1、16.4角的平分线,如图所示，有一个三角形花坛，为了能及时给花草喷水，要在花坛中央安上一旋转喷嘴儿到花坛三边的距离相等，请设计出喷水嘴儿的位置。,角平分线的性质,如何得到角的平分线？ 角平分线具有何性质？,探究角平分线的性质,(1)实验：画一个AOB,用尺规作出AOB的平分线OP,过P作PD OA,PE OB 问题：比较PD和PE 的大小关系（量一量）。 PD=PE再换一个新的位置看看情况会怎样？,(2)猜想: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,证明：OC平分 AOB （已知） 1= 2（角平分线的定义） PD OA，PE OB（已知） PDO= PEO（垂直的定义）在PDO和PEO中P
2、DO= PEO（已证）1= 2 （已证）OP=OP （公共边） PDO PEO（AAS）PD=PE（全等三角形的对应边相等）,已知：如图，OC平分AOB，点P在OC上，PDOA于点D，PEOB于点E 求证: PD=PE,(3)验证猜想,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,已知“一个点在一个角的平分线上”。结论为“这个点到这个角两边得距离相等”,角平分线上的点到角两边的距离相等。,得到角平分线的性质：,利用此性质怎样书写推理过程?,归纳：,如图，E是AOB的角平分线OC上的一点， EMOB垂足为M，且EM=3cm，求点E 到OA的距离,分析：点E 到OA的距离是过点E作OA的垂线段，再根据角
3、的平分线的性质，可知点E到OA的距离。,解：过E作ENOA垂足为N E是AOB的角平分线上的一点， EMOB， ENOA， EM=EN 又 EM=3cm， EN=3cm 即点E 到OA的距离为3cm。,E,课堂练习,M,图1,1：下列两图中，能表示直线l1上一点P到直线l2的距离的是（ ）,图1,选择题：,选择题 2：下列两图中，能表示角的平分线上的一点P到角的边上的距离的是（ ）,图1,图1,图2, 如图，AD平分BAC（已知）, = ，( ),角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,BD CD,判断：,（）, 如图， DCAC，DBAB （已知）, = ，( ),角的平分线上的点到角的两边
4、的距离相等。,BD CD,（）, AD平分BAC, DCAC，DEAB （已知）, = ，（ ）,角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,练一练,填空： (1). 1= 2,DCAC, DEAB _ (_),DC=DE,在角平分线上的点到角的两边的距离相等,分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即RtCDF RtEDB.,现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件,DC=DE (因为角的平分线的性质) 再用HL证明.,试试自己写证明。你一定行！,已知：如图，ABC中 C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB于E，F在AC上BD=DF， 求证：CF
5、=EB。,应用与提高,证明： AD平分CABDEAB，C90（已知） CDDE (角平分线的性质) 在tCDF和RtEDB中,CD=DE （已证）DF=DB （已知） RtCDFRtEDB (HL) CF=EB （全等三角形对应边相等）,已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC.,证明： AD平分CAB DEAB ，DFAC(已知) DE=DF (角平分线的性质) 在tBED和RtCFD中,BD=CD （已证）DE=DF （已知） Rt BED RtCFD (HL) BE=FC （全等三角形对应边相等）,回味无穷,性质 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 几何语言： OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点 PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知) PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,作业,P138 习题16.4 1，2,再见!,
