1、,4.6.1 相平面 相平面的定义我们知道，对于阶系统的状态，可以用一个维状态向量描述，这个向量的个状态变量可以构成一个维空间，称为状态空间，也称为相空间。各状态随时间变化在状态空间中形成的一条轨迹，称为状态轨迹或相轨迹。对于二阶微分方程描述的系统，相空间是二维的，在某些情况下，是一个平面，称为相平面。这样我们可以在相平面上绘制出状态方程所确定的系统状态变化的轨迹，即相轨迹，相轨迹也表示了系统的动态特性，这种用相轨迹几何图形表示系统动态过程的方法，称为系统动态特性的相平面表示法。例如，二阶微分方程 的相轨迹如图4.45所示。,当绘制出线性或非线性系统的相轨迹后，就可以根据相轨迹的几何特征，清楚
2、地看出这个系统的稳定性以及存在的自激振荡的稳定性及其参数，也可以确定系统过渡过程的主要特征。这就是相平面法。2 相平面法的适用范围相平面法是一种精确的方法，但它受到下列几点限制。1）原则上，它仅适用于一阶、二阶系统。这是因为在平面上绘制函数曲线是比较容易的。在三维空间中绘制三阶系统的相轨迹可能，但很困难，而绘制三维以上空间中的轨迹则是不可能的。因此，只有在相平面上分析一阶、二阶系统。对于线性部分是高阶的系统，如果可以降为二阶，也可以用相平面法分析。2）只适用于定常系统。和描述函数法一样，也不适用于时变系统。3）一般用于研究系统输入为零时的动态过程。当有输入时，输入信号的形式受到初态的限制，只允
3、许像阶跃、速度、加速度等能像常数被状态隐含的输入信号，而不允许象正弦一类的输入.。,4.6.2 相轨迹的绘制方法绘制相平面图可以用解析法、图解法和实验法。解析法是一种最基本的方法。当系统的微分方程比较简单，或者系统中非线性特性可以分段线性化时，可以用解析法绘制相平面图。一般情况下，用解析法是比较困难、甚至不可能的。因此，常用图解法。目前比较常用的图解法有等倾线法和 法两种。实验法是利用模拟计算机绘制相轨迹，即用模拟计算机模拟所研究的系统，根据示波器的显示，或记录仪，绘制出系统的相轨迹。随着计算机仿真技术的发展，越来越多地利用数字计算机绘制相轨迹。,本节只简单介绍解析法和定性控制法。. 解析法应
4、用解析法求取相轨迹，一般有两种方法，一是求出和对的函数关系，然后从这两个方程中消去，从而得到相轨迹方程。这种方法没有实用价值，因为假如微分方程是可积的，也就不必用相平面表示其解。 另一种方法是利用关系式:(4.110)将二阶微分方程 变成一阶微分方程:, 直接进行积分，便可画出相轨迹.,例4.33 具有理想继电 器特性的非线性系统如 图4.46所示，试在平面 上绘制相轨迹。解 从方框图得到:则,方法1：直接积分上式，并注意到 是或的常数，可得再积分一次得从上面两式中消去t，得或 上式就是相轨迹方程。,方法2：由式(4.110)得两边积分得：则：得 ：,则,则,若系统的初始状态为 点，则系统的状
5、态从 点开始运动，沿相轨迹运动到 点时，继电器从切换到,状态则改为沿相轨迹运动,当运动到 点时进行反向切换，如此反复。2 定性控制法定性控制法和通常的函数 作图方法类似。要绘制 的曲线，可以先确定曲线的一些特征，然后勾划出曲线的大致形状。这些特征有：截距、极值点、对称性、凹凸性、斜率正负性、渐近性等。微分方程 的相轨迹也有一些易于求出的特征，一旦求出它们，就容易勾划出系统相轨迹概貌。这些特征视系统的不同而异，例如有：,）相对原点、坐标轴的对称性；）水平等倾线；）铅垂等倾线；）不变直线，即直线形的相轨迹；）奇点类型；）极限环；）某区域中的斜率符号。由上述特征绘制出的相轨迹，显然是定性的。但从系统
