1、线段的垂直平分线,问题：怎样作出线段的垂直平分线,已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线. 作法:,1.分别以点A和B为圆心,以大于AB/2长为 半径作弧,两弧交于点C和D.,2. 作直线CD.,则直线CD就是线段AB的垂直平分线.,请你说明CD为什么是AB的垂直平分线,并与同伴进行交流.,提示:因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也用这种方法作线段的中点.,A,B,C,问题: 如图,线段AB垂直平分线上的点P,Q到A和B的距离如何？,A,B,A,B,A,B,C,线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.,定理,(线段垂直平分线的性质定理),线段垂直平分线上
2、的点和这条线段两个端点的距离相等.,定理,线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.,定理,线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.,定理,线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.,定理,直线MNAB，垂足是C，且AC=CB.点P在MN上.,已知：,PA=PB,求证：,证明:,MNAB（已知）,PCA=PCB(垂直的定义),在PCA和PCB中, PCA PCB(SAS),PA=PB(全等三角形的对应边相等),当点P与点C重合时,上述证明有什么缺陷?,PCA与PCB将不存在.,PA与PB还相等吗?,相等!,此时,PA=CA,PB=CB 已知AC=CB PA=PB,已知
3、线段AB,有一点P,并且PA=PB.那么,点P是否一定在AB的垂直平分线上?,P,A,B,这样的点P /不存在,A,B,P,已知:,线段AB,且PA=PB,求证:,点P在线段AB的垂直 平分线MN上.,过点P作PCAB垂足为C., PA=PB(已知) PAB是等腰三角形(等腰三角 形的定义),AC=BC(等腰三角形底边上的高是底边上的中线),PC是线段AB的垂直平分线. 即点P在线段AB的垂直 平分线MN上.,证明:,和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.,逆定理,(线段垂直平分线的判定定理),和线段两个端点距离相等的所有点的直线.,线段的垂直平分线可以看作：,例 已知:如
4、图ABC中,边AB、BC的垂直平分线相交于点P. 求证:PA=PB=PC., PA=PB(线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等),证明: 点A在线段AB的垂直平分线上(已知),同理 PB=PC, PA=PB=PC.,问题:如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址.,A,B,C,点P为校址,作图题:如图,在直线 l 上求一点P,使PA=PB,l,B,A,P,点P为所求作的点,填空： 1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 三角形.,1题图,等腰,填空： 1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点,
5、 且BE=CE,则ABC为 三角形. 2.已知: 等腰ABC,AB=AC,AD为BC边上的高, E为AD上一点,则BE EC.(填、或=号),1题图,2题图,等腰,=,3.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂直平分线MN交AC于D,则 1= , 2= .,30o,1,2,75o,30o,60o,45o,填空： 4.已知:如图,在ABC中,DE是AC的垂直平分线, AE=3cm, ABD的周长为13cm,则ABC 的周长 为 cm,A,B,D,C,E,3cm,19,13cm,5.如图,CD、EF分别是AB、BC的垂直平分线.请你指出图中相等的线段有哪些?,AD =BD,CF = BF,A
6、C = BC,CE = BE,1,2,3,CF =DF,即:BF=CF=DF,证明题:1.已知:ABC中,C=90,A=30o,BD 平分ABC交AC于D. 求证:D点在AB的垂直平分线上.,证明:,30o, C=90o, A=30o(已知) ABC=60o(三角形内角和定理), A= ABD (等量代换), D点在AB的垂直平分线上.(和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.), AD=BD(等角对等边),证明题: 2.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分CAD. 求证:ADBC.,证明:,线段CD垂直平分AB(已知), CA=CB(线段垂直平分线的 性质定理), 1
7、= 3(等边对等角),又 AB平分CAD(已知) 1= 2(角平分线的定义), 2= 3(等量代换), AD BC(内错角相等,两直线平行),证明题:3.已知:如图,在ABC中, AB=AC,A=120o, AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F. 求证:CF=2BF.,300,CF=2AF,AF=BF,CF=2BF,证明题:4.已知:如图,AD平分BAC,EF垂直平分AD交BC的延长线于F,连结AF. 求证: CAF= B., 1+ 2= 4(等边对等角),又 4= B+ 3(三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和), 1+ 2= B+ 3, AD平分BAC(已知) 2= 3(角平分线的定义), 1= B 即 CAF= B.,证明: EF垂直平分AD(已知), AF=DF(线段垂直平分线的性质定理),如图,已知:AOB,点M、N. 求作:一点P,使点P到AOB两边的距离相等,并且满足PM=PN.,点P为所求 作的点,小结：,线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.,和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.,线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合.,
