1、第八章 假设检验概率论与数理统计 （第三版）高等教育出版社 盛骤 著内容提要内容提要 我们知道 ,数理统计的基本任务是根据对样本的考察来对总体的某些情况作出判断 .对总体 X的概率分布或分布参数做某种 ” 假设 ” ,然后根据抽样得到的样本观察值 ,运用数理统计的分析方法 ,检验这种 ” 假设 ” 是否正确 ,从而决定拒绝或接受 ” 假设” ,这就是我们要讨论的 假设检验假设检验 问题 .大 纲 要 求一、理解假设检验的基本思想 .二、掌握假设检验的基本步骤 .三、了解假设检验可能产生的两类错误 .四、掌握 单个正态总体的均值与方差的假设检验 . 五、 了解两个正态总体的均值与方差的假设检验
2、. 学 习 内 容 8.1 假设检验的基本概念 8.2 正态总体参数的假设检验 众所周知 ,总体 的全部信息可以通过其分布函数 反映出来 ,但实际上 ,参数 往往未知 ,有时甚至 的表达式也未知 .因此需要根据实际问题的需要 ,对总体参数或分布函数的表达式做出某种假设 (称为统计假设 ),再利用从总体中获得的样本信息来对所作假设的真伪做出判断或进行检验 .1. 问题的提法统计检验 (假设检验 )这种利用样本检验统计假设真伪的过程叫做 8.1 假设检验的基本概念在许多实际研究中 ,都有需要做出检验的问题 .如 :某批产品能否出厂 ?某生产线工作是否正常 ?某人是否患有某种疾病 ?某种新药的治疗效
3、果是否提高了 ?发生事故是否与星期几有关 ?某次水平考试是否正常 ?等等 ,都需要做出检验 .假设检验参数假设检验非参数假设检验 :XF(x,),为参数假设 =0 例 XF(x)， F(x)未知假设 F(x)=F0(x)例 1. 用精确方法测量某化工厂排放的气体中有害气体的含量服从正态分布 N(23,22),现用一简便方法测量 6次得一组数据 23,21,19,24,18,18(单位 :十万分之一 ),若用简便方法测得有害气体含量的方差不变 ,问用该方法测得有害气体含量的均值是否有系统偏差 ?假设 H0:=23, 若 H0成立 ,则若取 =0.05,则 P|Z|z/2 =,即 : P|Z| 1
4、.96=0.05在假设成立的条件下 ,|Z| 1.96为概率很小事件 ,一般认为 :小概率事件在一次实验中是不会发生的 ,将样本观测值代入 Z得 |Z|1.96,小概率事件在一次实验中发生了 ,故假设不合情理 ,即:否定原假设 ,简便方法测得均值有系统偏差 .解 :由题意得 :用简便方法测得有害气体含量 ,2. 假设检验的基本思想(1)小概率原理 (实际推断原理 )认为概率很小的事件在一次试验中实际上不会出现 ,只要小概率事件在一次试验中出现了 ,就被认为假设是不合理的 .(2)基本思想 :先对总体的参数或分布函数的表达式做出某种假设 ,然后找出一个在假设成立条件下出现可能性甚小的 (条件 )
5、小概率事件 . 如果试验或抽样的结果使该小概率事件出现了 ,这与小概率原理相违背 ,表明原来的假设有问题 ,应予以否定 ,即 拒绝这个假设 .若该小概率事件在一次试验或抽样中并未出现 ,就没有理由否定这个假设 ,表明试验或抽样结果支持这个假设 ,这时称假设与实验结果是相容的 ,或者说可以接受原来的假设 .另一方面 ,当原假设不成立时 ,却作出接受原假设的结论 ,造成犯 “ 取伪 ” 的错误 ,称为第二类错误 .3. 假设检验的两类错误就是犯第一类错误的概率的最大允许值 .一般用 表示犯第二类错误的概率 .因此 ,根据小概率原理否定原假设 ,有可能把本来客观上正确的假设否定了 ,造成犯 “ 弃真
6、 ” 的错误 ,称为第一类错误,当样本容量 一定时 , 小 , 就大 ,反之 , 小 , 就大 .在假设检验中 ,否定原假设的理由是小概率事件在一次试验中出现了 ,但小概率事件并不是不会出现 ,只是出现的可能性较小 ,即出现的概率不超过很小的正数 ,小概率原理中 ,关于 “小概率 ”的值通常根据实际问题的要求而定 ,如取 =0.1,0.05,0.01等 , 为检验的显著性水平 (检验水平 ).4. 显著性水平与否定域在假设检验过程中 ,使得小概率事件出现的统计量的取值范围称为该假设检验的 否定域 (拒绝域 ),否定域的边界称为该假设检验的 临界值 ./2 /2X(x)接受域P(|Z| z/2
7、,其中/2 /2X(x)接受域P(|Z|0,(1)提出原假设和备择假设 : H0:0; H1:0,(3)由给定 ,查 z ,得否定域为 Z z , 其中X(x)接受域P(Zz)否定域z单侧假设检验(2)选择包含 的分布已知函数 :二 .2未知 ,的假设检验：(1)提出原假设和备择假设 :H0:=0; H1:0,(3)由给定 ,查 t/2(n-1),得否定域为 |T| t/2 (n-1);(T检验）(4)将样本观测值代入 T, 若 |T| t/2 (n-1),否定原假设 ; |T| )1(| 2 - ntT a 0m m= 0mm azZ )1( - ntT a 0mm = 0mm azZ -
8、)1( - ntT a 单正态总体均值假设检验列表如下 :例 3 设某次考试的考生成绩服从正态分布 ,从中随机地抽取 36位考生的成绩 ,算得平均成绩为 66.5分 ,样本标准差为 15分 ,问在显著性水平 =0.05下 ,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70分 ?(2)选择包含 的分布已知 统计量 :分析 :设考生成绩 XN(,2),2未知 ,的假设检验解 (1) H0:=0=70; H1:70,(4)将样本观测值代入(3)=0.05,查表得 t/2(n-1)=t0.025(35)=2.03,所以否定域为 |T| 2.03,故接受原假设 .即可以认为考生平均成绩为 70.2.0301(2)选择包含 2的分布已知函数 :(1)提出原假设和备择假设 :(3)由给定 ,查H0: 2 = 02; H1: 2 02三 . 未知期望 ， 2的 (双侧 )假设检验： ( 检验）得接受域为 1 2