6、相轨迹图的几何结构（指相轨迹的类型、相对位置、相对形状的分布情况）来说却是准确的。如果再结合几条等倾线或其它精确计算方法，就能绘制出相当满意的相轨迹图。下面举例说明。,例4.33 绘制 的相轨迹。解 引入状态变量 ， ，可将二阶微分方程化为一阶微分方程组：相轨迹微分方程为:具有下列特征： ）相轨迹关于原点对称。因为以 代替 ，相轨迹微分方程形式不变。）水平等倾线 ，即 或者 .）铅垂等倾线 ，即）不变直线相轨迹 。（若k无实数解，表示没有不变直线。） 将 代入相轨迹微分方程，得： ，解得： ， ，因此，相轨迹有两条不变直线 和 。,（）等倾线方程 ，即 ，则等倾线方程为: .在相平面上作出特征
7、（2）（4）。由于解的唯一性，相轨迹不能相交，因此，不变直线起到分界线作用。不变直线的存在说明没有绕原点的封闭相轨迹，即极限环。在第一象限和第三象限，没有说明相轨迹特征，所以，根据特征 5）再画出几条等倾线。当a=-3时,x=0,即y轴为等倾线,斜率为 ,倾角为当a=-5时，等倾线方程为 y=x，倾角为 .根据上述特征，可以勾画出相轨迹的特征，如图4.48所示。,4.6.3 奇点 奇点的概念设描述系统的微分方程为:(4.112)若存在点 ， ,使得 与 同时成立，则 ， 称为该方程的奇点。显然,在奇点 处, , ,因此,从数学上看， ， 是微分方程(4.112)的定常解.反映在相平面图上,因为
8、奇点处相轨迹的斜率 是一不确定的形式，所以可有多条相轨迹通过奇点,所以,奇点是相轨迹的交点.而在其它点,因为都有一个确定的斜率,所以只有一条相轨迹通过,不会出现相轨迹相交的情况。,下面考察奇点的物理意义。因为在奇点处运动的速 度 ，运动的加速度 ，所以，系统处于平衡静止状态。因此，奇点也称为平衡点。物理系统的平衡状态显然是最重要的状态之一，所以，奇点的研究具有重要意义。奇点可以从求解方程组:(4.113)得出，至少在原理上如此。对于由方程 描述的系统的奇点，可由f(0,x)=0 求得。 注意：数学上所定义的奇点和物理系统的平衡点有时是不一致的。,下面研究奇点的性质，从而了解奇点附近的运动特性。
9、为进一步简化问题的讨论，不失一般性，假定所讨论的奇点在原点，即： ， 。若奇点不在原点，通过如下的状态变量转换，总可以把奇点放置到原点。 （4.114）通过式（4.114）的变换，原方程(4.112)变换为:(4.115)显然，是微分方程（4.115）的奇点。,为了确定奇点的性质及其附近的运动特性，将、在奇点附近展开成泰勒级数。设奇点在原点，并注意到在奇点处、恒等于，所以有:(4.116)线性化系统或一次近似系统为:(4.117)所考察系统在奇点附近的相轨迹的形状和一次项有密切关系，因此，我们先讨论它的一次近似方程组的相轨迹形状，然后借助于一次近似讨论原方程的奇点性质。更一般地，考察一般二阶线
10、性方程奇点的性质。, 二阶线性系统的相轨迹及奇点考察二阶线性微分方程：(4.118)由式(4.113)，奇点可以从求解下列方程组得到:(4.119)由线性代数方程组解的存在定理可知若 ，则有唯一奇点(0,0)；若 ，而 ， ， ， 不全为时,例如 ， 那么，直线 上的点都是奇点。,我们只讨论第一种情形。消去状态变量，方程组变为:(4.120)或记为:(4.121)其中， ， 。根据线性微分方程理论，线性微分方程(4.121)的解 的特性取决于特征方程: (4.122)的根 、 的分布 .,表4.2列出了各种特征根分布及相应的相轨迹图，以及我们熟知的系统零输入响应，从中使我们可以清楚地看出相轨迹
