向 (方向角为,) 存在下列极限:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,记作,推广到三元函数，方向导数？,定理:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明: 由函数,且有,在点 P 可微 ,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对于二元函数,为, ) 的方向导数为,特别:, 当 l 与 x 轴同向, 当 l 与 x 轴反向,向角,方向导数和偏导数的关系：偏导数是方向导数吗？若是，何方向？方向导数存在，偏导数一定存在吗？,例1. 求函数,在点 P(1, 1, 1) 沿向量,3) 的方向导数 .,机动
3、 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求函数,在点P(2, 3)沿曲线,朝 x 增大方向的方向导数.,解:将已知曲线用参数方程表示为,它在点 P 的切向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,提示 空间曲线(参数方程表示)的切向量。,例3. 设,是曲面,在点 P(1, 1, 1 )处,指向外侧的法向量,解:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数.,在点P 处沿,求函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、梯度,方向导数公式,令向量,这说明,方向：f 变化率最大的方向,模 : f 的最大变化率之值,方向导数取最大值：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方向导数何时取得最大值？,1.
4、 定义,即,同样可定义二元函数,称为函数 f (P ) 在点 P 处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,向量,2. 梯度的几何意义,称为函数 f 的等值线 （等高线）.,其参数形式：,所以任意点处的切向量为：,表示空间一张曲面,而,表示一条平面曲线,所以梯度为曲线,上点 处的法向量.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,同样, 对应函数,有等值面(等量面),当各偏导数不同时为零时,其上,点P处的法向量为,解,由梯度计算公式得,故,EX,例 设函数,求,沿什么方向具有最大的增长率,最大增长率为多少?,解,增长
5、率,最大的增长率为:,梯度方向具有最大的,梯度方向为,3. 梯度的基本运算公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数,数量场 (数性函数),场,向量场(矢性函数),可微函数,梯度场,如: 温度场,电位场,密度场等,如: 力场,速度场等,三、数量场与向量场的概念,例4.,证:,试证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 方向导数, 三元函数,在点,沿方向 l (方向角,的方向导数为, 二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l (方向角为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 梯度, 三元函数,在点,处的梯度为, 二元函数,在点,处的梯度为,3. 关系,方向导数存在,偏导数存
6、在, 可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,练习,指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .,在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A,Ex 函数,提示:,则,(96考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,(1) 最大值;,(2) 最小值;,(3) 等于零?,并问在怎样的方向上此方向导数有,例,轴正向逆时针旋转 角的方向的方向导数,故,方向导数达到最大值,方向导数达到最小值,方向导数等于,和,(1) 最大值;,(2) 最小值;,(3) 等于零?,问在怎样的方向上此方向导数有,思考与练习,1. 设函数,(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线,在该点切线方向的方向导数;,(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向,的夹角 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲线,1. (1),在点,解答提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,M (1,1,1) 处切线的方向向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 1.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意 x , y , z 具有轮换对称性,(92考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,
