1、- 1 -18.2 勾股定理的逆定理从容说课本节从古埃及人画直角的方法谈起，然后让学生画一些三角形（已知三边，并且两边的平方和等于第三边的平方） 从而发现画出的三角形是直角三角形猜想如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，即教科书中的命题 2，把命题 2 的条件、结论与上节命题 1 的条件、结论作比较， 引出逆命题的概念接着探究证明命题 2 的思路，用三角形全等证明命题 2 后，顺势引出逆定理的概念命题 1，命题 2 属于原命题成立，逆命题也成立的情况为了防止学生由此误认为原命题成立，逆命题一定成立，教科书特别举例说明有的原命题成立，逆命题不成立本节
2、的重点是，如何用三角形三边之间的关系判断一个三角形是否为直角三角形难点是会应用直角三角形判别方法解决实际问题，教学时要给学生充分交流的时间和空间，在学生学会自主学习182 勾股定理的逆定理（一）教学时间 第 5 课时三维目标一、知识与技能1掌握直角三角形的判别条件2熟记一些勾股数3掌握勾股定理的逆定理的探究方法二、过程与方法1用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形， 培养学生数形结合的思想2通过对 Rt判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神三、情态度与价值观1通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿望- 2 -2通过对勾股定理逆定理的探究，培养学生学习数学的兴趣和创新
3、精神教学重点探究勾股定理的逆定理，理解互逆命题，原命题、逆命题的有关概念及关系教学难点 归纳、猜想出命题 2 的结论教具准备 多媒体课件教学过程一、创设问题情境，引入新课活动 1（1）总结直角三角形有哪些性质（2）一个三角形，满足什么条件是直角三角形？设计意图：通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，提高学生发现反思问题的能力师生行为：学生分组讨论，交流总结；教师引导学生回忆本活动，教师应重点关注学生：能否积极主动地回忆，总结前面学过的旧知识；能否“温故知新” 生：直角三角形有如下性质：（1）有一个角是直角；（2）两个锐角互余；（3） 两直角边的平方
4、和等于斜边的平方；（4）在含 30角的直角三角形中，30的角所对的直角边是斜边的一半师：那么，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢？生：有一个内角是 90，那么这个三角形就为直角三角形生：如果一个三角形，有两个角的和是 90，那么这个三角形也是直角三角形师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边 a，b， 斜边 c具有一定的数量关系即 a2+b2=c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它- 3 -是否为直角三角形呢？我们来看一下古埃及人如何做？二、讲授新课活动 2问题：据说古埃及人用下图的方法画直角；把一根长绳打上等距离的 13 个结，然后以 3 个结、4
5、个结、5 个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形， 其中一个角便是直角这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为 3、4、5， 有下面的关系“32+42=52”，那么围成的三角形是直角三角形画画看，如果三角形的三边分别为 2.5cm、6cm、6.5cm，有下面的关系，“2.52+62=6.52，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm、7.5cm、8.5cm ， 再试一试设计意图：由特殊到一般， 归纳猜想出“如果三角形三边 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形就为直角三角形的结论，培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方法师生行为：让学生在小组内共同合作，协手完成
6、此活动教师参与此活动，并给学生以提示、启发在本活动中，教师应重点关注学生：能否积极动手参与能否从操作活动中，用数学语言归纳、猜想出结论学生是否有克服困难的勇气生：我们不难发现上图中，第（1）个结到第（4）个结是 3 个单位长度即 AC=3；同理 BC=4，AB=5 ，因为 32+42=52我们围成的三角形是直角三角形- 4 -生：如果三角形的三边分别是 2.5cm，6cm，6.5cm ， 我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发现 6.5cm 的边所对的角是直角，并且 2.52+62=6.52再换成三边分别为 4cm，7.5cm，8.5cm 的三角形，目标可以发现 8.5cm的边所对的角
7、是直角，且也有 42+7.52=8.52是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢？活动 3下面的三组数分别是一个三角形的三边长 a，b，c5，12，13；7，24，25；8，15，17（1）这三组数都满足 a2+b2=c2 吗？（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量， 它们都是直角三角形吗？设计意图：本活动通过让学生按已知数据作出三角形，并测量三角形三个内角的度数来进一步获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件师生行为：学生进一步以小组为单位，按给出的三组数作出三角形，从而更加坚信前面猜想出的结论教师对学生归纳出的结论应给予解释，我们将在下一