11、的奇点特征和系统时间响应之间的关系。奇点的分类不仅说明了原点的稳定性，而且进一步说明了线性系统的相轨迹（运动）的性状，即系统动态过程的全部信息。在研究非线性控制系统时，我们常用到奇点的相图。奇点类型与特征方程系数p，q之间的关系，如图4.49所示。,. 二阶非线性系统奇点的性质二阶非线性系统奇点的性质主要由其一次近似方程(4.117)决定，其关系由下述庞加莱定理给出。庞加莱(Poincare)定理：若一次近似方程的奇点属于节点、焦点和鞍点，则非线性方程的奇点也属于同一类型。例4.33 确定下列非线性方程的奇点类型。解 求解方程组:得方程的唯一奇点（，）。,一次线性近似方程为:其特征方程 的特征
12、根为:所以，(0,0)是一次近似方程的稳定焦点，根据庞加莱定理，也是非线性方程的稳定焦点。,4.6.4 极限环以上讨论了奇点问题，对于线性系统，奇点的类型完全确定了系统的性能，或者说，线性系统的奇点的类型完全确定了系统整个相平面上的运动状态，但对于非线性系统，奇点的类型不能确定系统在整个相平面上的运动状态，只能确定奇点（平衡点）附近的运动特征，所以，还要研究离开奇点较远处的相平面图的特征，其中，极限环的确定具有特别重要的意义。自激振荡是非线性系统中的一个很重要的现象，在前面曾用描述函数法加以研究，自激振荡反映在相平面图上，是相轨迹缠绕成的一个环，称为极限环。下面用解析方法确定一个简单非线性系统
13、的极限环，以建立极限环的概念。,例4.34 一非线性系统方程为:为解这个微分方程组，引用极坐标:将原方程变为:这两个方程很容易单独解出为:于是:,现在从几何图形来分析上面的结果。若c=0，则解为 r=1， 。它以顺时针方向描出圆 ，此时状态方程的解为一周期函数： ， ；若c1，且当 时， ，又若c0，则显然r1,而且当 时,仍有 。这说明，存在一个单独的闭合路径（r=1），随着 所有其它相轨迹都以螺旋线的方式从内部或从外部趋近于它，这样的闭合路径就是一个极限环，在本例中它对应一个稳定的自激振荡，相轨迹如图4.51所示。,4.6.5 非线性系统相平面分区线性化方法非线性特性可以分段用线性微分方程
14、描述。那么，可以把相平面划分为几个区域，在各个区域中的相轨迹就对应于各段的线性微分方程。根据该微分方程的奇点的性质，则可以绘制该区域的相轨迹，然后将各区域的相轨迹自然联接，便得到整个系统的相轨迹 .在能用分段线性方程描述的非线性特性的相轨迹的绘制方法中，一个关键的概念是所谓的“实奇点”、“虚奇点”。线性二阶微分方程有一个奇点，但对该微分方程所限制的区域而言，该奇点可能落在所限制的区域内，也可能落在所限制的区域以外。如果它的奇点落在该方程适用区域之内，则适用区域内的相轨迹可以汇集于该奇点，这样的奇点称为实奇点。如果奇点落在该方程适用区域之外，则适用区域内的相轨迹事实上不可能汇集于该奇点，所以称之
15、为虚奇点。,例4.35 用相平面法分析图4.55所示具有饱和特性的非线性系统。解 饱和特性的数学描述为:描述系统的微分方程为:因为e=r-c ，所以,当输入为阶跃信号时，则在t0时，r(t)=R, , ，因此有:或 可见， 相平面上可以分为三个区，每个区的相轨迹分别由一个线性微分方程描述。下面分别讨论各个区的相轨迹的特征。,1） :由求取奇点的方法，将 ， 代入上式，得奇点的位置为e=0， 。微分方程的特征根为:因为特征根具有负实部，所以，当1-4TK0时，奇点(0,0)是稳定节点。又因为该方程的奇点(0,0)是在该方程适用区域 之内，所以是实奇点。,2） :从上式可以看出 与 不可能同时为零，所以该方程不存在奇点，注意到：当相轨迹斜率 ,即相轨迹趋于水平 时, ,因此,相轨迹存在一条水平渐近线。.类似于上述分析， 区域中也有同样的特征，只是水平渐近线为 。故系统是稳定的，而且稳态误差为零。,
