1、第六章 弯曲变形,6.1 工程中的弯曲变形问题,受弯杆件除满足强度要求外，往往还要满足刚度要求。,6.1 工程中的弯曲变形问题,6.1 工程中的弯曲变形问题,6.2 挠曲线的微分方程,一、基本概念,挠曲线方程：,由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计,挠度转角关系为：,挠度w：截面形心在y方向的位移,向上为正。,转角：截面绕中性轴转过的角度，逆时针为正。,二、挠曲线的近似微分方程 纯弯曲情况下，推导弯曲正应力时，得到：忽略剪力对变形的影响,6.2 挠曲线的微分方程,由数学知识可知：,所以,因为在小变形情况下：,6.2 挠曲线的微分方程,挠曲线的近似微分方程为：,由上式进行积分，就可以求出梁
2、横截面的转角和挠度。,6.2 挠曲线的微分方程,6.3 用积分法求弯曲变形,挠曲线的近似微分方程为：,积分一次得转角方程为：,再积分一次得挠度方程为：,积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。,位移边界条件：,连续条件：,光滑条件：,6.3 用积分法求弯曲变形,刚度条件：,6.3 用积分法求弯曲变形,例6-1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。,解:,1）由梁的整体平衡分析可得：,2）写出x截面的弯矩方程,3）列挠曲线近似微分方程并积分,积分一次,再积分一次,4）由位移边界条件确定积分常数,代入求解,6.3 用积分法求弯曲变形,5）确定转角方程和挠度
3、方程,6）确定最大转角和最大挠度,6.3 用积分法求弯曲变形,积分法求解梁位移的思路：, 建立合适的坐标系；, 求弯矩方程M(x) ；, 建立近似微分方程：, 用约束条件或连续条件，确定积分常数；, 一般求极值可用数学方法，也可由挠曲线直接判别。,6.3 用积分法求弯曲变形,例6-2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，ab。,解,1)由梁整体平衡分析得：,2）弯矩方程,AC 段：,CB 段：,6.3 用积分法求弯曲变形,3）列挠曲线近似微分方程并积分,AC 段：,CB 段：,6.3 用积分法求弯曲变形,4）由边界条件确定积分常数,代入求解，得,位移边界
4、条件,光滑连续条件,6.3 用积分法求弯曲变形,5）确定转角方程和挠度方程,AC 段：,CB 段：,6.3 用积分法求弯曲变形,6）确定最大转角和最大挠度,令 得，,令 得，,6.3 用积分法求弯曲变形,练习题：由积分法求图示梁的wA、A,，EI已知。,作业：P198 题6.4（d）,6.3 用积分法求弯曲变形,6.4 用叠加法求弯曲变形,由于： 1）小变形，轴向位移可忽略； 2）线弹性范围工作。 因此，梁的挠度和转角与载荷成线性关系。 当梁承受复杂载荷时，可将其分解成几种简单载荷，利用梁在简单载荷作用下的位移计算结果（表6-1，P188），叠加后得到梁在复杂载荷作用下的挠度和转角，这就是叠加
5、法。,6.4 用叠加法求弯曲变形,设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，挠度为w，则有：,若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为 ，转角为 ，挠度为 ，则有：,由弯矩的叠加原理知：,所以，,6.4 用叠加法求弯曲变形,故,由于梁的边界条件不变，因此,重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。,6.4 用叠加法求弯曲变形,例6-3 已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C 截面的挠度C ；B截面的转角B。,1）将梁上的载荷分解,2）查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。,
6、解,3） 应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和,例6-4 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度wC和转角C,1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形,为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB 段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。,解,3）将结果叠加,2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自C截面的挠度和转角。,作业：P201 题6.10（d）,6.4 用叠加法求弯曲变形,思考1：用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的外伸梁C截面的挠度和转角以及D截面的挠度。,解：可将外伸梁看成是图a和b所示的简
