1、第二章 质点和质点系动力学,基本内容：一、牛顿运动定律 二、惯性系与非惯性系，惯性力 三、功 四、机械能守恒定律 五、动量守恒定律 六、质心,重点,2.1 牛顿运动定律和质心运动定理,物体的惯性：物体具有保持其运动状态不变的性质。,力与运动的关系：力是使物体运动状态发生变化的物体间的相互作用。力的作用是改变物体的运动状态（运动速度），而不是维持物体的运动状态（运动速度）。,1. 牛顿第一定律：,一. 牛顿运动三定律,任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，除非作用在物体上的力迫使它改变这种状态。,2. 牛顿第二定律,力与运动的定量关系：,质量： 物体惯性大小的量度：,物体运动的量（简称动量）的
2、变化率与施加在该物体上的力成正比，并且发生在该力的方向上。,牛顿第三定律,作用力和反作用力同时存在。,分别作用于两个物体上，不能抵消。,属于同一种性质的力。,反映了力的来源：力来自物体与物体间的相互作用,两物体间的相互作用力总是大小相等而方向相反，即,a对b,b对a,三个定律适用于质点，惯性系,1） 惯性系,牛顿定律成立的参考系。一切相对于惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。,2） 非惯性系,相对于惯性系作加速运动的参考系。在非惯性系内牛顿定律不成立。,4. 惯性参照系与非惯性参照系,实际的惯性系都是局部的相对的惯性系。,非惯性系中牛顿运动定律不适用：例如在一个以加速度作直线运动的车箱内，
3、一质量为m 的小球拴在绳上，取车箱为参照系，小球受合外力不为零，但却静止不动 。,一个参照系是不是惯性系只能根据观察和实验的结果来判断。,自然界严格的惯性系是不存在的。在一般精度范围内，地球也可近似看作惯性系。,目前实用的惯性系是以选定的1535颗恒星平均静止位形作为基准的参考系：FK4系,5. 牛顿第二定律的应用,1） 牛顿第二定律的数学表达式,矢量式：,分量式：,2） 用牛顿第二定律解质点动力学问题,（1) 已知质点的运动和质量，求质点的受力：求导过程,（2) 已知质点的受力和质量，求质点的运动：求积分的过程,例 ： 质量为m的小球最初位于A点，然后沿半径为R的光滑圆弧面下滑。求小球在任一
4、位置时的速度和对圆弧面的作用。,A,解：,解：,物体m相对于 静止的xoy参考系,解：,q,二. 惯性力,在惯性系S中，有牛顿运动定律：,非惯性系与惯性系之间的加速度变换式为：,在惯性系S中，有牛顿运动定律：,二. 惯性力,若把上式仍视为作用在质点上的合力，则牛顿第二定律在非惯性系 S中就依然成立。,为此而加入的修正项称为惯性力：,将上式改写为：,在所有参考系中，物理定律的表达式都相同的特点称为协变成立。加入惯性力之后，牛顿第二定律是协变的。,1. 惯性力,2. 非惯性参考系中的牛顿运动定律,二. 惯性力,转动参考系：,物体静止在以转动的圆盘上,地面观察：,转动的圆盘上观察：,物体静止,合外力
5、应该为0：,惯性离心力：,存在摩擦力：,例：估算地球转速增大到目前转速的多少倍时，赤道处的物体会飞离地球？,解：,分析：飞离地球惯性离心力大于万有引力。,现在：,可得：,g9.778m/s2 Re=6378km,利用惯性力解答：,物体m相对于 运动的M参考系,注意： 为m相对M的加速度，若 求m对地的加速度，应由加 速度变换公式：,三. 质心运动定理,由多个相互作用的质点构成的系统，称为质点系。,1. 质心,2） 质心的计算,质量连续分布的物体：,x,y,O,q,b,a,例：如图，求质量均匀分布的直角三角形的质心。,解：,2. 质心运动定理,系统质心加速度的大小与于所受的合外力大小成正比，与系
6、统的总质量成反比，加速度的方向沿合外力的方向。,内力不影响系统质心的运动。,例2.3 如图，求当人从小车的一端走到另一端时，小车相对与地面移动的距离。,2.2 动量定理 动量守恒定律,牛顿第二定律：,一、 质点的动量定理,由牛,质点受合外力的冲量等于同一时间内该质点动量的增量,力的时间积累,力的冲量：,质点的动量定理：,动量定理微分形式,动量定理积分形式,可以看出动量定理是牛顿第二定律变形,二、 质点系的动量定理,对于质点系有：,质点系总动量：,质点系所受合外力：,所以,- 系统受到的合外力等于系统总动量对时间的变化率,这就是质点系的牛顿第二定律,系统只有一个质点时为中学所学形式：,质点系的动
