1、练习十六（中值定理与导数应用-中值定理） 231. (),() 0, 1fxFx在 上 分 别 就 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ， 柯 西 中 值 定 理 ，计 算 相 应 的 2113 22: , (1)0()02 ;, ()0()103; () ,:(1)0 , 23ffFxF fFxf()解 对 在 应 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ： ， 得对 在 应 用 拉 格 朗 日 定 理 ： ，得 对 和 在 应 用 柯 西 中 值 定 理10332即 ， 得 。2 ()() fxx.检 验 罗 尔 定 理 对 于 函 数 的 正 确 性1212:(1) () , , ,2 3);(
2、3) ()0 (2)30:, .:()()fxf ffccfxx 证 明 函 数 在 及 上 连 续 ； 在 及 上 处 处 存 在 及由 罗 尔 定 理 应 存 在 使 下 面 ， 我 们 验 证 确 有 这 样 存 在 易 知 121212()()13330, , ()0()xxxccccff令 解 之 得 故 可 取 ， 显 然 且 且 3123() 1()0fxx xfx.函 数 当 及 时 为 ， 但 是 当 时 ， ，说 明 与 罗 尔 定 理 表 面 上 的 矛 盾 32() , 01 ()0fxfxfx证 明 :， 它 在 上 恒 不 为 ， 表 面 上 看 是 与 罗 尔定
3、理 矛 盾 。 实 际 上 不 然 ， 原 因 是 在 处 不 存 在 ， 不 满 足罗 尔 定 理 的 第 二 个 条 件 ， 故 当 时 ， 可 以 有 。2 24 ? ()0?11() (2) 1 0fxxf f.研 究 下 列 函 数 在 所 给 区 间 上 是 否 满 足 罗 尔 定 理 的 条 件 在 该 区 间 内 是 否存 在 ， 使 ；:(1) 0,(1), , 1,() 00. 2: , () () .ff fxfx f解 在 上 不 满 足罗 尔 定 理 的 条 件 但 存 在 使在 处 不 可 导 所 以 在 上不 满 足 罗 尔 定 理 条 件 也 不 存 在 使5l
4、n1,1 () fxeef .验 证 函 数 在 区 间 上 满 足 拉 格 朗 日 定 理 ， 并 找 出 相 应 的 点 ，使 得 :ln,1()110.fxfxefe证 明 ， 满 足 拉 格 朗 日 定 理 条 件 ，所 以 存 在 使 ，即 ， 得 。 122116 () (,) () (.,) (),) fxabfxabfffx.设 函 数 于 区 间 内 有 连 续 的 导 函 数 ， 对 于 区 间 内 任何 一 点 可 否 从 此 区 间 中 指 出 另 外 的 两 点 及 使 满 足 于32112 2322212111:,. (),-),0 (x, ()0 x , ffff
5、 xxxx证 明 一 般 的 说 不 可 以例 如 研 究 函 数 对 于 就 找 不 到所 需 的 和 使事 实 上 而 当 时 22()0370 .试 证 方 程 仅 有 一 个 正 实 根12121212 () , ()()1(x)(0,) x, ,()(,) ()3f ffffxff证 明 :设 ， 它 在 上 连 续 ， 且 ， ，由 连 续 函 数 的 介 值 定 理 知 ： 在 内 至 少 有 一 个 实 根 ，设 有 两 个 实 根 满 足 且则 对 在 上 应 用 罗 尔 定 理 可 知 ：至 少 存 在 一 点 使 ，从 3 0x上 式 看 出 这 样 的 在 实 数 范
6、围 内 是 不 存 在 的 ，故 方 程 有 且 只 有 一 个 正 实 根 。8() , ()1 (0, 1)()11f fxxfx.设 在 上 可 导 ， 且 ， 对 于 任 何 ， 都 有 ，试 证 ： 在 内 ， 仅 有 一 个 ， 使000121212:() ,g()- (, (). (), , xfgfxfxxf证 明 令 ， 显 然 有 ： ，因 为 在 上 连 续 ， 由 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 介 值 定 理 ，必 存 在 ， 使 ， 即设 有 两 个 点 使 得不 妨 设 ， 且 ，在 上 212112() (,)() (0,1) ()ffxf xfx f应 用