7、支梁和悬臂梁的叠加。,q,6.4 用叠加法求弯曲变形,（1）对图a，其又可看成为图c和d所示荷载的组合。,6.4 用叠加法求弯曲变形,图c中D截面的挠度和B截面的转角为：,图d中D截面的挠度和B截面的转角为：,D,B,6.4 用叠加法求弯曲变形,将相应的位移进行叠加，即得：,（2）对图b，C截面的挠度和转角分别为：,6.4 用叠加法求弯曲变形,所以：,原外伸梁C端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即：,（向下）,（顺时针）,6.4 用叠加法求弯曲变形,思考2：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的中间铰梁铰接点B处的挠度和B点右截面的转角以及D截面的挠度，其中：F=2qa。,q,解：可在铰接点处将梁
8、分成图a和b所示两部分，并可求得铰接点处的一对作用力与反作用力为：,6.4 用叠加法求弯曲变形,图a和b中分别给出了两部分的变形情况。,并且图b又可分解为图c所示两种载荷的组合。,6.4 用叠加法求弯曲变形,（1）对图b，可得其B截面的挠度和转角为：,进行相应的叠加可得：,6.4 用叠加法求弯曲变形,（2）图a可看成为右支座有一定竖直位移（位移量为B）的简支梁，此时D截面的挠度为：,D,6.4 用叠加法求弯曲变形,6.5 变形比较法解简单超静定梁,1.基本概念：,超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁,多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束,超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。,2
9、.求解方法：,解除多余约束，建立相当系统比较变形，列变形协调条件由物理关系建立补充方程利用静力平衡条件求其他约束反力。,相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统,解,例6-5 求梁的支反力，梁的抗弯刚度为EI。,1）判定超静定次数,2）解除多余约束，建立相当系统,3）进行变形比较，列出变形协调条件,6.5 变形比较法解简单超静定梁,4）由物理关系，列出补充方程,所以,4）由整体平衡条件求其他约束反力,6.5 变形比较法解简单超静定梁,思考：梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F = 40kN，q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。,从B 处拆开，使超
10、静定结构变成两个悬臂梁。,变形协调方程为：,物理关系,解,6.5 变形比较法解简单超静定梁,代入得补充方程：,确定A 端约束力,6.5 变形比较法解简单超静定梁,确定B 端约束力,6.5 变形比较法解简单超静定梁,A、B 端约束力已求出,最后作梁的剪力图和弯矩图,6.5 变形比较法解简单超静定梁,各种载荷下弯曲变形情况,动画演示BEAM系列,6.6 刚度条件及提高弯曲刚度的措施,1.刚度条件,建筑钢梁的许可挠度：,机械传动轴的许可转角：,精密机床的许可转角：,根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B 处转角不超过许用数值。,B,1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B 处的转角为：,解,
11、例6-6 已知钢制圆轴左端受力为F20 kN，a1m，l2m，E=206 GPa。轴承B处的许可转角 =0.5。根据刚度要求确定轴的直径d。,2）由刚度条件确定轴的直径：,6.6 刚度条件及提高弯曲刚度的措施,2.提高梁刚度的措施,弯曲变形与弯矩大小、跨度长短、支座条件、梁截面的惯性矩I、材料的弹性模量E有关。,6.6 刚度条件及提高弯曲刚度的措施,1）选择合理的截面形状,不同形状的截面，尽管面积相等，但惯性矩却并不一定相等。,6.6 刚度条件及提高弯曲刚度的措施,2）改善结构形式，减少弯矩数值,改变支座形式,6.6 刚度条件及提高弯曲刚度的措施,改变载荷类型,2）改善结构形式，减少弯矩数值,6.6 刚度条件及提高弯曲刚度的措施,3）采用超静定结构,6.6 刚度条件及提高弯曲刚度的措施,3）采用超静定结构,6.6 刚度条件及提高弯曲刚度的措施,第六章 弯曲变形,本章小结1、明确挠曲线、挠度和转角的概念2、掌握计算梁变形的积分法和叠加法3、学会用变形比较法解简单超静定问题,