7、量定理的积分形式：,内力能使系统内各个质点的动量发生改变，,但它们对系统的总动量没有任何影响。,质点系总动量：,质点系所受合外力：,质点系的牛顿第二定律,当系统所受的合外力为 0， 即：,或,常矢量,当一个质点系受的合外力为零时，该系统 总动量保持不变。,三、动量守恒定律,动量守恒定律,分量式:,当,即,恒量,讨论 1. 当某一方向外力为零时该方向动量守恒,2. 当内力 外力时，动量守恒,当,当,常矢量,动量守恒矢量式,例 2.4 火箭飞行原理,t 时刻: 火箭+燃料=M,它们对地的速度为,(1),经 dt 时间后 , 质量为 dm 的燃料喷出,剩下质量为,对地速度为,(2),略去二阶小量,称
8、为喷气速度,选地面作参考系,选正向,（喷出燃料相对火箭速度）,忽略重力的作用，由动量守恒得：,火箭点火质量为 Mi 初速度,末速度为,末质量为 Mf ，,则有,dm:,火箭推力：,这对燃料的携带来说不合适（初始携带大量燃料，且载荷小）,用多级火箭避免可这一困难。,1.,化学燃料最大 u 值为,实际上只是这个理论值的50% .,这个 u 值比带电粒子在电场作用下获得的速度 3108 m/s 小得多 , 由此引起人们对离子火箭 , 光子火箭的遐想. 可惜它们喷出的物质太少, 从而推动力太小 即所需加速过程太长 .,初速为0时,火箭推力,2.3 角动量定理 角动量守恒定律,一. 质点的角动量定理,1
9、. 定义:,称为一个质点对参考点O的质点角动量或质点动量矩,例：自由下落质点的角动量,任意时刻 t ， 有,（1） 对 A 点的角动量,（2） 对 O 点的角动量,2. 质点的角动量定理,角动量的时间变化率,力矩,定义：对o点力矩,质点的角动量定理,大小,质点对某固定点所受的合外力矩等于它对该点角动量的时间变化率,3. 角动量守恒定律,若对某一固定点，质点所受合外力矩为零， 则质点对该固定点的角动量矢量保持不变。,质点的角动量定理,若,则,或,质点做匀速直线运动中，对 0 点角动量是否守恒？,例：,例2.6 试利用角动量守恒定律证明关于行星运动的开普勒定律: 任一行星和太阳之间的连线,在相等的
10、时间内扫过的面积相等, 即掠面速度不变.,行星对太阳O的角动量的大小为:,其中,是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.,若用,表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有,证明:,其中 d /dt 称为掠面速度。,由于万有引力是有心力, 它对力心O的力矩总是等于零, 所以角动量守恒, L=常量, 行星在垂直于L的平面内运动, 而且,这就证明了掠面速度不变, 也就是开普勒第二定律.,角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构,天体系统的旋转盘状结构,二. 质点系的角动量定理,质点系角动量：,第i 个质点角动量的时间变化率,质点系的角动量定理,时,质点系的角动量守恒,2.4 功能原理和机械
11、能守恒定律,1、物体作直线运动，恒力做功,2、物体作曲线运动，变力做功,元功：,总功：,一、力的功与动能定理,3动能 动能定理,质点的动能：,动能定理：,合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。,动能和功的单位：焦（耳）；1J1Nm,4. 功率,在实际中作功的快慢是一个重要因素,1）平均功率（ ）,在 时间内力作功,定义：,2） 瞬时功率（P）,定义：,2. 功和能的值不能突变，突变就意味着无穷大的 功率存在；而实际上是不存在无穷大的功率的。,故很多机器都有变速箱装置。,5质点系的动能定理,内力所做的总功一般不为零，即内力一般要改变系统的总动能,6. 质点同时受几个力作用时,合力的功等于各分力
12、沿同一路径所做功的代数和,计算力对物体做功时，,必须说明是哪个力对物体沿哪条,路径所做的功。,功的单位：焦耳，1J1Nm,直角坐标系：,例：一个质量 15g 的子弹，以 200m/s 的速度射入一固定的木板内，如阻力与射入木板的深度成正比，即 ，且 。 求子弹射入木板的深度。,1）解：以m为研究对象， 建立坐标系OX，,设射入深度为l：,m,由动能定理：,2)解:用牛顿定理解.,两边积分：,例：质量为10 kg 的物体沿X 轴无摩擦地运动，设 t=0 时物体位于原点，速度为零。试问物体在F34x (N)作用下运动了3m时的速度是少？该力作功多少？将力改成F=3+4t (N)，并运行了3秒钟，结