7、 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ： ，这 与 矛 盾 ， 所 以 在 内 有 且 只 有 一 个 ， 使 成 立 。 ,lim( lilim0xxxaf9.设 在 内 可 微 ， 且 和 都 存 在 ， 试 证 ：: ( ,) () , )1(,-x ) (,1).xlimli(1)(0,lim()0x xfafffffxf证 明 任 取 ， 因 为 在 内 可 微 ，所 以 在 上 满 足 拉 格 朗 日 中 值 定 理 条 件 ，于 是当 时 ， 有 ， 从 而 所 以10 () , , )()0.:, fababf .设 在 上 连 续 ， 在 内 可 导 ， 且 不恒 等 于 零 ，
8、 试 证 对 任 意 的 实 数 ， 存 在 一 点， 使 得 -x:()()() 0a,b e()|0, ()-0x xxFefFabfff 证 明 令 ， 则 ， 由 罗 尔 定 理 ， 存 在 ，使 ， ， 即 于 是 。1. , (,) ( (,) 0f abAfBf yfxCccb设 在 闭 区 间 连 续 ， 在 开 区 间 内 二 次 可 导 ，且 连 接 点 和 点 的 连 线 段 与 曲 线相 交 于 ， 其 中 ， 试 证 ： 在 上 至 少 有 一点 ， 使2,12 12121:() , , ()() ,() () (),fxafcafbccb ffABCfffx 证 明
9、 由 题 设 在 ， 上 均 满 足 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ，存 在 ， ， 使 得而 三 点 在 同 一 条 直 线 上 ， 则 有 ，即 得 ， 再 对 在 212, ()0abf上 用 罗 尔 定 理 ，于 是 至 少 存 在 一 点 使 得() , (, ) ()0,)0 ,0fxababfcfcf12.设 在 闭 区 间 连 续 ， 在 开 区 间 内 二 阶可 导 ， 且 ， 且 存 在 点 ， 使 得 ， 试证 ： 至 少 存 在 一 点 ， 使 得2,12 1212: () (),) ()()() (0, 0 , , fxacbfcaffbcfffxab 证 明 由
10、题 设 在 ， 上 均 满 足 拉 格 朗 日 中 值 定 理 条 件 ，于 是 存 在 ， ， 使 得 ，因 为 所 以 ，又 因 为 在 上 满 足 拉 格2 1212121 () ()()(),(), 0,fff fff 朗 日 定 理 条 件 ， 于 是 有， 由 于所 以 。3.() ()(0)()xcfxfabcababfb设 在 ， 上 具 有 严 格 单 调 递 减 的 导 数 ， 且 ， 证 明 ： 对 于满 足 不 等 式 的 ， ， 恒 有 不 等 式 成 立1122121: () 0, , -() (0)()b, (b)0,()() ()ffffaabfaxffa证 明
11、 对 在 ， 上 分 别 满 足 拉 格 朗 日 定 理 ， 有因 为 且 为 严 格 单 调 递 减 ，所 以 , ab-(), )()ffabfab又 因 为 因 此 即 。 2 1114.()2 42, ()02fxfxdff设 函 数 在 上 可 微 ， 且 满 足 ， 试 证 至 少 存 在 一 点， 使 得 21122 2211 11()41()( ()1), ,()(),(),), 2xdfff fxFfxFxF 证 明 :由 题 设 ， 据 定 积 分 中 值 定 理 ，左 边 右 边 ， 令 ， ，则 在 上 可 微 ， 且 对 在 上应 用 罗 尔 定 理 ， 至 少 存 在 一 点 上 使243 30()()( ()2() ()00,)fxfxffxffF因 为 所 以而 ， 于 是 。