8、节给出证明本活动教师应重点关注学生：对猜想出的结论是否还有疑虑能否积极主动的操作，并且很有耐心生：（1）这三组数都满足 a+b=c（2）以每组数为边作出的三角形都是直角三角形师：很好，我们进一步通过实际操作，猜想结论命题 2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=- 5 -那么，这个三角形是直角三角形同时，我们也进一步明白了古埃及人那样做的道理实际上，古代中国人也曾利用相似的方法得到直角直至科技发达的今天人类已跨入 21 世纪，建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法” “三四五放线法”是一种古老的归方操作所谓“归方”就是“做成直角”譬如建造房屋，房角一般总是成 90，怎样确
9、定房角的纵横两线呢？如右图，欲过基线 MN 上的一点 C 作它的垂线，可由三名工人操作： 一人手拿布尺或测绳的 0 和 12 尺处，固定在 C 点；另一人拿 4 尺处，把尺拉直，在 MN 上定出 A点， 再由一人拿 9 尺处，把尺拉直，定出 B 点，于是连结 BC，就是 MN 的垂线建筑工人用了 3，4，5 作出了一个直角，能不能用其他的整数组作出直角呢？生：可以，例如 7，24，25；8，15，17 等据说，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似的方法确定直角活动 4问题：命题 1 如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么a2+b2=c2命题 2 如果三角形的三边长分别为
10、a，b，c，满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形它们的题设和结论各有何关系？设计意图：认识什么样的两个命题是互逆命题，明白什么是原命题，什么是逆命题？你前面遇到过有互逆命题吗？师生行为：- 6 -学生阅读课本，并回忆前面学过的一些命题教师认真倾听学生的分析教师在本活动中应重点关注学生：能否发现互逆命题的题设和结论之间的关系能否积极主动地回忆我们前面学过的互逆命题生：我们可以看到命题 2 与命题 1 的题设结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题例如把命题 1 当成原命题，那么命题 2 是命题 1 的逆命题生：我们前面学过平行
11、线的性质和判定其中“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆命题， “两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆命题生：“两直线平行，同旁内角互补”和“同旁内角互补，两直线平行”也是互逆命题三、课时小结活动 5问题：你对本节内容有哪些认识？设计意图：这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功体验的机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足学生多样化学习的需要师生行为：教师课前准备卡片，卡片上写出三个数，让学生随意抽出，判断以这三个数为边的三角形能否构成直角三角形
12、在活动 5 中，教师应重点关注学生：（1）不同层次的学生对本节的认知程度- 7 -（2）学生再谈收获是对不同方面的感受（3）学生独立面对困难和克服困难的能力板书设计活动与探究Tom 和 Jerry 去野外宿营，在某地要确定两条互相垂直的线，而身边又未带直角尺，可利用的只有背包带，你能帮他们想一个简单可行的办法吗？过程：确定垂线，即为确定一个直角，进而想到构造直角三角形结果：可在背包带上打结，在背包带上打 13 个等距离的结，把第 5个结固定在地上，Tom 拿住第 1 个和第 13 个结，而 Jerry 拿住第 8 个结，拉直背包带，第 5个结处即为直角 （图略）备课资料 费尔马费尔马出身于法国
13、的一个皮革商人家庭由于家境富裕，父亲特意给他请了两个家庭教师，不入校门在家里接受系统教育，小时候的费尔马虽称不上是神童，可也算聪明费尔马父亲比较开通，不宠爱孩子，因此，费尔马学习十分努力，文科理科都不差，不过他最喜欢的功课还是数学费尔马是一个不追名逐利的人，因此平时比较清闲，空余时间他常看些古书，尤其爱看古希腊的数学名著他不时做些题目，还作些数学研究，与当时的数学名家，如帕斯卡、笛卡儿、华利斯等人通信，交流心得体会，由于他刻苦钻研，又敢于进行创造性- 8 -的思考，所以取得的成果很多他与笛卡儿并列为解析几何的发明者，又与帕斯卡一起分享开创概率论的荣誉微积分虽说是由牛顿和莱布尼兹最后完成的，但大
14、家公认费尔马为他们作了奠基工作不过，费尔马最显赫的业绩是近代数论，也是近代数论的开创者说起数论，费尔马还是由于读了丢番图的算术一书，才开始产生兴趣在这本书中丢番图叙述了他是“怎样将一个平方数（z 2） ，拆成两个平方数（x 2 与 y2） 之和”的，也即叙述了他对方程 x2+y2=z2 的求解过程费尔马非常善于联想， 他读了丢番图的这段文章后， 由此及彼地提出了一连串的同类问题： “能否将一个立方数（z 3）表示为两个立方数（x 3 与 y3）之和；将一个四次方数（z 4）表示为两个四次方数（x 4 与 y4）之和；这一连串问题归结起来就是：方程 xn+yn=zn 是否存在正整数解，其中 n是
15、大于或等于 2 的正整数当 n=2 时，方程 z2=x2+y2， 这是被丢番图和刘徽解决了的勾股方程十世纪时，阿尔柯坦第曾对 n=3 的情况，即对方程 z3=x3+y3 提出过不存在正整数解的结论显然这都是特殊情况一旦费尔马所提出的问题得到解决，那么这些特殊情况也就随之解决费尔马在丢番图著作的空白处写道：”我已经发现了这个结论的一个奇妙的证明，由于这里篇幅太小，写不下” 费尔马果真证明了他自己提出的结论吗？在费尔马死后人们提出了疑问，这个定理公布以后，引起了各国数学家的关注他们围绕着这个定理顽强地探索着，试图证明它1995 年，数学家怀尔斯终于证明了费尔马大定理，解开了这个困惑世间无数智者300 多年的谜