13、果又如何？,已知： F34x ；x =3m;F=3+4t , t =3s,解：,（1）,即：,（2）,1. 保守力,1）重力做功：,二、保守力和势能,重力场中，物体沿一任意闭合路径运动一周时，重力所作的功等于多少？,重力所作的功只与运动物体的始末位置有关，而与所经过的路径无关。具有这种特点的力称为保守力，否则称为非保守力。重力是保守力。,2） 弹力作功：,3）万有引力做功：,O,r,v,y,x,dr,rdr,3）万有引力做功：,重力、弹性力、万有引力、静电力都是保守力。,满足（1）或（2）的力都称为保守力。,定向力、向心力也是保守力。,2. 势能,受保守力作用的质点在空间某一点的势能等于质点从
14、零势能参考点移到该点的过程中保守力所作的功的负值。,1）不论什么性质的势能，都只有确定了势能零点之后，势能才有确定的值。 2）不论什么性质的势能，任意两状态之间的势能差是确定的，与势能零点选取无关。,3）势能的引进是因为质点间存在着保守力相互作用，当然势能意义也适用于任意多个质点的系统。,4） 位置的函数： ， 构成一 标量场保守场,，,1） 重力势能曲线,势能曲线,2） 引力势能曲线,取质点距引力中心无穷远处，引力势能为零，当质点距引力中心为任一距离 r 时引力势能为:,3）弹力势能曲线,选弹簧具有自然长时弹力势能为零，弹力势能为,3. 保守力与势能的关系,1） 保守力做功等于势能增量的负值
15、：,2） 保守力等于势能梯度的负值：,例如由重力势能 ，可得重力在 h 方向（ 竖直向上方向为正）投影为：,由万有引力势能 ，可得万有引力在 r 方向的投影为：,由弹力势能 ，可得弹力为：,三. 功能原理 机械能守恒定律,1功能原理,机械能:,功能原理:,2机械能守恒定律,封闭保守系统：,3能量的转化与守恒定律,自然界中，能量既不能消失，也不能创造，它只能从一种形式转化成另一种形式，或者从一个物体传给另一个物体。,自然界中有许多形式的能量。,封闭系统，能量守恒，但机械能不一定守恒；封闭保守系统，能量守恒，机械能守恒 。,A外0， A非保内不一定为0,机械能:,功能原理:,牛顿的人造地球卫星设想
16、,A,O,V0,4能量守恒定律与卫星宇宙速度,牛顿的人造地球卫星设想,三个宇宙速度,第一宇宙速度v1=7.9km/s，环绕速度 第二宇宙速度v2=11.2km/s，脱离速度 第三宇宙速度v3=16.7km/s，逃逸速度,11.2km/sv7.9km/s,v1=7.9km/s,v2=11.2km/s,v3=16.7km/s,设地球和卫星的质量分别为Me和m，卫星到地心的距离为Re，卫星运动的速度为v,由于卫星运动所需的向心力是由万有引力提供的，所以：,1）第一宇宙速度,从上式可以看出: ,卫星离地心越远， 它运行的速度越慢。,这就是人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度，叫做
17、第一宇宙速度。,对于靠近地面的卫星，可以认为此时的 r 近似等于地球半径Re，可以求出：,解：1）取卫星为研究的质点，设卫星质量为m1 ，地球质量为Me ，卫星仅受地球引力作用。2）取离地球无限远处为零势能点，在引力场内运动时，机械能守恒。设在地球表面附近卫星的速度为v0 ，此后某一时刻的速度为v,2）第二宇宙速度,3) 由机械能守恒定律：,第二宇宙速度是使卫星能脱离地球引力场（地球半径Re=6370km），从地面发射所需的最小速度。,卫星脱离地球引力场，R 处, v 0,得：,v0的最小值为第二宇宙速度，即：,解：1）先不考虑地球对卫星的吸引力。2）以太阳为参考系。对于地球上的卫星与太阳构成
18、的系统，在卫星飞离太阳的过程中，系统的机械能守恒。,3）第三宇宙速度,第三宇宙速度是使卫星能脱离太阳引力场，从地面发射所需的最小速度。,设在卫星相对太阳的初速度为v0 ，此后某一时刻的速度为v ， 可得：,太阳质量,地球与太阳的距离,卫星脱离太阳引力场，R 处, v0,得：,地球的公转速度是29.8103m/s。如果卫星相对地球的初速度与地球公转速度相同，则卫星相对地球的最小速度为：,由于卫星还要克服地球引力做功使动能减少，因此卫星必须在飞离地球的引力范围时，速度等于v0。,设第三宇宙速度为v3，以地球为参考系，由机械能守恒定律可得：,4碰撞问题,1）完全非弹性碰撞,碰撞后，参与碰撞的物体变成一个整体，不再分开。,对于完全非弹性碰撞，动量守恒定律成立。,例：,解：,2）完全弹性碰撞,没有能量损失的碰撞称为完全弹性碰撞。 （无论是接触碰撞还是非接触碰撞）,对于完全弹性碰撞，动量守恒定律和能量守恒定律都成立。,
